發(fā)布時(shí)間：2018-02-24 03:09

  本文關(guān)鍵詞： 貝葉斯統(tǒng)計(jì) 不確定性 MCMC方法 非線性期望 G-期望 G-布朗運(yùn)動(dòng) 隨機(jī)微分方程 容度　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文　論文類(lèi)型：學(xué)位論文

【摘要】：對(duì)非線性數(shù)學(xué)期望下概率與統(tǒng)計(jì)相關(guān)問(wèn)題的研究,一方面是概率論基礎(chǔ)理論研究的發(fā)展趨勢(shì),另一方面源于人們對(duì)于金融市場(chǎng)中日益增長(zhǎng)的不確定性問(wèn)題的探索。20世紀(jì)70年代,現(xiàn)代意義的金融衍生品在美國(guó)誕生,日益增加的衍生品交易額在為市場(chǎng)機(jī)構(gòu)帶來(lái)巨大的利潤(rùn)的同時(shí),也蘊(yùn)藏了極大的風(fēng)險(xiǎn)。如何采用適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)評(píng)估、管理和控制來(lái)自衍生品交易的內(nèi)在風(fēng)險(xiǎn)顯得尤為重要,金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量已成為全球經(jīng)濟(jì)學(xué)家與數(shù)學(xué)家研究的重點(diǎn)領(lǐng)域。一個(gè)非常具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題是,金融衍生品的風(fēng)險(xiǎn)行為是非線性的,經(jīng)典概率論中對(duì)于概率和期望的線性假設(shè)已經(jīng)難以刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)行為的次線性本質(zhì)。許多專(zhuān)家因此引入了非線性期望的概念來(lái)度量不確定性。比如Peng (1997)通過(guò)倒向隨機(jī)微分方程引入了一種重要的非線性期望g-期望,用來(lái)度量概率不確定性模型的隨機(jī)性和風(fēng)險(xiǎn),可參見(jiàn) Chen 和 Epstein (2002), Frittelli 和 Gianin (2004), Peng(2004)。Artzner, Delbaen, Eber和Heath (1999)引入了一致風(fēng)險(xiǎn)度量的概念,即將金融衍生品的未來(lái)不確定性看作一個(gè)隨機(jī)變量X,將其風(fēng)險(xiǎn)度量看作賦予在隨機(jī)變量X上的一個(gè)次線性泛函ρ[X],本質(zhì)上就是次線性數(shù)學(xué)期望。因此,次線性期望提供了衡量不確定性損失X的一種穩(wěn)健性方法。在g-期望的基礎(chǔ)上,Peng (2007)進(jìn)一步引入了一個(gè)更加一般的次線性期望框架一-G-期望。在G-期望框架下,Peng引入了 G-正態(tài)分布、G-期望和G-布朗運(yùn)動(dòng)的概念,后兩者可視為對(duì)Wiener測(cè)度和經(jīng)典的布朗運(yùn)動(dòng)在非線性下的推廣。Peng證明了非線性期望的理論基礎(chǔ)(次線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理),并建立了 G-Ito隨機(jī)積分,可參見(jiàn)Peng (2007, 2008, 2009, 2010)。基于Peng的開(kāi)創(chuàng)性工作,許多學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)的推廣,例如,Chen (2010),Chen, Wu和Li (2013)等研究了強(qiáng)大數(shù)定律,這些結(jié)果是對(duì)Peng (2007, 2008)中“弱”大數(shù)定律的推廣,Denis, Hu和Peng (2011)研究了 G-期望的表示定理和軌道性質(zhì),Li和Peng (2011)對(duì)停時(shí)和一般的G-Ito公式進(jìn)行了研究,Gao (2009),Peng (2010),Lin (2013)研究了 G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程(以下簡(jiǎn)稱G-SDE,或G-隨機(jī)微分方程)的解的相關(guān)性質(zhì),更多內(nèi)容可參見(jiàn)Xu和 Zhang (2009),Hu 和 Peng (2009),Gao 和 Jiang (2010),Hu 和 Zhang (2010),Song(2012),Nutz (2013),Nutz 和 Van Handel (2013),Hu,Ji,Peng 和 Song (2014),Peng 和Song (2015), Zhang 和 Chen (2015),Hu, Wang 和 Zheng (2016)等。受到以上內(nèi)容的啟發(fā),本篇博士論文進(jìn)行了部分研究工作,主要內(nèi)容包括:1.首次提出了在不確定性環(huán)境下,計(jì)算貝葉斯后驗(yàn)分布最大期望與最小期望的一種新方法——PSI方法,創(chuàng)新性地引入輔助性的超先驗(yàn)分布并將不確定性因素參數(shù)化,從而將方法廣泛地應(yīng)用于多種不確定性情形下。2.研究了 G-隨機(jī)微分方程解的漸近估計(jì),得到了次線性期望空間下G-隨機(jī)微分方程解的重對(duì)數(shù)估計(jì),且給出了一類(lèi)多維G-隨機(jī)微分方程解的漸近估計(jì)并推廣到更一般的形式。3.對(duì)G-隨機(jī)微分方程解的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行深入研究,分別探討了一階和二階G-隨機(jī)微分方程解的有界性與平穩(wěn)性,給出了有界性與平穩(wěn)性的充分條件并舉出相應(yīng)的例證。4.進(jìn)一步研究G-期望空間的相關(guān)性質(zhì),將Lyapunov定理從經(jīng)典的單一線性概率情形推廣到了 G-期望下一族概率測(cè)度的情形,給出了 G-隨機(jī)微分方程的解在容度意義下的平穩(wěn)性。下面我們來(lái)介紹一下每章的工作,這些結(jié)果是由我在博士期間完成的五篇論文整合而成的,其中兩篇已在SCI期刊正式發(fā)表,其余三篇已送審。第一章本章給出了不確定性環(huán)境下,計(jì)算貝葉斯后驗(yàn)分布最大期望與最小期望的一種新方法——PSI方法,可將諸如先驗(yàn)分布或者似然函數(shù)選擇的多種不確定性考慮在內(nèi),將不確定性都通過(guò)不確定性指標(biāo)進(jìn)行參數(shù)化,且在這個(gè)指標(biāo)參數(shù)的基礎(chǔ)上創(chuàng)新性地引入輔助性的超先驗(yàn)分布,運(yùn)用Metropolis算法生成Monte Carlo樣本,并對(duì)后驗(yàn)分布的最大期望與最小期望進(jìn)行估計(jì)。本章最大的貢獻(xiàn)就是對(duì)于所有可能的不確定性場(chǎng)景,都只需要進(jìn)行一次Monte Carlo抽樣來(lái)計(jì)算后驗(yàn)分布期望,從而大大減少了傳統(tǒng)分析法中繁瑣的運(yùn)算量�！� 1.1 PSI算法及理論支持我們提出的算法有三個(gè)步驟(記做PSI):1. (Prior Step)引入?yún)?shù)λ的輔助性超先驗(yàn)分布π(λ),其中參數(shù)λ代表不確定性。2. (Sampling Step)對(duì)于任意目標(biāo)參數(shù)X,利用MCMC方法,從給定觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)條件下的聯(lián)合后驗(yàn)分布中進(jìn)行(X,λ)的樣本抽樣:注意到在很多時(shí)候,目標(biāo)參數(shù)X = F(θ, λ)可能是標(biāo)量函數(shù),其中θ是模型中生成數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。在更一般的情形下,我們可以將Sampling Step拆分為下面兩個(gè)步驟:(1)利用MCMC方法從(θ,λ)的聯(lián)合后驗(yàn)分布中抽樣,其中θ是數(shù)據(jù)生成過(guò)程中的結(jié)構(gòu)參數(shù)。(2)對(duì)于任意目標(biāo)參數(shù)X = F(θ,λ),可計(jì)算相應(yīng)的后驗(yàn)分布的(X,λ)樣本。3. (Inference Step)基于(X,λ)的后驗(yàn)樣本,我們可以估計(jì)后驗(yàn)分布期望的范圍以及相應(yīng)的其他任意后驗(yàn)分布分位數(shù)的范圍。本節(jié)我們給出了 PSI算法的理論依據(jù)。命題0.1說(shuō)明,從聯(lián)合分布中抽樣出的MCMC樣本的模擬計(jì)算值,是后驗(yàn)分布期望的一致相合估計(jì)。命題0.1.令目標(biāo)條件后驗(yàn)分布函數(shù)為其中λ ∈ λ。假設(shè)π(·)是滿足(H)的輔助性先驗(yàn)分布函數(shù):(H)對(duì)于所有的λ ∈ A,密度函數(shù)π(λ) 0。令是從下面的聯(lián)合后驗(yàn)分布中導(dǎo)出的條件分布函數(shù)則有(i)對(duì)于所有的X,以及所有的λ∈∧,π(X丨λ,D)=(X|D,λ)。(ii)令為目標(biāo)后驗(yàn)分布最大期望。則對(duì)于滿足(H)條件的任意輔助性先驗(yàn)密度函數(shù)π(λ),都有(iii)令S知=Xt,λt)t∈T為Monte Corlo樣本。μ(λ｜ST)是μ(λ)=,E(X｜D，λ)的一致相合估計(jì),對(duì)于任意的則supμ(λ|ST)是后驗(yàn)分布最大期望的一致相合估計(jì):即對(duì)于任意大于零的,· 1.2多種不確定性環(huán)境下的數(shù)值分析我們將算法推廣到應(yīng)用層面,給出了先驗(yàn)分布不確定、模型選擇不確定以及數(shù)據(jù)不確定等不確定性環(huán)境下計(jì)算后驗(yàn)分布最大期望與最小期望的數(shù)值分析,詳細(xì)的案例分析請(qǐng)參見(jiàn)正文部分。我們采用模擬數(shù)據(jù),分別利用局部加權(quán)回歸散點(diǎn)平滑法(locally weighted scatterplot smoothing,簡(jiǎn)記為 lowess)以及Metropolis-Hastings 抽樣算法完成貝葉斯推斷分析。所有程序均使用R語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)。第二章我們?cè)诒菊轮醒芯縂-隨機(jī)微分方程的解的漸近估計(jì),給出了次線性期望空間下G-隨機(jī)微分方程解的重對(duì)數(shù)估計(jì),以及一類(lèi)多維G-隨機(jī)微分方程解的漸近估計(jì)并推廣到了更一般的形式。我們考慮由m維G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的d維隨機(jī)微分方程其中1≤ i ，j ≤ m,初始值Xt0=X0∈Rd 其中Bt是m維的G-布朗運(yùn)動(dòng)。假設(shè)方程的系數(shù)f,hi和gij滿足相應(yīng)條件,從而使得方程在[t0,∞)上有一個(gè)唯一的解Xt。定理0.1.假設(shè)存在兩個(gè)大于零的常數(shù)λ和η使得,對(duì)于所有的(x,t)∈ Rd[t0,∞),有.則方程(0.0.2)的解有如下性質(zhì)· 2.1 G-隨機(jī)微分方程解的重對(duì)數(shù)估計(jì)接下來(lái),我們考慮方程(0.0.2)的一個(gè)特殊形式,即其中1 ≤ i,j ≤ m,初始值Xt0= ∈ Rd,∧i是給定的矩陣∧ ∈ Rd×m的第i列。定理0.2.假設(shè)存在一對(duì)大于零的常數(shù)ρ1,ρ2使得對(duì)于所有的(x,t) ∈ Rd ×[t0,∞),對(duì)某些ε 0以及所有的t ≥ t0,δ 0,方程(0.0.5)的解滿足則有性質(zhì)注記0.1.眾所周知,在經(jīng)典線性概率空間下,重對(duì)數(shù)律(LIL)是最重要的極限定理之Chen和Hu (2014)給出了非線性期望下的重對(duì)數(shù)律,與經(jīng)典情形下收斂到一個(gè)固定點(diǎn)不同的是,非線性期望下的重對(duì)數(shù)律是收斂到一個(gè)區(qū)間,即:其中v是相應(yīng)的Choquet容度。因此定理0.2可被看做非線性條件下G-隨機(jī)微分方程解的重對(duì)數(shù)估計(jì)。· 2.2多維G-隨機(jī)微分方程解的漸近估計(jì)定理0.3.假設(shè)存在三個(gè)大于零的常數(shù)γ, ρ1和ρ2,使得對(duì)于所有的(x，，t)∈Rd× t ∞),且對(duì)于某些ε 0和所有的t≥t0 隨機(jī)微分方程(0.0.5)的解滿足則方程的解存在性質(zhì)注記0.2.值得注意的是,定理0.3的結(jié)論是獨(dú)立于ρ1,ρ2和∧的。事實(shí)上,由(0.0.9)可推出當(dāng)t足夠大時(shí),對(duì)于幾乎所有的ω∈Ω,因此可得定理0.4.假設(shè)存在三個(gè)大于零的常數(shù)γ, Pi和ρ2,使得對(duì)于所有的(x,t)∈Rd× [t0,∞),有對(duì)于某些ε 0以及所有的t ≥ t0, δ 0,隨機(jī)微分方程(0.0.5)的解滿足則它的解有如下性質(zhì):注記0.3.事實(shí)上,只要f和gij線性增長(zhǎng),定理0.2-0.4中的G-Novikov條件就都滿足。在這種情況下,只要系數(shù)h(x,t)是有界的,上述的結(jié)論都可以適用于隨機(jī)微分方程(0.0.2)。更具體的說(shuō),如果存在一個(gè)G 0使得對(duì)于所有的(x,t)∈Rd ×[t0,∞)成立,則定理0.3-0.4的結(jié)論對(duì)于隨機(jī)微分方程(0.0.2)也依然成立,相應(yīng)的(0.0.7)和(0.0.13)中的｜｜A｜｜應(yīng)該替換為C。第三章本章的工作分為兩大部分,第一部分在次線性期望下,研究一階G-隨機(jī)微分方程解的有界性與平穩(wěn)性,并給出相應(yīng)的例證。第二部分,對(duì)二階G-隨機(jī)微分方程解的有界性與平穩(wěn)性進(jìn)行研究,并給出相應(yīng)的有界性與平穩(wěn)性的充分條件�！� 3.1 一階G-隨機(jī)微分方程解的有界性與平穩(wěn)性記C(R+;R+)為非負(fù)域下的連續(xù)函數(shù)族。令C1,2(Rd× R+;R+)為定義在Rd × R+上的非負(fù)函數(shù)族V(x,t),關(guān)于x二階連續(xù)可導(dǎo)且關(guān)于t連續(xù)可導(dǎo)。現(xiàn)在我們考慮以下由m維G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的d維隨機(jī)微分方程初始值Xt0= x0 ∈ Rd,≥ 0。(Bi,Bj=(Bi,Bj)i,j=1,…,m是B的交互變差矩陣。在C1,2(Rd×R+;R+)上定義一個(gè)算子L,如下所示我們做以下假設(shè):(H1)系數(shù)f,gi,hij:Rd × [0, ∞) →Rd是關(guān)于t連續(xù)且關(guān)于x滿足局部Lipschitz條件的確定性函數(shù),即對(duì)于每個(gè)x,x'∈B0(R):={a:｜a｜ ≤R},存在在一大于零的且僅依賴于R的常數(shù)CR,使得對(duì)于每個(gè)t ∈ [0, ∞),(H2)存在一個(gè) Lyapunov 函數(shù)V∈C1,2 (Rd×[0,∞);R+),滿足以及一個(gè)函數(shù)δ∈C(E+;]R+),使得對(duì)于某些常數(shù)C 0和所有(x.t) ∈ Rd× [0, ∞),有定理0.5.滿足(H1)和(H2)時(shí),G-隨機(jī)微分方程(0.0.14)存在一個(gè)唯一的解。定理0.6.假設(shè)C1,2(Rd×R+;R+)氣妒× R+;R+)上存在一個(gè)函數(shù)V(x,t),使得對(duì)于所有的(x,t)∈常數(shù)。則對(duì)于所有的t ≥ tO,(0.0.14)的所有解滿足定理0.7.假設(shè)存在C1,2(Rd× R+;R+)中的函數(shù)V(x,t),使得對(duì)于所有的(x,t) ∈Rd × R+,滿足其中α,η ∈ C(R+;R+),w,v,q是大于零的常數(shù),w ≥ 1,且ρ是一個(gè)非負(fù)的常數(shù)。則對(duì)于所有的t≥t0,(0.0.14)的所有解滿足定理0.8.假設(shè)存在C1,2(Rd×R+;R+)中的函數(shù)V(x,t),對(duì)于所有的(x,t) ∈Rd×R+,有其中α,η∈C(R+;R+),w,v是大于零的常數(shù),w＞1,ρ是一個(gè)非負(fù)的常數(shù)。則對(duì)于所有的t ≥ t0,(0.0.14)的所有解滿足定理0.9. 1.若定理0.6或定理0.7的假設(shè)成立,且存在大于零的常數(shù)M,使得則(0.0.14)所有的解都是一致隨機(jī)有界的。2.若定理0.7的假設(shè)成立,且滿足條件(0.0.27),則(0.0.14)所有的解都是隨機(jī)有界的。定理0.10.假設(shè)f(0,t) = 0, g(0,t)= 0和h(0,t) = 0。存在大于零的常數(shù)M,使得1.如果定理0.5的假設(shè)成立,則(0.0.14)的零解在G-期望下是α-指數(shù)漸近平穩(wěn)的且m = 1/w。2.如果定理0.7的假設(shè)成立,則(0.0.14)的零解在G-期望下是α-一致指數(shù)漸近平穩(wěn)的且m = 1/w�！� 3.2二階G-隨機(jī)微分方程解的有界性與平穩(wěn)性· 3.2.1 關(guān)于時(shí)間的二階G-隨機(jī)微分方程考慮G-隨機(jī)微分方程其中α和β是大于零的常數(shù)。函數(shù)g在R2上連續(xù),且滿足局部Lipschitz條件,從而可保證(0.0.30)存在一個(gè)唯一連續(xù)解,記作X=(xt,yt)。定義連續(xù)可微函數(shù)V(X,t)=V(xt,yt,t)如下其中α,β是大于零的常數(shù)。我們現(xiàn)在來(lái)研究G-隨機(jī)微分方程(0.0.30)解的有關(guān)性質(zhì)。定理0.11.假設(shè)L,K和C是大于零的常數(shù),滿足存在大于零的常數(shù)D0=D0(α,β) = 和D1=D1(α,β) 使得對(duì)于所有的t ≥ 0, x和y成立。則隨機(jī)微分方程(0.0.30)的解Xt=(xt,yt)是一致隨機(jī)有界的。定理0.12.如果定理0.11的假設(shè)成立,則隨機(jī)微分方程(0.0.30)的解Xt =(xt,yt)是隨機(jī)有界的。定理0.13.如果定理0.11的假設(shè)成立。不妨假設(shè)存在大于零的常數(shù)M,使得則隨機(jī)微分方程(0.0.30)的平凡解在G-期望下是α-指數(shù)漸近平穩(wěn)的且m = 1/w。定理0.14.如果定理0.11的假設(shè)成立。不妨假設(shè)存在大于零的常數(shù)M,使得則隨機(jī)微分方程(0.0.30)的平凡解在G-期望下是α-一致指數(shù)漸近平穩(wěn)的且有m = 1/w�！�3.2.2關(guān)于二次變差過(guò)程的二階G-隨機(jī)微分方程考慮下面的G-隨機(jī)微分方程其中α和β是大于零的常數(shù)。函數(shù)g在R2上連續(xù),且滿足局部Lipschitz條件,從而可保證(0.0.37)存在一個(gè)唯一連續(xù)解,記作X= (xt,yt) 需要指出的是,與線性期望空間下不同,G-期望空間下G-布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差過(guò)程為(B)t,與t不同。因此我們對(duì)關(guān)于二次變差過(guò)程的G-隨機(jī)微分方程進(jìn)行了研究。沿用前一節(jié)的連續(xù)可微函數(shù)V(X,t)=V(xt,yt.t),我們研究了 G-隨機(jī)微分方程(0.0.37)解的性質(zhì)。定理0.15.假設(shè)L,K(和C是大于零的常數(shù),使得存在大于零的常數(shù)D0= D0(α,β),D1=D1(α,β),使得對(duì)于所有t ≥ 0, x和y成立。隨機(jī)微分方程(0.0.37)的解Xt = (xt,yt)是一致隨機(jī)有界的。定理0.16.如果定理0.15的假設(shè)成立,則隨機(jī)微分方程(0.0.37)的解Xt=(xt,yt)的解是隨機(jī)有界的。定理0.17.如果定理0.15的假設(shè)成立。存在大于零的常數(shù)M,使得則隨機(jī)微分方程(0.0.37)的平凡解在G-期望下是α-指數(shù)漸近平穩(wěn)的且有m =1/w。定理0.18.如果定理0.15的假設(shè)成立。假定存在大于零的常數(shù)M,使得則隨機(jī)微分方程(0.0.37)的平凡解在G-期望下是α-一致指數(shù)漸近平穩(wěn)的且有m = 1/w。第四章本章進(jìn)一步研究G-期望空間的相關(guān)性質(zhì),將Lyapunov定理從經(jīng)典的單一線性概率情形推廣到了 G-期望下一族概率測(cè)度的情形,給出了 G-隨機(jī)微分方程的解在容度意義下的平穩(wěn)性。定理0.19.考慮下列G-隨機(jī)微分方程初始值Xt0=x0。若存在正定函數(shù)V(x,t)∈ e C1,2(Sn× [0,∞))使得對(duì)任意的(x,t) ∈S× [0, ∞),有則G-隨機(jī)微分方程(0.0.43)的平凡解依容度u隨機(jī)平穩(wěn)。定理0.20.若存在正定漸減函數(shù)V(x,t)∈C2,1(Sh × [0,∞))使得為負(fù)定函數(shù),則方程(0.0.43)的平凡解在容度V意義下隨機(jī)漸近平穩(wěn)。定理0.21.若存在正定漸減徑向無(wú)界的函數(shù)V(x,t) ∈C2,1(R× [0,∞))使得為負(fù)定的,則方程(0.0.43)的平凡解在容度V意義下隨機(jī)充分漸近平穩(wěn)。注記0.4.實(shí)際上,在上述三個(gè)定理的證明中考慮下列函數(shù)由類(lèi)似的方法,可以將上述結(jié)果推廣到下列h≠ 0的G-隨機(jī)微分方程。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類(lèi)號(hào)】：F224

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：1528646