【摘要】：與正向隨機微分方程(SDEs)長達半個多世紀的研究歷史相比,倒向隨機微分方程(BSDEs)是一個比較新的研究方向,但進展卻非常迅速.除了其理論本身所具有的有趣的數(shù)學性質(zhì)外,還因為BSDEs在越來越多的領(lǐng)域展現(xiàn)了其廣闊的應(yīng)用前景.1973年Bismut [16]研究的線性BSDEs可以看作是著名的Girsanov定理的推廣.而非線性BSDEs的基本框架則是由Pardoux和Peng [95]在1990年引入的Peng在[98]中首先得到了倒向隨機微分方程和偏微分方程(PDEs)的關(guān)系,并且在[97]中研究了基于BSDEs的最優(yōu)控制問題的隨機最大值原理.從那以后,很多關(guān)于BSDEs的理論與應(yīng)用結(jié)果得到了發(fā)展,其中包括：正倒向隨機微分方程(FBSDEs)、反射倒向隨機微分方程、受限倒向隨機微分方程、倒向重隨機微分方程、隨機控制、數(shù)理金融、非線性期望與非線性鞅論、遞歸效用、偏微分方程以及微分幾何等. 隨著理論研究與應(yīng)用的不斷深入,BSDEs和FBSDEs數(shù)值計算方法的研究引起了越來越多的關(guān)注與重視.利用FBSDEs和PDEs的關(guān)系,Ma和Yong[87]提出了四步法.基于四步法的思想,在[37]中,作者提出了求解FBSDEs的數(shù)值格式,對其中的正向SDE采用Euler格式,對偏微分方程使用特征有限差分方法.[89,92,93,128]也基于同樣的想法提出了一些數(shù)值格式來求解FBSDEs. Bally在文[6]中引入了一種時間隨機離散格式并使用了Poisson過程的跳時間來離散BSDEs之后Bally和Pages[7]在美式期權(quán)定價問題中提出了量子化方法,該方法可以用于求解生成元不含z的反射BSDEs. Zhang在[125,126]中研究了BSDEs解的性質(zhì),提出并分析了Euler格式的半階收斂性.Gobet和Labart[51]推廣了Zhang[126]的結(jié)果,給出了求解FBSDEs的Euler格式誤差展開,證明了Euler格式的半階收斂精度.[52]提出了一種基于回歸Monte Carlo方法的數(shù)值格式,可以用于解決高維問題.在[18],Bouchard和Touzi提出了一個倒向離散格式,通過一個可以由核估計或者Malliavin分析推出的回歸算子來計算各個時間層上的條件數(shù)學期望Bender和Denk[12]提出了一個求解BSDEs的正向格式,避免了條件期望在各個時間層上的嵌套Delarue和Menozzi在[34]中提出了一個求解擬線性PDEs的正倒向隨機算法并證明了其半階收斂精度,然后在[35]中通過一個插值程序改善了這個算法Cvitanic和Zhang[32]把FBSDEs轉(zhuǎn)化為控制問題并提出了求解此問題的最速下降法.2006年,Zhao, Chen和Peng[129]提出求解一般形式的BSDEs的θ-格式,通過蒙特卡羅模擬和空間插值方法來近似各個時間層上的條件數(shù)學期望.2009年,Zhao, Wang和Peng[131]考慮了生成元ff不含z的BSDEs的θ-格式,并給出了θ-格式在L1-范數(shù)下的一階、二階收斂精度.2010年,Wang, Luo和Zhao[119]對生成元不含z的BSDEs利用其變分方程提出了求解z的二階收斂精度Crank-Nicolson格式. 本論文由三部分內(nèi)容組成.主要部分研究了正倒向隨機微分方程的數(shù)值求解方法及其在金融與雙曲型偏微分方程柯西問題中的應(yīng)用.第二部分研究了由受限倒向隨機微分方程的g9r-解誘導的風險度量,并通過風險度量的下卷積來研究最優(yōu)風險轉(zhuǎn)移問題.第三部分研究了賭博中倍注、斐波那契下注和風險百分比控制下注策略的破產(chǎn)概率問題,模擬和比較三種策略在量化交易中的資金曲線在最大資金回撤和最大資金回撤比值方面的表現(xiàn).本文共分為七章,以下是本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)論. 第一章：本章首先簡要介紹了隨機微分方程、倒向隨機微分方程和正倒向隨機微分方程的基礎(chǔ)理論及相關(guān)應(yīng)用,然后回顧了正倒向隨機微分方程與雙曲型偏微分方程數(shù)值求解方法的發(fā)展概況、Feynman-Kac公式、同倫分析方法和消逝粘性法等在求解非線性方程與雙曲型偏微分方程的問題中發(fā)揮著重要作用的工具與方法. 第二章：本章中,我們考慮生成元不含z的BSDEs其中Wr=(Wr1,...,Wrd)T為d維標準布朗運動,Wst,x=x+Ws-Wt(t≤s≤T). 在2.1節(jié),我們首先回顧了[129]中提出的半離散θ-格式2.1,然后在引理2.1中利用It6公式簡單地證明了[131]中給出的對如下定義的截斷誤差項Ryn和Rzn的估計 格式2.1假設(shè)(yn,zn)(n=N-1,N-2,...,0)為BSDEs(1)的適應(yīng)解(ys,zs)tn≤s≤T在s=tn時刻的近似.給定終端條件yN=yT.對n=N-1,N-2,...,1,0,通過以下的方程求解(yn,zn)其中θ1,θ2∈[0,1],θ3∈(0,1]. 引理2.1(1).若則對θ1,θ2∈[0,1],θ3∈(0,1],下面的估計成立(2).若則對θi=1/2(i=1,2,3),下面的估計成立這里C是一個依賴于T和f,φ,u導數(shù)上界的正常數(shù),其中u為PDE(2.3)的經(jīng)典解. 在2.2節(jié),基于[119,129]我們提出下面的變分θ-格式來求解BSDEs(1). 格式2.3假設(shè)(yk,n,zk,j,n)(n=N-1,N-2,...,0,1≤k≤m,1≤j≤d)為BSDEs(1)的適應(yīng)解(ysk,zsk,j)tn≤s≤T在s=tn時刻的近似.對1≤k≤m和1≤j≤d,給定終端條件yk,N=yTk和zk,j,N=zTk,j.對n=N-1,N-2,...,1,0,通過以下的方程求解(yk,n,zk,j,n)其中θ1,θ2∈[0,1],yn=(y1,n,...,ym,n)T,zn=(zk,j,n)m×d. 對上面的半離散變分θ-格式2.3,我們給出下面的誤差估計. 定理2.3令(yt,zt)是BSDEs(1)的解,(yn,zn)(n=N,N-1,...,0)是變分θ-格式2.3的解.(1).對1≤k≤m,若那么對足夠小的時間步長Δt和任意的θ1∈[0,1],我們有(2).對那么對足夠小的時間步長△t和θ1=1/2,我們有這里C是一個依賴于c0,m,d,T和f,φ,u導數(shù)上界的正常數(shù),其中u為PDE(2.3)的經(jīng)典解. 定理2.4令(yr,zt)是BSDEs(1)的解,(yn,zn)(n=N,N-1,...,0)是變分θ-格式2.3的解.(1).對1≤k≤m,若那么對足夠小的時間步長△t和任意的θ2∈[0,1],我們有(2).對1≤k≤m,若那么對足夠小的時間步長△t和θ1=θ2=1/2,我們有這里C是一個依賴于c0,m,d,T和f,θ,u導數(shù)上界的正常數(shù),其中u為PDE(2.3)的經(jīng)典解. 第三章：本章我們考慮非耦合的正倒向隨機微分方程我們主要研究非耦合FBSDEs(8)的半離散θ-格式3.1及其誤差估計.在數(shù)值實驗中,我們利用FBSDEs與PDEs的關(guān)系,將多資產(chǎn)期權(quán)定價的由Black-Scholes方程以及終端條件構(gòu)成的定解問題轉(zhuǎn)化成非耦合FBSDEs的求解問題,并使用全離散θ-格式來對利差和擇好期權(quán)進行定價. 格式3.1假設(shè)(Yn,Zn)(n=N-1,N-2,...,0)為FBSDEs(8)的解析解{(Ystn,Xn,Zstn,Xn),tn≤s≤T}在s=tn時刻的近似.給定終端條件YN=YT.對n=N-1,N-2,...,1,0,通過以下的方程組求解(Xn+1,Yn,Zn)其中θ1,θ2∈[0,1],θ3∈(0,1]. 當f=f(t,x,y)和f=f(t,x,y,z)時,對于求解非耦合FBSDEs的半離散θ-格式3.1,我們分別有下面的誤差估計. 定理3.2令YN=φ(XN).假設(shè)1,...,0)分別為FBSDEs(8)(其中f=f(t,x,y))和θ-格式3.1的解.若那么對我們有這里C是一個正常數(shù),僅依賴于c0,T和b,σ,f,φ,u的導數(shù)上界,u為PDE(3.3)的經(jīng)典解. 定理3.4令和(Xn,Yn,Zn)分別為FBSDEs(8)和θ-格式3.1的解.令YN=φ(XN)和若函數(shù)和那么我們有其中C是一個依賴于c0,T以及b,σ,f,φ和u導數(shù)上界的正常數(shù),u為PDE(3.3)的經(jīng)典解. 第四章：我們考慮一階雙曲型偏微分方程(PDEs)的數(shù)值求解問題.利用消逝粘性法以及FBSDEs與PDEs的聯(lián)系,我們把雙曲PDEs的求解問題轉(zhuǎn)化成一類弱耦合FBSDEs的求解問題.當ε充分小時,我們用FBSDEs(10)的解YT-tT-t,x,ε來近似雙曲型PDEs (9)的解U(t,x).在這里,對所有的 對弱耦合FBSDEs(10),我們提出下面的半離散與全離散數(shù)值格式.我們通過數(shù)值求解給定不同初始條件的線性方程、旋轉(zhuǎn)流場中初始濃度丘的輸運問題、Burgers方程和Buckley-Leverett方程等大量數(shù)值實驗來展示新的數(shù)值格式4.2在求解雙曲方程方面的有效性、高精度以及其在時間剖分上的優(yōu)勢.數(shù)值結(jié)果說明,數(shù)值格式4.2是一個高階格式,它能準確高效、無振蕩地捕捉激波和接觸間斷等.此外,數(shù)值格式4.2放寬了對條件CFL≤1的限制,也就是說,當CFL1時,格式4.2也可以用來求解雙曲型FDEs(9). 格式4.1假設(shè)為FBSDEs(10)的解析解T}在s=tn時刻的近似.給定終端條件yN=U0(x).對n=N-1,N-2,...,1,0,通過以下的方程組求解(yn,xn+1)格式4.1只是求解弱耦合FBSDEs(10)的半離散格式,為了數(shù)值求解(yn,xn+1),我們需要離散全空間,估計格式中的條件數(shù)學期望Etn[·]并且近似函數(shù)yn+1在非空間網(wǎng)格點處的取值.為了減少計算條件數(shù)學Etn[·]的時間,我們用Gauss-Hermite積分公式來近似計算Etn[·]. 格式4.2令yiN=U0(xi),i∈Z.對n=N-1,N-2,...,1,0,通過以下的方程組求解yin(i∈Z)其中Etn[yn+1]和Etn[yn+1]如下定義這里ηj,ωj(j=1,2,...,K)是由(2.39)和(2.40)定義的,Ihyn+1(xjn+1)是網(wǎng)格函數(shù){yin+1,i∈z}利用空間點xjn+1附近的有限網(wǎng)格點插值得到的yn+1在xjn+1點處的近似值. 第五章：基于[72]中求解非線性方程級數(shù)解的同倫分析思想,我們直接對非線性BSDEs應(yīng)用同倫分析的方法,得到BSDEs的級數(shù)近似解,并以美式期權(quán)定價問題作為實例進行具體計算. 對非線性BSDE我們引入嵌入變量p∈[0,1]和輔助參數(shù)h≠0,構(gòu)造如下一個雙參數(shù)倒向隨機微分方程族 顯然,p=0時,方程(13)變成線性BSDE它的解yt0可以直接由線性Feynman-Kac公式得到.p=1時,方程(13)變成非線性BSDE由BSDEs解的存在唯一性知,(yt1,zt1)就是非線性BSDE(12)的解.當p從0變到1,BSDEs(13)的解ytp相應(yīng)地由一個線性BSDE的解變?yōu)樵瓉淼姆蔷�性BSDE(12)的解. 假設(shè)我們能選擇恰當?shù)摩?β,h,使得ytp和ztp可以展開為關(guān)于嵌入變量p的泰勒級數(shù)且上述級數(shù)在p=1處收斂.若f(t,y)關(guān)于y存在l階偏導數(shù),那么我們有其中 我們把ytpk=1,ztp,f(t,ytp)的級數(shù)形式代入到雙參數(shù)倒向隨機微分方程族(13)并逐次合并p各次冪的同類項,令系數(shù)為零,我們將得到一系列線性BSDEs,并用這些線性BSDEs的解構(gòu)成的級數(shù)來逼近原來的非線性BSDE(12)的解. 第六章：本章我們考慮由受限倒向隨機微分方程的gΓ-解誘導的風險度量及其下卷積在風險轉(zhuǎn)移模型中的應(yīng)用.受限BSDE來源于非完備市場的期權(quán)定價和對沖問題.在非完備或更一般限制市場中,對沖某個期權(quán)的相應(yīng)的財富過程通常為某個給定概率下的上鞅,因此,在一般的情形下,我們需要考慮倒向隨機微分方程的9-上解. 定義6.1(g-上解,見[100])一個三元組(y,z,C)∈DFt2(0,T；R)×τFt2(0,T；Rd)×CFt2(0,T；R)被稱為滿足限制條件和終端條件yT=ξ的g-上解,如果限制條件(C)和都成立. 對任意給定的ξ∈τFT2(R),我們用Hφ(ξ)表示所有滿足限制條件(C)和方程(14)的三元組(y,z,C)所組成的集合.注意到對給定的ξ∈τFT2(R),咒Hφ(ξ)可能是空集,也可能包含多個元素.如果它非空,[100]證明了最小9-上解存在. 定義6.2(受限最小g-上解或gr-解,見[100,101])一個三元組(yt,zt,Ct)被稱為滿足限制條件(C)和終端條件yT=ξ的最小9-上解,如果對任意其他的滿足同樣條件的9-上解(y't,z't,C't),yt≤y't,a.e.,a.s.成立.我們也稱這樣的最小g-上解為gτ-解并記為εt,Tg,φ(ξ),特別地,當g(t,y,0)=0,φ(t,y,0)=0a.s.對(?)t∈[0,T]成立時,記為εtg,φ(ξ). 我們通過受限BSDEs的最小上解來定義一種風險度量.作為應(yīng)用,我們將利用風險度量的下卷積來研究最優(yōu)風險轉(zhuǎn)移問題.我們假定市場交易是存在限制的,在Barrieu和E1Karoui[11]中這樣的限制通過一個閉凸集來刻畫,并且由這個凸集來產(chǎn)生一個風險度量,而在我們的論文中,風險度量卻直接由受限的BSDEs產(chǎn)生. 假設(shè)兩個經(jīng)紀人的風險度量ρi(ξ)=ε0gi,φi(-ξ)分別由系數(shù)為gi,φi,i=1,2的受限BSDEs產(chǎn)生.我們考慮如下的優(yōu)化問題為了使上述問題有意義,我們必須保證受限最小上解對每一個ξ∈τ∞(FT)都是存在的,所以我們假設(shè),對h=g,φ,h(t,y,0)=0,(?)t∈[0,T],y∈R.這一點可以保證受限BSDE在整個空間τ∞(FT)上有定義.最優(yōu)問題(15)是經(jīng)紀人之間風險轉(zhuǎn)移的模型,更多詳情可參考Barrieu和El Karoui[11].我們基于對受限BSDEs結(jié)構(gòu)的分析,在一定的假設(shè)條件下,得到如下結(jié)果. 定理6.1如果g和Φ滿足假設(shè)(Ai),i=1,2,3并且對h=g,Φ成立,那么當gi=g,Φi=Φ,i=1,2時,ξ=0是問題(15)的一個最優(yōu)解. 上述結(jié)果告訴我們,如果兩個經(jīng)紀人的風險度量是由同一個BSDE在相同的限制下產(chǎn)生的,那么他們之間最優(yōu)的一個方式就是不做風險轉(zhuǎn)移,也就是他們之間不做任何交換.直觀地說,既然他們的風險度量是一模一樣的,那他們就可以看成是同一部門,自己和自己交換等于沒有交換. 定理6.2假定函數(shù)g和Φ滿足條件(Ai),i=1,2,3,Φ(λz)=λΦ(z)對任意λ0成立.令ρ(ξ)=ε0g,Φ(-ξ),gλ(z)=λg(z/λ),那么我們有 定理6.3假設(shè)函數(shù)g和Φ滿足條件(Ai),i=1,2,3,兩個經(jīng)紀人分別擁有以gλ和gγ為系數(shù)的受限最小上解產(chǎn)生的風險度量,那么問題(15)的一個最優(yōu)解為 我們還可以給出gΓ-解的下卷積的動態(tài)形式. 定理6.5假設(shè)gi,i,i=1,2,Φ均為滿足條件(Ai),i=1,2,3的凸函數(shù),Φ(t,z1+z2)≤Φ(t,z1)+Φ(t,z1),(?)z1,z2成立,并且存在a,b∈R使得gi(t,z)≥az+b,i=1,2.定義g1和g2的下卷積為令(εtg3,Φ(η),z3(t),C3(t))為以ξ∈L∞(FT)為終端滿足限制條件(C)的gτ-解.z是滿足z=arg miny{g1(t,z3(t)-y)+g2(t,y)}dt×dP-a.s.的可測函數(shù),那么下面結(jié)果成立： (1).對任意t∈[0,T]和任意ξ∈L∞(FT), (2).如果Φ(t,Z(t))=0,Φ(t,z3(t)-z(t))=0, 那么ξ*是問題(15)的最優(yōu)解,更進一步,我們有 第七章：賭徒破產(chǎn)的概率問題是一個經(jīng)典的破產(chǎn)問題,破產(chǎn)概率的大小直接關(guān)系著該游戲者的切身利益.本章我們首先研究了賭博中倍注、斐波那契下注和風險百分比控制下注策略的破產(chǎn)概率問題,然后模擬與比較了三種策略在量化交易中的資金曲線在最大資金回撤和最大資金回撤比值方面的表現(xiàn). 假設(shè)玩家擁有賭本100萬,最小賭注100元,每次下注玩家贏的概率為p.若我們不考慮最大賭注的限制,而且允許玩家在游戲中賒賬,并把“賭本≤0”定義為破產(chǎn),規(guī)定玩家破產(chǎn)后游戲結(jié)束.那么玩家在使用倍注策略賭博N次的游戲中破產(chǎn)的風險是多少? 由于213=8192,214=16384,故當N≤13時,玩家不可能破產(chǎn)；當14≤N≤6397時,玩家僅有連輸14次才會破產(chǎn).因此,我們可以把破產(chǎn)事件分解成若干相互獨立的小事件并計算每個小事件的概率.對足夠大的N,若隨機變量X表示游戲結(jié)束時玩家已參與的賭博次數(shù),那么我們有 當N≤73時,利用上面的獨立小事件的概率公式我們可以通過求和運算很容易地得到玩家在使用倍注策略賭博N次的游戲中破產(chǎn)概率的計算公式.但隨著賭博次數(shù)N的不斷增加,破產(chǎn)概率的計算變得越發(fā)復(fù)雜而且難以通過數(shù)學推導的方式來給出顯式表達式.近年來,計算技術(shù)與計算科學的飛速發(fā)展使得隨機模擬成為科學研究的有力工具,利用隨機模擬的方法研究破產(chǎn)概率也成為了一種快捷易行的手段.
[Abstract]:......
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2013
【分類號】：O241.8;F830.91

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 ;FORWARD-BACKWARD STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS, LINEAR QUADRATIC STOCHASTIC OPTIMAL CONTROL AND NONZERO SUM DIFFERENTIAL GAMES[J];Journal of Systems Science and Complexity;2005年02期

，

本文編號：2247063