本文選題：期權(quán)定價(jià) + 隱含波動(dòng)率　； 參考：《浙江大學(xué)》2012年博士論文

【摘要】：Black-Scholes基于無套利原理推導(dǎo)出著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。該公式的問世的確引起了金融經(jīng)濟(jì)學(xué)與金融業(yè)的革命。然而Black-Scholes模型也有自已的不足,它的常波動(dòng)率假設(shè)使得模型的隱含波動(dòng)率曲面獨(dú)立于敲定價(jià)格與到期時(shí)間,且不隨時(shí)間變化。但實(shí)際上,市場(chǎng)隱含波動(dòng)率曲面依賴于期權(quán)敲定價(jià)格K和到期時(shí)間T以及當(dāng)前時(shí)間t,體現(xiàn)以下特性： (1)對(duì)相同的到期時(shí)間T,·體現(xiàn)出波動(dòng)率微笑(smile)特性。 (2)隱含波動(dòng)率曲面隨時(shí)間t而動(dòng)態(tài)變化的。 這些市場(chǎng)特性與期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖緊密相連,因此在建模中體現(xiàn)這些特性非常重要。而Black-Scholes模型在這方面的的欠缺,引起了業(yè)內(nèi)對(duì)它的推廣。 目前主要有兩類模型來體現(xiàn)波動(dòng)率特性：一類是隨機(jī)波動(dòng)率模型,它直接用新的隨機(jī)過程對(duì)波動(dòng)率建模；另一類是局部波動(dòng)率模型,它的波動(dòng)率建模為基礎(chǔ)資產(chǎn)和時(shí)間的確定函數(shù)。 我們認(rèn)為局部波動(dòng)率刻畫了內(nèi)部因素,隨機(jī)波動(dòng)率刻畫了外部因素,它們都部分地刻畫了波動(dòng)率。如果把波動(dòng)率函數(shù)建模為局部和隨機(jī)波動(dòng)率兩部分的加權(quán)和形式,這樣會(huì)更加全面。于是我們提出了一類加權(quán)和局部隨機(jī)波動(dòng)率模型,并以SSCEV模型為例來進(jìn)行研究。我們選用J-P Fouque的奇異擾動(dòng)方法,推導(dǎo)出歐式期權(quán)定價(jià)公式的一階近似表達(dá)式,并給出了該近似公式的誤差估計(jì)。為了計(jì)算的方便,我們把近似公式的一階項(xiàng)和零階項(xiàng)分別關(guān)于指數(shù)參數(shù)漸進(jìn)展開,得到漸進(jìn)解析公式。 實(shí)證分析結(jié)果顯示,SSCEV模型對(duì)到期時(shí)間大于90天的歐式期權(quán)數(shù)據(jù)擬合效果是比較好的。且對(duì)不同的到期時(shí)間,模型預(yù)測(cè)的波動(dòng)率曲線動(dòng)態(tài)方向與市場(chǎng)觀測(cè)的相一致。這克服了局部波動(dòng)率的這方面的問題,使得模型的對(duì)沖更加穩(wěn)定。 另外,基于Jim Gatheral的工作,我們對(duì)Pierre Henry-Labordere(2008)的近似結(jié)果進(jìn)行改進(jìn),給出局部波動(dòng)率模型下隱含波動(dòng)率的一種新的近似公式,并巧妙的利用Taylor級(jí)數(shù)展開,推導(dǎo)出近似公式的簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)形式。 數(shù)值結(jié)果顯示,在時(shí)間齊次與非齊次的CEV模型下,我們的近似公式均顯示出較高的近似精度。且在計(jì)算上也要簡(jiǎn)單許多,因此它可以作為CEV模型精確解的良好替代。 在時(shí)間非齊次的CEV模型情形,與Pierre Henry-Labordere(2008)的近似結(jié)果進(jìn)行比較得出：我們基于它的修正不僅在精度上提高很多,而且有更好的穩(wěn)定性.這說明了改進(jìn)效果顯著。
[Abstract]:Black-Scholes derives the famous Black-Scholes option pricing formula based on the arbitrage free principle. The emergence of the formula did lead to a revolution in financial economics and finance. However, the Black-Scholes model also has its own shortcomings. Its constant volatility hypothesis makes the implicit volatility surface of the model independent of the fixed price and maturity time, and does not change with time. In practice, however, the implied volatility surface of the market depends on the option strike price K and the maturity time T, as well as the current time t, reflecting the following characteristics: 1) for the same expiration time T, the volatility smile is reflected in the characteristic of mileage. 2) the implicit volatility surfaces change dynamically with time t. These market characteristics are closely related to option risk hedging, so it is very important to embody these characteristics in modeling. And the lack of Black-Scholes model in this respect, has caused the promotion of it in the industry. At present, there are mainly two kinds of models to reflect volatility characteristics: one is stochastic volatility model, which directly uses new stochastic processes to model volatility, the other is local volatility model. Its volatility is modeled as a deterministic function of the underlying asset and time. We consider that local volatility characterizes internal factors, random volatility characterizes external factors, and they all characterize volatility partially. If the volatility function is modeled as the weighted sum of local and random volatility, it will be more comprehensive. So we propose a class of weighted and local stochastic volatility models, and take the SSCEV model as an example to study. Using J-P Fouque's singular perturbation method, we derive the first order approximate expression of European option pricing formula, and give the error estimate of the approximate formula. For the convenience of calculation, we develop the first order term and zero order term of the approximate formula with respect to the exponential parameters respectively, and obtain the asymptotic analytic formula. The empirical results show that the SSCEV model has a good effect on European option data whose expiration time is longer than 90 days. For different expiration time, the dynamic direction of volatility curve predicted by the model is consistent with that of market observation. This overcomes the problem of local volatility and makes the hedging of the model more stable. In addition, based on the work of Jim Gatheral, we improve the approximate results of Pierre Henry-Labordereen 2008, and give a new approximate formula of implicit volatility under local volatility model, and use Taylor series to expand it cleverly. The simple series form of approximate formula is deduced. Numerical results show that our approximate formulas show high approximation accuracy under the time-homogeneous and non-homogeneous CEV models. And it is much simpler in calculation, so it can be used as a good substitute for the exact solution of CEV model. In the case of time-inhomogeneous CEV model, the comparison with the approximate result of Pierre Henry-Labordereen 2008) shows that our correction based on it not only improves the accuracy but also has better stability. This shows that the effect of improvement is remarkable.
【學(xué)位授予單位】：浙江大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2012
【分類號(hào)】：F224;F830

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本文編號(hào)：1812785