本文選題：無窮維耦合系統(tǒng) + 粘彈性理論��； 參考：《北京理工大學》2014年博士論文

【摘要】：在過去的幾十年中,隨著粘彈性材料在機械、化工、建筑、交通和信息等領域的廣泛應用,具有粘彈性的彈性結構的動態(tài)行為和振動控制已經(jīng)引起工程界和學術界的密切關注.因為溫度是影響材料粘彈性性質的重要參數(shù)之一,所以我們得到的數(shù)學模型往往是熱傳導方程和熱彈性方程耦合在一起的無窮維混合系統(tǒng).20世紀60年代以來,以粘彈性阻尼材料為基礎的阻尼減振技術得到了長足的發(fā)展,它已廣泛應用于各種軍事、航天航空、艦船等的振動控制及噪聲控制.因此,帶有阻尼的無窮維耦合系統(tǒng)的鎮(zhèn)定與控制研究具有重要的理論指導意義. 本文借助算子半群理論和漸近分析的技巧,運用譜分析方法和Riesz基途徑研究一類帶有阻尼的無窮維耦合系統(tǒng)的動態(tài)行為,特別是指數(shù)穩(wěn)定性問題.無窮維耦合系統(tǒng)是指由泛函微分方程組或偏微分方程組所描述的系統(tǒng),是一種典型的分布參數(shù)系統(tǒng).根據(jù)研究內容和研究思路,論文分為三部分內容：第一部分,即第二章,研究一類單個帶有粘彈性阻尼和粘性阻尼的波方程的動態(tài)行為問題;第二部分包括第三章至第五章,研究一類PDE-PDE無窮維耦合系統(tǒng)的Riesz基性質及指數(shù)穩(wěn)定問題;第三部分是第六章,研究一類PDE-ODE無窮維耦合系統(tǒng)的邊界反饋控制和指數(shù)鎮(zhèn)定問題.本文具體內容如下： 第一章介紹了在材料學中占有重要地位的,粘彈性理論、熱粘彈性理論和熱彈性理論;并介紹了本文的結構、主要結果以及后面各章中要用到的基本概念和定理等預備知識. 第二章研究單個帶有Boltzmann粘彈性阻尼和粘性摩擦阻尼的一維波動方程的譜分析和指數(shù)穩(wěn)定性問題.首先,通過引入N個新的變量,把時變系統(tǒng)轉化為時不變的,然后,定義一個無界算子將得到的系統(tǒng)表示為狀態(tài)空間上的抽象發(fā)展方程的形式,并利用相關泛函分析知識證明系統(tǒng)的適定性.其次,采用漸近分析的技巧給出了振動頻率的漸近表達式.最后,驗證系統(tǒng)的Riesz基性質成立,進而得出系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性,這說明此振動系統(tǒng)的動力學特性完全由振動頻率決定.這一結果表明粘彈性阻尼的耗散性使系統(tǒng)指數(shù)衰減. 第三章研究一維具有Dirichlet-Dirichlet邊界條件的熱粘彈性系統(tǒng)：該系統(tǒng)用來描述一個受溫度影響的粘彈性桿(或棒)的形變行為.桿的形變與溫度之間相互作用和相互影響,因此熱傳導方程和熱彈性方程不是獨立的,而是耦合在一起的混合系統(tǒng).它等價于如下帶有粘彈性阻尼的雙曲-拋物型無窮維耦合系統(tǒng)：借助算子半群理論和譜分析方法,我們給出了系統(tǒng)的適定性,討論了系統(tǒng)算子譜的漸近分布,驗證了該耦合系統(tǒng)的Riesz基性質.因此譜確定增長條件成立,從而得到當參數(shù)滿足k≠μ時系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.結果表明：該耦合系統(tǒng)中熱傳導和粘彈性阻尼都具有耗散性,這兩個耗散性不僅使得系統(tǒng)在無外加能源的條件下指數(shù)鎮(zhèn)定,而且使系統(tǒng)所生成的半群是解析的,也就是說,當k≠μ時,我們可以把帶有熱粘彈性阻尼的整個系統(tǒng)看作是它自身的動態(tài)控制器. 第四章是在第三章的基礎上將熱傳導方程中的高階項用含有高階項的Boltzmann阻尼來代替,通過引入新的變量將原系統(tǒng)轉化為下面的PDE-PDE無窮維耦合系統(tǒng)：利用算子半群理論和譜分析方法,我們分析了系統(tǒng)算子的適定性和譜在復平面上的分布,證明了其Riesz基性質,從而得到系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.同樣地,該系統(tǒng)也可看作是它本身的動態(tài)控制器.值得注意的是,熱傳導方程中的改變減弱了耗散性,使得相應的半群性質也減弱,不再解析. 第五章研究第Ⅲ類型的熱彈性無窮維耦合系統(tǒng)的動態(tài)行為.這里,熱傳導方程是雙曲型的,而不是經(jīng)典熱彈性理論中的拋物型方程.也就是說,第Ⅲ類型熱彈性理論以一種更合理的方式給出了與實際情況完全一致的解釋：熱以有限速度傳播.相對于傳統(tǒng)熱傳導理論中熱的傳播速度是無窮大這種非物理假設來說,這是一種提升和推廣.在數(shù)學上,第Ⅲ類型熱彈性理論中,熱的傳播可以用一個帶有K-V阻尼的波動方程來表示.在本章中,利用譜分析方法和漸近分析的技巧,我們給出了特征值和特征函數(shù)的漸近表達式,驗證了系統(tǒng)的Riesz基性質,進而得到了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.理論研究和數(shù)值模擬結果表明,僅由熱傳導方程產(chǎn)生的耗散性可以指數(shù)鎮(zhèn)定整個系統(tǒng),即,我們可以把帶有K-V阻尼的熱傳導方程看作整個系統(tǒng)的動態(tài)控制器. 第六章采用Riesz基方法研究如下Euler-Bernoulli Beam-ODE無窮維耦合系統(tǒng)的反饋控制和指數(shù)鎮(zhèn)定問題.其中,梁的四階偏微分方程可以看作是控制器,受控ODE系統(tǒng)通過梁方程的邊界輸出與PDE系統(tǒng)耦合在一起.首先,利用譜分析方法給出系統(tǒng)算子的特征值和特征函數(shù)的漸近表達式;然后證明存在一列廣義特征函數(shù)構成狀態(tài)空間的一組Riesz基,因此系統(tǒng)的譜確定增長條件成立,從而系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.
[Abstract]:In the past few decades , with the wide application of viscoelastic materials in the fields of mechanics , chemical engineering , construction , transportation and information , the dynamic behavior and vibration control of elastic structures with viscoelasticity have attracted close attention from engineering circles and academia . Since temperature is one of the important parameters that affect the viscoelastic properties of materials , the mathematical models we get are often the infinite dimensional hybrid systems coupled together by thermal conduction equations and thermal elastic equations . Since the 1960s , the damping vibration damping technology based on viscoelastic damping materials has been widely used in various military , aerospace , naval and other vibration control and noise control . Therefore , the stabilization and control study of infinite dimensional coupling systems with damping has important theoretical significance .

In this paper , the dynamic behavior of a class of infinite dimensional coupling systems with damping is studied by means of the technique of semigroup theory and asymptotic analysis .

The first chapter introduces the theory of viscoelastic theory , thermal viscoelasticity theory and thermoelastic theory which plays an important role in the material science , and introduces the structure , main results and preliminary knowledge of the basic concepts and theorems to be used in the following chapters .

In the second chapter , we study the spectral analysis and exponential stability of a single - dimensional wave equation with Boltzmann viscoelastic damping and viscous friction damping . First , by introducing the N new variables , the time - varying system is transformed into a time - invariant system . Then , a unbounded operator is defined as the form of the abstract development equation on the state space . Then , the asymptotic expression of the vibration frequency is obtained by using the technique of asymptotic analysis . Finally , the dynamic characteristics of the system are determined by the vibration frequency . The results show that the dissipation of the viscoelastic damping causes the system exponential decay .

In chapter 3 , the thermal viscoelasticity system with Dirichlet - Dirichlet boundary conditions is studied . The system is used to describe the deformation behavior of a viscoelastic rod ( or rod ) which is influenced by temperature .

The fourth chapter is to replace the higher order term in the heat conduction equation with the Boltzmann damping containing higher order terms on the basis of the third chapter . By introducing the new variable , we transform the original system into the following PDE - PDE infinite dimensional coupling system . By using the operator semigroup theory and the spectral analysis method , we analyze the property of the system operator and the distribution of the spectrum on the complex plane , and prove its Riesz base property , thus the exponential stability of the system is obtained .

In chapter 5 , the dynamic behavior of the thermal elastic infinite dimensional coupling system of type 鈪，

本文編號：1780066