結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展

發(fā)布時間：2017-01-03 11:17

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第39卷第12期2013年12月；自動化學(xué)報；ACTAAUTOMATICASINICA；Vol.39,No.12December,201；結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展；劉芳1,2；武嬌1,2,3；楊淑媛2；焦李成2；摘要壓縮感知(Compressivesensin；壓縮感知,壓縮觀測,稀疏表示,信號重構(gòu),結(jié)構(gòu)模型；劉芳,武嬌,楊淑媛,焦李成.結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)；

第39卷第12期2013年12月

自動化學(xué)報

ACTAAUTOMATICASINICA

Vol.39,No.12December,2013

結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展

劉芳1,2

武嬌1,2,3

楊淑媛2

焦李成2

摘要壓縮感知(Compressivesensing,CS)是一種全新的信息采集與處理的理論框架.借助信號內(nèi)在的稀疏性或可壓縮性,可從小規(guī)模的線性、非自適應(yīng)的測量中通過非線性優(yōu)化的方法重構(gòu)信號.結(jié)構(gòu)化壓縮感知是在傳統(tǒng)壓縮感知基礎(chǔ)上形成的新的理論框架,旨在將與數(shù)據(jù)采集硬件及復(fù)雜信號模型相匹配的先驗(yàn)信息引入傳統(tǒng)壓縮感知,從而實(shí)現(xiàn)對更廣泛類型的信號準(zhǔn)確有效的重建.本文圍繞壓縮感知的三個基本問題,從結(jié)構(gòu)化測量方法、結(jié)構(gòu)化稀疏表示和結(jié)構(gòu)化信號重構(gòu)三個方面對結(jié)構(gòu)化壓縮感知的基本模型和關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行詳細(xì)的闡述,綜述了結(jié)構(gòu)化壓縮感知的最新的研究成果,指出結(jié)構(gòu)化壓縮感知進(jìn)一步研究的方向.關(guān)鍵詞引用格式DOI

壓縮感知,壓縮觀測,稀疏表示,信號重構(gòu),結(jié)構(gòu)模型

劉芳,武嬌,楊淑媛,焦李成.結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展.自動化學(xué)報,2013,39(12):1980?199510.3724/SP.J.1004.2013.01980

ResearchAdvancesonStructuredCompressiveSensing

LIUFang1,2

WUJiao1,2,3

YANGShu-Yuan2

JIAOLi-Cheng2

AbstractCompressivesensing(CS)isanewlydevelopedtheoreticalframeworkforinformationacquisitionandpro-cessing.Usingthenon-linearoptimizationmethods,thesignalscanberecoveredfromfewerlinearandnon-adaptivemeasurementsbytakingadvantageofthesparsityorcompressibilityinherentinrealworldsignals.Structuredcom-pressivesensingisanewframeworkwhichcantreatmoregeneralsignalclassestoachievetheaccurateande?ectivereconstructioninpracticebyintroducingthepriorinformationmatchingwithdataacquisitionhardwareandcompli-catedsignalmodelstotraditionalcompressivesensing.Inthispaper,thebasicmodelsandkeytechniquesofstructuredcompressivesensingareintroducedintermsofthestructuredmeasurements,thestructureddictionaryrepresentationandthestructuredsignalreconstruction,whichcorrespondtothreebasicaspectsofcompressivesensing,andtherecentdevelopmentsofstructuredcompressivesensingarereviewedindetail.Finally,thecurrentandfuturechallengesofthestructuredcompressivesensingarediscussed.Keywordsturedmodel

Compressivesensing(CS),compressivemeasurement,sparserepresentation,signalreconstruction,struc-

CitationLiuFang,WuJiao,YangShu-Yuan,JiaoLi-Cheng.Researchadvancesonstructuredcompressivesensing.ActaAutomaticaSinica,2013,39(12):1980?1995

收稿日期2012-09-10錄用日期2013-04-09

ManuscriptreceivedSeptember10,2012;acceptedApril9,2013國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2013CB329402),國家自然科學(xué)基金(61072106,61072108,61173090,61272023),高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃(111計(jì)劃)(B07048),教育部長江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃(IRT1170),國家教育部博士點(diǎn)基金(20110203110006),智能感知與圖像理解教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(IPIU012011002)資助SupportedbyNationalBasicResearchProgramofChina(973Program)(2013CB329402),NationalNaturalScienceFounda-tionofChina(61072106,61072108,61173090,61272023),FundforForeignScholarsinUniversityResearchandTeachingPro-grams(111Project)(B07048),ProgramforCheungKongSchol-arsandInnovativeResearchTeaminUniversity(IRT1170),NationalResearchFoundationfortheDoctoralProgramofHigherEducationofChina(20110203110006),andtheOpenResearchFundProgramofKeyLaboratoryofIntelligentPer-ceptionandImageUnderstandingofMinistryofEducationofChina(IPIU012011002)本文責(zé)任編委王聰

新興的壓縮感知(Compressivesensing,CS)為信息采集提供了全新的方法.與傳統(tǒng)的Nyquist采樣相比,CS以壓縮形式(即低采樣率)直接感知具有稀疏或可壓縮性的對象,而不是先以高速率進(jìn)行采樣,然后再對數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮,因此CS為解決傳統(tǒng)采樣方法面臨的高成本、低效率、信息冗余以及數(shù)據(jù)存儲和傳輸?shù)馁Y源浪費(fèi)等問題帶來了新的契機(jī).CS領(lǐng)域的研究始于Cand`es等[1?4]和Donoho[5]開創(chuàng)性的工作,他們證明了具有稀疏或可壓縮性的有限維信號,可從小規(guī)模的線性、非自適應(yīng)的測量中使用非線性優(yōu)化的方法獲得恢復(fù).CS理論一經(jīng)提出就備受關(guān)注,之后的幾年涌現(xiàn)出大量的相關(guān)研究,并在許多工程領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了CS的應(yīng)用,例如欠Nyquist采樣系統(tǒng)[6]、壓縮成像系統(tǒng)[7]、壓縮傳感網(wǎng)絡(luò)[8]等.最

sity,Xi??an7100712.KeyLaboratoryofIntelligentPercep-tionandImageUnderstandingofEducation,XidianUniversity,Xi??an7100713.CollegeofSciences,ChinaJiliangUniversity,Hangzhou310018

RecommendedbyAssociateEditorWANGCong

1.西安電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院西安7100712.智能感知與圖像理解教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安7100713.中國計(jì)量學(xué)院理學(xué)院杭州310018

1.SchoolofComputerScienceandTechnology,XidianUniver-

典型的應(yīng)用例子是在醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域,CS成像在保持診斷質(zhì)量的同時將兒科的核磁共振成像(Nuclearmagneticresonanceimaging,NMRI)的速度提高了7倍[9].這種基于CS理論的新型成像方法,將對醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域中昂貴的成像器件的設(shè)計(jì)產(chǎn)生重要的影響.

自2006年CS理論提出以來,國際與國內(nèi)出現(xiàn)了許多CS理論與應(yīng)用研究的課題組和科研機(jī)構(gòu),召開了眾多相關(guān)的研討會,并且在IEEE的信息論、信號處理及圖像處理等國際知名期刊涌現(xiàn)出上百篇涉及CS理論與應(yīng)用方面的文獻(xiàn).其中一些關(guān)于傳統(tǒng)CS理論的優(yōu)秀的綜述性文獻(xiàn)[1,10?15]對CS的理論基礎(chǔ)、基本問題、研究方法以及CS的應(yīng)用前景進(jìn)行了詳細(xì)的介紹.上述文獻(xiàn)指出,傳統(tǒng)CS理論是以信號的稀疏性或可壓縮性為基礎(chǔ)的,研究的基本內(nèi)容包括信號的稀疏表示、壓縮測量(采樣)方法設(shè)計(jì)和信號重構(gòu)算法設(shè)計(jì).傳統(tǒng)CS的工作多集中于使用隨機(jī)測量對有限維的信號進(jìn)行低速觀測,以信號固有的變換稀疏性作為先驗(yàn)信息來重構(gòu)信號,沒有考慮時間連續(xù)信號的情況和應(yīng)用CS理論所必須的硬件系統(tǒng).為此與數(shù)據(jù)采集硬件系統(tǒng)和復(fù)雜信號模型相匹配的先驗(yàn)信息被引入到傳統(tǒng)CS,這些先驗(yàn)信息在CS中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在三個方面:1)結(jié)構(gòu)化的測量方法,即傳統(tǒng)CS中的隨機(jī)測量被與信號相匹配的結(jié)構(gòu)化測量框架所代替;2)結(jié)構(gòu)化字典下的表示,即獲得信號低維結(jié)構(gòu)的稀疏表示(即結(jié)構(gòu)稀疏表示);3)結(jié)構(gòu)化的CS重構(gòu),即在信號的重構(gòu)中使用能夠?qū)Ω鼮閺V泛類型的信號(包括無限維信號)進(jìn)行描述的結(jié)構(gòu)先驗(yàn)?zāi)Ｐ?由此傳統(tǒng)CS理論得到推廣,逐步形成CS的新的理論框架—結(jié)構(gòu)化CS理論[16].

本文對新的結(jié)構(gòu)化CS理論的研究狀況進(jìn)行綜述.在第1節(jié)中,首先概述傳統(tǒng)CS的數(shù)學(xué)模型;其次,在第2節(jié)中介紹結(jié)構(gòu)化CS中的幾種低維結(jié)構(gòu)模型;在第3節(jié)中,圍繞CS理論的三個基本問題,對結(jié)構(gòu)化CS的相關(guān)研究方法進(jìn)行詳細(xì)的綜述;最后,在第4節(jié)中展望未來的研究方向.

若令Φ=ΘΨ,式(1)可轉(zhuǎn)化為

y=ΘΨx=Φx(2)

Φ被稱為CS信息算子.

與壓縮采樣過程相對的逆問題是從測量y中

??,從而估重構(gòu)信號f.求解式(2)獲得變換系數(shù)x

??.但該問題是欠定的,具有無窮多個解.CS計(jì)f

理論以x的稀疏性作為約束條件,大大減少了問題可行解的個數(shù).這時,求解式(2)是尋找線性系統(tǒng)稀疏解的過程,一般被稱為稀疏逼近(Sparseapproximation)[17],出現(xiàn)在諸如統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號處理、機(jī)器學(xué)習(xí)、編碼理論和逼近理論等許多領(lǐng)域.CS重構(gòu)是稀疏逼近的一種特殊形式.

信號的傳統(tǒng)壓縮感知過程如圖1所示,其中壓縮觀測、稀疏表示和信號優(yōu)化重構(gòu)這三個基本模塊是CS理論研究的三個重要方向.信號的稀疏性是CS的必備條件,非相關(guān)的觀測是CS的關(guān)鍵,非線性優(yōu)化是CS重構(gòu)信號的手段[15]

圖1

Fig.1

傳統(tǒng)壓縮感知框架

Frameoftraditionalcompressivesensing

2信號的低維結(jié)構(gòu)模型

一般來說,包含著先驗(yàn)知識的模型對尋找或處理我們感興趣的信號是很有幫助的,而我們研究的信號往往具有各種不同的潛在的低維結(jié)構(gòu),也就是說,高維信號的自由度通常遠(yuǎn)低于信號的維數(shù).近年來,在許多領(lǐng)域出現(xiàn)了對信號的低維結(jié)構(gòu)模型的研究[16,18].本節(jié)將介紹幾個在CS中常用的信號結(jié)構(gòu)模型.

2.1稀疏信號模型

稀疏信號模型是信號處理領(lǐng)域普遍使用的最簡單的模型,傳統(tǒng)CS理論正是以其為基礎(chǔ)構(gòu)建起來的.從數(shù)學(xué)的定義來說,當(dāng)信號f∈RN在某個基或字典下的變換系數(shù)x中僅含有k個非零項(xiàng),即??x??0=k(k??N),稱f是k-稀疏的.稀疏性體現(xiàn)出在很多情況下高維信號實(shí)際僅包含了遠(yuǎn)低于其維數(shù)的少量信息.實(shí)際場景中的大部分信號并不是精確稀疏的,但能夠由k-稀疏信號很好地逼近,通常稱這些信號是可壓縮的.對稀疏信號x∈RN,所有k-稀疏信號構(gòu)成的集合記為

1傳統(tǒng)壓縮感知

傳統(tǒng)Nyquist采樣通過均勻采樣獲取數(shù)據(jù),而CS系統(tǒng)則是以信號與觀測函數(shù)之間的內(nèi)積的形式來對數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣.假設(shè)信號f∈RN在某個正交字典Ψ∈RN×N下具有稀疏表示,即f=Ψx,變換系數(shù)x是稀疏的,那么給定與Ψ不相關(guān)的觀測矩陣Θ∈RK×N(K??N),我們可獲得K維壓縮的線性測量(投影):

y=Θf(1)

Σk={x:??x??0≤k}

|Σk|表示k-稀疏信號的個數(shù),則|Σk|=CN.

(3)

這些少量的測量中包含了重構(gòu)信號f的充足信息.

如上所述,壓縮測量中重構(gòu)信號是一個欠定問題,過去十年許多研究者從理論和求解算法上對此進(jìn)行了研究.理論表明,在稀疏模型約束下,當(dāng)觀測矩陣滿足有限等距性質(zhì)(Restrictedisometryprop-erty,RIP)[2,19?22],或當(dāng)Φ中線性相關(guān)的列的最小數(shù)目spark(Φ)大于2k時[23],式(2)有唯一確定的解.

稀疏矩陣X的充分必要條件是

|supp(X)|<

spark(Φ)?1+rank(X)

(5)

2.2多測量向量模型

在實(shí)際應(yīng)用中,研究的復(fù)雜信號往往隱含著稀疏性之外的一些潛在的結(jié)構(gòu)信息,從而出現(xiàn)如何將信號結(jié)構(gòu)與稀疏性相結(jié)合以獲得更優(yōu)結(jié)果的問題.

對有限維信號的重構(gòu)問題,傳統(tǒng)CS由單重測量恢復(fù)未知的稀疏信號,被稱為單測量向量(Singlemeasurementvector,SMV)模型.作為SMV模型的推廣,多測量向量(Multiplemeasurementvec-tor,MMV)模型是CS中使用的第一類結(jié)構(gòu)模型.從多重測量恢復(fù)多個未知的稀疏信號,被用于分布式壓縮感知(DistributedCS)[24]的聯(lián)合稀疏重構(gòu)問題.MMV問題在信號處理領(lǐng)域的研究已超過十年,最初在腦磁圖數(shù)據(jù)處理中提出[25],之后被應(yīng)用于陣列信號處理、認(rèn)知無線電、多帶通信以及DNA微陣列等[16].

MMV模型具有如下形式:

文獻(xiàn)[26?27]證明了當(dāng)用rank(Y)代換式(5)中的rank(X)時,仍能夠保證從Y唯一地確定X,并提出可獲得更優(yōu)性能的基于Y的秩信息的重構(gòu)算法.文獻(xiàn)[28]證明了甚至在有無窮多個向量xq的情況下,上述唯一恢復(fù)的條件也是充分的.

上述研究表明,具有較大的秩的矩陣X能夠從比支撐個數(shù)少得多的測量中恢復(fù);具有較大支撐的矩陣X能夠從與支撐個數(shù)相同的測量恢復(fù).當(dāng)rank(X)=k,且spark(Φ)的最大的可能值等于K+1時,由式(5)可得K≥k+1,也就是說在最理想的情況下,MMV模型的每個信號僅需k+1個測量即可保證唯一重構(gòu),這比傳統(tǒng)CS(或SMV模型)中由spark性質(zhì)獲得的保證唯一恢復(fù)的測量數(shù)量2k[23]要低得多.

2.3子空間聯(lián)合模型

這種結(jié)構(gòu)化模型可以推廣至無限維空間.對具有某些結(jié)構(gòu)的N維k-稀疏信號,可能僅需將信號的支撐限制在Σk中的一個更小的子集上就能夠很好地刻畫信號的結(jié)構(gòu).例如當(dāng)信號的非零系數(shù)以某種聚集形式出現(xiàn)時,就可以由子空間聯(lián)合(Unionsofsubspaces)模型來刻畫信號的這種結(jié)構(gòu).信號的子空間聯(lián)合模型是對稀疏模型的擴(kuò)展,能夠用于刻畫包括維數(shù)有限和無限的更多類型的信號.

在子空間聯(lián)合模型中,如果已經(jīng)知道x位于L個可能的子空間U1,···,UL中的某個子空間,那么x一定位于這L個子空間的并中[16,29],即

Y=ΦX+V(4)

其中X=[x1,···,xQ]∈RN×Q是信號矩陣,表示由Q個信號xq∈RN(q=1,···,Q)構(gòu)成的信號集;Y=[y1,···,yQ]∈RK×Q是多測量矩陣,Φ∈RK×N是CS信息矩陣,V∈RK×Q是Gaus-sian白噪聲矩陣.當(dāng)Q=1時,式(4)退化為SMV模型.

MMV模型假設(shè)信號xq(q=1,···,Q)是k-稀疏的,并且具有相同的稀疏支撐,即非零值出現(xiàn)在相同的位置.定義?=supp(X)=∪qsupp(xq)為X的非零行的位置標(biāo)識集,則X最多有k個非零行,即|supp(X)|≤k,我們稱X是k-聯(lián)合稀疏矩陣[26].

對從多測量Y重構(gòu)信號矩陣X的問題,可以通過求解Q個SMV問題,依次從yq恢復(fù)xq來重構(gòu)X.但由于所有的信號xq(q=1,···,Q)都具有相同的支撐,因此可以期望利用這種聯(lián)合結(jié)構(gòu)信息來提高重構(gòu)質(zhì)量.也就是說,一般情況下重構(gòu)X所需的測量的數(shù)量K×Q要小于S×Q,其中S是由傳統(tǒng)CS方法在相同精度下重構(gòu)單個信號xq所需的測量個數(shù)[16].

MMV模型的k-聯(lián)合稀疏矩陣X滿足rank(X)≤k,rank(X)是X的秩.文獻(xiàn)[26]從理論上證明了從多測量Y=ΦX唯一確定k-聯(lián)合

x∈U=

L??l=1

Ul(6)

其中,Ul(1≤l≤L)是RN中的k-維子空間,對應(yīng)

于x中k個非零系數(shù)的某個特定的位置集合.與包

含所有可能的N維k-稀疏信號的集合Σk(由CN

個子空間的并構(gòu)成)相比,L往往遠(yuǎn)小于CN.

當(dāng)前還沒有統(tǒng)一的方法來處理所有的聯(lián)合模型,研究者們對在一些特殊類型的子空間聯(lián)合模型下的信號采樣和恢復(fù)問題做出了相關(guān)的理論和應(yīng)用研究[16].最簡單的聯(lián)合模型為有限個子空間的聯(lián)合(Finiteunionofsubspaces,FUS)模型,其中子空間的個數(shù)和維數(shù)都是有限的.

文獻(xiàn)[30]中提出的基于模型的CS(Model-basedCS)使用了FUS模型的一種特殊情況—結(jié)構(gòu)稀疏支撐(Structuredsparsesupports)模型.該模型利用支撐的額外信息,如向量的非零元素的位置,使得U僅是Σk中的一部分.一種典型的結(jié)

圖2

Fig.2

信號/圖像的小波樹結(jié)構(gòu)

Wavelettreestructureofsignal/image

構(gòu)稀疏支撐模型為樹結(jié)構(gòu)支撐(Tree-structuredsupports)模型[30].光滑的小波基為光滑和分段光滑的信號,包括自然圖像,提供了稀疏或可壓縮表示,并且這些信號和圖像的小波系數(shù)自然地形成一種樹狀結(jié)構(gòu),具有大幅值的系數(shù)沿著樹的分支而聚集,如圖2所示.因此僅需要使用由與樹結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的子空間構(gòu)成的并集來表示信號.

FUS模型的另一種特殊情況是子空間的稀疏和(Sparsesumsofsubspaces)模型,在這種模型中構(gòu)成并集的每個子空間Ul是k個低維子空間的直和[16,31]:

k??Ul=Wlj(7)

j=1

等應(yīng)用中

圖3Fig.3

塊稀疏向量[16]

Blocksparsevector[16]

其中{Wl1,···,Wlk}是給定的子空間集合,

dim(Wlj)=dl.因此不同的子空間Ul對應(yīng)于從L個子空間Wlj中取出不同的k個子空間構(gòu)成的和.當(dāng)dim(Wlj)=1時,該模型退化為標(biāo)準(zhǔn)的稀疏模型.由此,可得到塊稀疏(Blocksparsity)模型[32?34],即一個向量中的某些塊等于零,其他部分不為零.圖3給出一個塊稀疏向量的例子.向量x分成5個塊,其中陰影區(qū)域表示向量的10個非零元素,它們占了2個塊,dl表示第l個塊中包含的元素的個數(shù).當(dāng)對所有l(wèi),dl=1時,塊稀疏性退化為標(biāo)準(zhǔn)稀疏性.統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域?qū)K稀疏模型的性質(zhì)進(jìn)行了大量的研究[35?38],此外塊稀疏模型也被用于DNA微陣分析[39?40]、稀疏通信信道均衡[41]和源定位[42]

對FUS模型,文獻(xiàn)[29?31,43?44]將傳統(tǒng)CS中的標(biāo)準(zhǔn)的RIP性質(zhì)擴(kuò)展為(U,δ)-RIP性質(zhì),證明了在常數(shù)δ足夠小的情況下,為FUS模型設(shè)計(jì)的重構(gòu)算法能夠正確恢復(fù)稀疏向量x,并給出了保證穩(wěn)定恢復(fù)所需的測量數(shù)量.文獻(xiàn)[32]在子空間的稀疏和模型下對相關(guān)性(Coherence)進(jìn)行了推廣,定義了矩陣的塊相關(guān)性(Block-coherence).文獻(xiàn)[45?46]加入了子空間的內(nèi)部結(jié)構(gòu),例如子空間的稀疏性,這相當(dāng)于在對單個塊的優(yōu)化中加入表示稀疏性的正則項(xiàng),從而得到多層的結(jié)構(gòu)稀疏模式,該模型已被成功地應(yīng)用于源識別和分離問題[46].

上述維數(shù)與個數(shù)都有限的子空間聯(lián)合模型主要依賴于對模擬輸入的離散化,沒有考慮實(shí)際的硬件系統(tǒng).為了能在硬件上真正地實(shí)現(xiàn)對具有結(jié)構(gòu)的模擬信號的低速采樣和重建,出現(xiàn)了對更為復(fù)雜的子空間聯(lián)合模型的研究.這些子空間的聯(lián)合模型包括子空間個數(shù)有限而子空間維數(shù)無限的模型、子空間維數(shù)有限而個數(shù)無限的模型和子空間維數(shù)和個數(shù)都無限的模型.

由于是對由聯(lián)合子空間表示的模擬信號的低速采樣,因此解決相同問題所使用的方法與上述有限

子空間聯(lián)合模型中對離散化信號使用的方法有本質(zhì)的區(qū)別.處理模擬信號的欠Nyquist采樣問題的兩個主要的框架是Xampling和有限更新率(Finite-rateofinnovation,FRI).Xampling框架主要處理那些能夠被表示為有限個無限維子空間的并的模擬信號,例如多帶模型[47].在這種模型中,模擬信號由帶限信號的有限和構(gòu)成,信號分量通常具有一個相對較小的帶寬,但分布在一個比較大的頻率范圍內(nèi)[48].另一類能夠用子空間的并表示的信號是具有有限更新率的一類信號[49].依賴于特定的結(jié)構(gòu),這種模型對應(yīng)于有限維子空間的無限或有限個并[6,50?51],可以刻畫許多具有低自由度的信號.在這種情況下,每個子空間對應(yīng)于參數(shù)值的某種選擇,參數(shù)的可能取值的集合是無限維的,從而由模型張成的子空間的個數(shù)也是無限的.借助于子空間的這種模擬的并,使我們能夠以低速率對模擬信號進(jìn)行采樣及實(shí)時處理,并且設(shè)計(jì)出有效的硬件,諸如使用調(diào)制器、低速率模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-digitalconverter,ADC)和低通濾波等標(biāo)準(zhǔn)模擬設(shè)計(jì)組件實(shí)現(xiàn)模擬前端[16],從而促進(jìn)模擬CS框架從理論到實(shí)際應(yīng)用的發(fā)展.

其中λ>0為正則參數(shù),??·??l為某種正則策略.模型(11)通常被稱為魯棒主成分分析(Robustprincipalcomponentanalysis,RPCA)[52].在RPCA的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[53]提出低秩加稀疏矩陣分解的低秩表示(Low-rankrepresentation,LRR)模型處理多子空間問題.LRR模型表示為

minrank(Z)+λ??E??l,s.t.X=DZ+E

(12)

其中,D∈RN1×n是一個線性張成數(shù)據(jù)空間的字典,n為字典中原子的個數(shù).類似于CS的l0-最小化問題,式(9)～(12)都是NP(Nondeterministicpolynomial)-難的.一類有效的方法是用矩陣的核范數(shù)??Z???(即矩陣Z的奇異值的和)代替rank(Z),將上述問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解[54?55].

3結(jié)構(gòu)化壓縮感知

傳統(tǒng)CS在信號的采集與重建中僅將稀疏性作為唯一的先驗(yàn)信息,而結(jié)構(gòu)化CS在傳統(tǒng)CS的三個基本模塊中引入了結(jié)構(gòu)先驗(yàn),即結(jié)構(gòu)化的觀測、結(jié)構(gòu)化的字典和結(jié)構(gòu)化的信號重構(gòu).結(jié)構(gòu)化CS的理論框架如圖4所示,可以看到,結(jié)構(gòu)化CS以結(jié)構(gòu)稀疏表示為基礎(chǔ),采用與信號匹配的結(jié)構(gòu)化觀測,在結(jié)構(gòu)化先驗(yàn)下,對更為廣泛的信號類實(shí)現(xiàn)更加有效的重構(gòu).接下來,我們將結(jié)合上一節(jié)給出的信號的各種低維結(jié)構(gòu)模型對結(jié)構(gòu)化CS理論的三個基本問題進(jìn)行詳細(xì)的介紹

2.4低秩矩陣模型

矩陣的稀疏性主要表現(xiàn)在兩個方面:1)矩陣元素的稀疏性,即矩陣具有很少的非零元素;2)矩陣奇異值的稀疏性,即矩陣具有很少的非零奇異值,也就是說矩陣的秩非常小,這時我們稱矩陣為低秩矩陣.對矩陣X∈RN1×N2,低秩矩陣的集合可表示為

{X∈RN1×N2:rank(X)≤r}(8)

??r

矩陣X的奇異值分解為X=i=1σiuivi,σ1,···,σr≥0為奇異值,u1,···,ur∈RN1和v1,···,vr∈RN2為相應(yīng)的奇異向量.

近年來低秩矩陣重建已成為機(jī)器學(xué)習(xí)、信號處理、計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn),矩陣的恢復(fù)與填充可看作是CS重構(gòu)由一維信號到二維矩陣的推廣.在低秩矩陣約束下,矩陣填充問題表示為

minrank(Z),s.t.P?(Z)=P?(X)

圖4

Fig.4

結(jié)構(gòu)化壓縮感知框架

Frameofstructuredcompressivesensing

3.1結(jié)構(gòu)化觀測矩陣

為了保證從低維測量y重構(gòu)信號x時式(2)存在確定的解,傳統(tǒng)CS理論要求觀測矩陣Θ與稀疏基矩陣Ψ不相關(guān),從而使信息算子Φ以很大的概率滿足RIP性質(zhì)[10].除了RIP性質(zhì)之外,相關(guān)性判別理論[56]、矩陣spark判別理論[57]以及測量算子零空間理論[58]等都可作為衡量觀測矩陣處理稀疏信號的能力的判定標(biāo)準(zhǔn).因此在傳統(tǒng)CS中,主要設(shè)計(jì)滿足上述性質(zhì)的非自適應(yīng)的觀測矩陣.觀測矩陣固定,不隨信號發(fā)生改變.已證明傳統(tǒng)CS廣泛使用的隨機(jī)觀測矩陣(如隨機(jī)Gaussian矩陣)能夠以高概率保證RIP和不相關(guān)性,但當(dāng)信號維數(shù)很高時,隨機(jī)觀測矩陣將導(dǎo)致復(fù)雜度過高的問題,不易實(shí)現(xiàn).

在某些特定應(yīng)用中,觀測矩陣的類型通常受到

(9)

其中?為具有缺失元素的矩陣X中已知元素的標(biāo)識集,P?(X)定義為

Xij,若(i,j)∈?

P?(Xij)=(10)

0,其他最近,一些同時考慮矩陣元素與矩陣奇異值的

稀疏性的低秩矩陣模型被用于矩陣恢復(fù)問題:

minrank(Z)+λ??E??l,s.t.X=Z+E

(11)

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結(jié)構(gòu)化壓縮感知研究進(jìn)展