初中數(shù)學小論文范文_數(shù)學小論文高一_急!!一篇高中數(shù)學小論文(300字)
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急!!一篇高中數(shù)學小論文(300字)
我是高一的
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2009-7-27 10:55
正余弦定理若干推論的探究與應用
（一）探究目的
正弦定理和余弦定理是高中數(shù)學中重要的三角公式，它們具有廣泛的應用。而在教材中對它們的研究卻比較單一。在學習上，為了開拓視野，更加體會到數(shù)學靈活多變的奧妙，我們有必要結(jié)合三角變換的知識對其進行總結(jié)、探究及延伸。因此，我們探究了它的一些變式以及應用。
（二）探究過程、應用及結(jié)論
（1）正余弦定理
1、正弦定理：a/ sinA＝b/ sinB＝c/ sinC =2R
2、余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCosA CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
b^2=a^2+c^2-2acCosB CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
c^2=a^2+b^2-2abCosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
（2）正余弦定理的推論
設三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則
推論1、acosA+bcosB = ccos(A-B)≤C．．．．．．①
bcosB+ccosC = acos(B-C) ≤ a．．．．．．②
acosA+ccosC = bcos(A-C) ≤b．．．．．．③
證明：由正弦定理得，
acosA+bcosB
=2RsinAcosA+2RsinBcosB
=R(2sinAcosA+2sinBcosB)
=R(sin2A+sin2B)
=R{sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]}
=R[sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos
(A+B)sin(A-B)]
=2Rsin(A+B) cos(A-B)
=2Rsin(?-C) cos(A-B)
=2RsinC cos(A-B)
=Ccos(A-B)
又A、B∈（0，?）,-1≤cos(A-B) ≤1
∴ccos(A-B)≤C,當且僅當A=B時取等號.
同理,由三角形三邊和三個角的對稱性可證②③式.
應用:在⊿ABC中,求證:cosAcosBcosC ≤1/8
證明：①當⊿ABC為鈍角三角形或直角三角形時，cosA、cosB、cosC其中必有一個小于等于0，故結(jié)論成立.
②若⊿ABC為銳角三角形時,由推論(1)及均值不等式得
a≥bcosB+ccosC≥2倍根號bcosBccosC＞0．．．．．．①
b≥acosA+ccosC≥2倍根號acosAccosC＞0．．．．．．②
C≥acosA+bcosB≥2倍根號acosAbcosB＞0．．．．．．③
①×②×③得abC≥8abCcosAcosBcosC
∴cosAcosBcosC≤1/8
結(jié)論：①在三角形中，任意兩邊與其對角的余弦值的和等于第三邊與兩
邊的對角差的余弦的積，小于或等于第三邊。
②三角形三個角的余弦值的積恒小于或等于1/8.
③觀察式子，我們可以得出
a、若已知三角形中的兩角以及對應兩邊，可知第三邊的取值范圍或最小值。
b、若已知三角形中的兩角，可知三邊之間的數(shù)量關系。
推論2、c/(a+b)=sin(C/2)/cos[(A-B)/2] ≥sin(C/2) ．．．．．．①
b/(a+c)=sin(B/2)/cos[(A-C)/2] ≥sin(B/2) ．．．．．．②
a/(b+c)=sin(A/2)/cos[(B-C)/2] ≥sin(A/2) ．．．．．．③
證明：由正弦定理，
c/(a+b)=（2RsinC）/[2R(sinA+sinB)]
=sin(?-c)/(sinA+sinB)
=sin(A+B)/ (sinA+sinB)
=sin[(A+B)/2+(A+B)/2]/{sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+
sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}
={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{ sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]+sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]+sin[(A+B)/2]cos
[(A-B)/2]—sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]}
={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{2sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]}
=cos[(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
=sin[?/2—(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
=sin(C/2)/cos[(A-B)/2]
又A、B∈（0，?） ∴ 0＜cos[(A-B)/2] ≤1
∴sin(C/2)/ cos[(A-B)/2]≥sin(C/2), 當且僅當A=B時取等號.
同理可證②③式.
應用：已知在⊿ABC中，設a+c=2b，A-C=60度，求sinB.
解：由題設和推論2可知，
b/(a+c)=b/2b=1/2=sin(B/2)/[cos(A-C)/2]=sin(B/2)/cos(?/6)
∴sin(B/2)=（根號3）/4
∴cos(B/2)=根號(1-sin(B/2)^2)= （根號13）/4
∴sinB=2 sin(B/2) cos(B/2)= （根號39）/2
結(jié)論：①在三角形中，任意一邊與另外兩邊和的比值，等于該邊的
半對角的正弦與另兩邊的對角差半角的余弦，這是模爾外得公
式的其中一組。
②應用：
a、求解斜三角形未知元素后，可用它驗算。
b、若已知三邊可求角的最大值。
推論3、a≥2(根號bC)sin(A/2) ．．．．．．①
b≥2(根號aC)sin(B/2) ．．．．．．②
c≥2(根號ab)sin(C/2) ．．．．．．③
證明：∵(b-c)^2≥0 ∴b^2+c^2≥2bc
由余弦定理，a^2= b^2+c^2-2bccosA≥2bc-2bccosA
=2bc(1-cosA)=4bcsin(A/2)^2
∴a≥2(根號bC)sin(A/2), 同理可證②③式.
應用：在⊿ABC中，已知A=?/3，a=10，，求bC的最大值。
解：由題設和推論3可知，10≥2(根號bC)sin(60度/2)
∴（根號bC）≤10 ∴bC≤100
故bC的最大值為100.
結(jié)論：①在三角形中，任意一邊大于或等于另外兩邊二次方根的二倍與
該邊的半對角正弦的積。
②應用：
a、已知兩邊和一角可求該角所對邊的取值范圍或最小值。
b、已知一邊以及其對角可求另兩邊乘積的最大值。
C、已知三邊可求角的最大值。
推論4、（a^2- b^2）/ c^2= (sinA^2-sinB^2)/ sinC^2……①
（b^2- c^2）/ a^2= (sinB^2-sinC^2)/ sinA^2……②
（a^2- c^2）/ b^2= (sinA^2-sinC^2)/ sinB^2……③
證明：由正弦定理得，
（a^2- b^2）/ c^2=[4R^2（sinA^2-sinB^2)]/（ 4R^2*sinC^2）
=(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2
同理可證②③式.
應用：在⊿ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，證明：
（a^2- b^2）/ c^2=sin（A-B）/sinC
證明：由題設和推論4可知，
（a^2- b^2）/ c^2
=(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2
=（sinA+sinB）（sinA-sinB）/sinC^2
={sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}{sin[(A+B)/2+
(A-B)/2]—sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}/{sinCsin[?—（A+B)]}
={2sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]}{2cos[(A+B)/2]sin[(A-
B)/2]}/[sinCsin(A+B)]
={2sin[(A+B)/2] cos[(A+B)/2]}{2sin[(A—B)/2] cos[(A-
B)/2]}/[sinCsin(A+B)]
=[sin(A+B)sin(A—B)]/ [sin(A+B) sinC]
=sin(A—B)/ sinC
結(jié)論：①在三角形中，任意兩邊的平方差與第三邊的平方之比等于
兩邊對角正弦的平方差與第三邊對角的正弦的平方之比。
推論5、sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA……①
sinB^2= sinA^2+sinC^2-2sinAsinCcosB……②
sinC^2= sinB^2+sinA^2-2sinBsinAcosC……③
證明：由正弦定理和余弦定理得，
（2RsinA）^2=（2RsinB）^2+（2RsinC）^2-2（2RsinA
（2RsinB）cosA
化簡得sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA
同理可證②③式.
應用：求（sin10度）^2+(sin50度)^2+sin10度sin50度的值.
解:構(gòu)造⊿ABC，使A=10度，B=50度，C=120度，應用推論5得
原式=（sin10度）^2+(sin50度)^2-（-1/2）×2sin10度sin50
度
=（sin10度）^2+(sin50度)^2-2sin10度sin50度cos120度
=（sin120度）^2
=3/4
結(jié)論：①在三角形中，任意角正弦的平方等于另外兩角正弦的平方
和減去2倍兩角正弦與該角余弦的積。
②應用：
a、若已知任意兩角角度或正弦，可求另外一角余弦及角度。
b、若式子（sinA）^2+(sinB)^2+sinAsinB滿足A+B=?/3，則
其值恒為3/4.
C、若存在形如sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA的式子，其值為
sinA^2.
推論6、a=bcosC+ccosB……① b=acosC+ccosA……②
c=acosB+bcosA……③
證明：由余弦定理得，
b^2+c^2=(c^2+a^2-2accosB)+(a^2+b^2-2abcosC)
化簡得a=bcosC+ccosB
同理可證②③式成立.
應用：已知?、?∈（0，?/2），且3（sin?）^2+2（sin?）^2=1，
3sin2?-2Sin2?=0，求證：?+2?=90度.
證明：∵3（sin?）^2+2（sin?）^2=1
∴3（1-cos2?）/2+2（1- cos2?）/2=1
∴3cos2?+2 cos2?=3
∴2cos2?=3（1- cos2?）＞0
∴3 cos2?=3-2 cos2?＞0 ∴2?、2?∈（0，?/2）
又3sin2?-2Sin2?=0 ∴3/Sin2?=2/sin2?
構(gòu)造⊿ABC，使A=2?，B=2?,BC=2,則AC=3
由推論6得，AB=ACcos2?+BCcos2?
= 3cos2?+2cos2?=3
∴AB=AC ∴⊿ABC為等腰三角形.
∴C=B=2?
而在⊿ABC中，A+B+C=2?+2?+2?=180度
∴?+2?=90度
結(jié)論：①推論6為著名的射影定理。
②應用：可處理邊、角、弦三者的轉(zhuǎn)化問題。
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