本文關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)小論文，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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                2009-7-27 10:55
正余弦定理若干推論的探究與應(yīng)用
（一）探究目的
正弦定理和余弦定理是高中數(shù)學(xué)中重要的三角公式，它們具有廣泛的應(yīng)用。而在教材中對(duì)它們的研究卻比較單一。在學(xué)習(xí)上，為了開拓視野，更加體會(huì)到數(shù)學(xué)靈活多變的奧妙，我們有必要結(jié)合三角變換的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行總結(jié)、探究及延伸。因此，我們探究了它的一些變式以及應(yīng)用。
（二）探究過程、應(yīng)用及結(jié)論
   （1）正余弦定理
    1、正弦定理：a/ sinA＝b/ sinB＝c/ sinC =2R
    2、余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCosA      CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
                b^2=a^2+c^2-2acCosB       CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
                c^2=a^2+b^2-2abCosC       CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
（2）正余弦定理的推論
   設(shè)三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則
  推論1、acosA+bcosB = ccos(A-B)≤C．．．．．．①
          bcosB+ccosC = acos(B-C) ≤ a．．．．．．②
          acosA+ccosC = bcos(A-C) ≤b．．．．．．③
  證明：由正弦定理得，
        acosA+bcosB
       =2RsinAcosA+2RsinBcosB
       =R(2sinAcosA+2sinBcosB)
       =R(sin2A+sin2B)
       =R{sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]}
       =R[sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos
        (A+B)sin(A-B)]
       =2Rsin(A+B) cos(A-B)
       =2Rsin(?-C) cos(A-B)
       =2RsinC cos(A-B)
       =Ccos(A-B)
       又A、B∈（0，?）,-1≤cos(A-B) ≤1
      ∴ccos(A-B)≤C,當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)取等號(hào).
      同理,由三角形三邊和三個(gè)角的對(duì)稱性可證②③式.
      應(yīng)用:在⊿ABC中,求證:cosAcosBcosC ≤1/8
          證明：①當(dāng)⊿ABC為鈍角三角形或直角三角形時(shí)，cosA、cosB、cosC其中必有一個(gè)小于等于0，故結(jié)論成立.
     ②若⊿ABC為銳角三角形時(shí),由推論(1)及均值不等式得
    a≥bcosB+ccosC≥2倍根號(hào)bcosBccosC＞0．．．．．．①
    b≥acosA+ccosC≥2倍根號(hào)acosAccosC＞0．．．．．．②
    C≥acosA+bcosB≥2倍根號(hào)acosAbcosB＞0．．．．．．③
    ①×②×③得abC≥8abCcosAcosBcosC
     ∴cosAcosBcosC≤1/8
     結(jié)論：①在三角形中，任意兩邊與其對(duì)角的余弦值的和等于第三邊與兩
             邊的對(duì)角差的余弦的積，小于或等于第三邊。
           ②三角形三個(gè)角的余弦值的積恒小于或等于1/8.
           ③觀察式子，我們可以得出
        a、若已知三角形中的兩角以及對(duì)應(yīng)兩邊，可知第三邊的取值范圍或最小值。
        b、若已知三角形中的兩角，可知三邊之間的數(shù)量關(guān)系。
     推論2、c/(a+b)=sin(C/2)/cos[(A-B)/2] ≥sin(C/2) ．．．．．．①
            b/(a+c)=sin(B/2)/cos[(A-C)/2] ≥sin(B/2) ．．．．．．②
            a/(b+c)=sin(A/2)/cos[(B-C)/2] ≥sin(A/2) ．．．．．．③
     證明：由正弦定理，
          c/(a+b)=（2RsinC）/[2R(sinA+sinB)]
                 =sin(?-c)/(sinA+sinB)
                 =sin(A+B)/ (sinA+sinB)
                 =sin[(A+B)/2+(A+B)/2]/{sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+
                  sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}
                 ={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{ sin[(A+B)/2]cos[(A-                  B)/2]+sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]+sin[(A+B)/2]cos
                  [(A-B)/2]—sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]}
                 ={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{2sin[(A+B)/2]cos[(A-                   B)/2]}
                 =cos[(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
                 =sin[?/2—(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
                 =sin(C/2)/cos[(A-B)/2]
     又A、B∈（0，?）  ∴ 0＜cos[(A-B)/2] ≤1
     ∴sin(C/2)/ cos[(A-B)/2]≥sin(C/2), 當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)取等號(hào).
     同理可證②③式.
應(yīng)用：已知在⊿ABC中，設(shè)a+c=2b，A-C=60度，求sinB.
解：由題設(shè)和推論2可知，
    b/(a+c)=b/2b=1/2=sin(B/2)/[cos(A-C)/2]=sin(B/2)/cos(?/6)
    ∴sin(B/2)=（根號(hào)3）/4
    ∴cos(B/2)=根號(hào)(1-sin(B/2)^2)= （根號(hào)13）/4
    ∴sinB=2 sin(B/2) cos(B/2)= （根號(hào)39）/2
        結(jié)論：①在三角形中，任意一邊與另外兩邊和的比值，等于該邊的
             半對(duì)角的正弦與另兩邊的對(duì)角差半角的余弦，這是模爾外得公
             式的其中一組。
              ②應(yīng)用：
             a、求解斜三角形未知元素后，可用它驗(yàn)算。
             b、若已知三邊可求角的最大值。
        推論3、a≥2(根號(hào)bC)sin(A/2) ．．．．．．①
                b≥2(根號(hào)aC)sin(B/2) ．．．．．．②
                c≥2(根號(hào)ab)sin(C/2) ．．．．．．③
   證明：∵(b-c)^2≥0     ∴b^2+c^2≥2bc
           由余弦定理，a^2= b^2+c^2-2bccosA≥2bc-2bccosA
                          =2bc(1-cosA)=4bcsin(A/2)^2
           ∴a≥2(根號(hào)bC)sin(A/2), 同理可證②③式.
     應(yīng)用：在⊿ABC中，已知A=?/3，a=10，，求bC的最大值。
       解：由題設(shè)和推論3可知，10≥2(根號(hào)bC)sin(60度/2)
           ∴（根號(hào)bC）≤10      ∴bC≤100
           故bC的最大值為100.
     結(jié)論：①在三角形中，任意一邊大于或等于另外兩邊二次方根的二倍與
             該邊的半對(duì)角正弦的積。
           ②應(yīng)用：
           a、已知兩邊和一角可求該角所對(duì)邊的取值范圍或最小值。
           b、已知一邊以及其對(duì)角可求另兩邊乘積的最大值。
           C、已知三邊可求角的最大值。
     推論4、（a^2- b^2）/ c^2= (sinA^2-sinB^2)/ sinC^2……①
            （b^2- c^2）/ a^2= (sinB^2-sinC^2)/ sinA^2……②
            （a^2- c^2）/ b^2= (sinA^2-sinC^2)/ sinB^2……③
     證明：由正弦定理得，
          （a^2- b^2）/ c^2=[4R^2（sinA^2-sinB^2)]/（ 4R^2*sinC^2）
                         =(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2
           同理可證②③式.
     應(yīng)用：在⊿ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，證明：
          （a^2- b^2）/ c^2=sin（A-B）/sinC
     證明：由題設(shè)和推論4可知，
           （a^2- b^2）/ c^2
          =(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2
          =（sinA+sinB）（sinA-sinB）/sinC^2
          ={sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}{sin[(A+B)/2+
           (A-B)/2]—sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}/{sinCsin[?—（A+B)]}
          ={2sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]}{2cos[(A+B)/2]sin[(A-
            B)/2]}/[sinCsin(A+B)]
          ={2sin[(A+B)/2] cos[(A+B)/2]}{2sin[(A—B)/2] cos[(A-
           B)/2]}/[sinCsin(A+B)]
           =[sin(A+B)sin(A—B)]/ [sin(A+B) sinC]
           =sin(A—B)/ sinC
        結(jié)論：①在三角形中，任意兩邊的平方差與第三邊的平方之比等于
                兩邊對(duì)角正弦的平方差與第三邊對(duì)角的正弦的平方之比。
        推論5、sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA……①
               sinB^2= sinA^2+sinC^2-2sinAsinCcosB……②
               sinC^2= sinB^2+sinA^2-2sinBsinAcosC……③
        證明：由正弦定理和余弦定理得，
             （2RsinA）^2=（2RsinB）^2+（2RsinC）^2-2（2RsinA
                          （2RsinB）cosA
              化簡(jiǎn)得sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA
              同理可證②③式.
        應(yīng)用：求（sin10度）^2+(sin50度)^2+sin10度sin50度的值.
          解:構(gòu)造⊿ABC，使A=10度，B=50度，C=120度，應(yīng)用推論5得
             原式=（sin10度）^2+(sin50度)^2-（-1/2）×2sin10度sin50
                   度
                 =（sin10度）^2+(sin50度)^2-2sin10度sin50度cos120度
                 =（sin120度）^2
                 =3/4
        結(jié)論：①在三角形中，任意角正弦的平方等于另外兩角正弦的平方
               和減去2倍兩角正弦與該角余弦的積。
              ②應(yīng)用：
             a、若已知任意兩角角度或正弦，可求另外一角余弦及角度。
             b、若式子（sinA）^2+(sinB)^2+sinAsinB滿足A+B=?/3，則
                其值恒為3/4.
             C、若存在形如sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA的式子，其值為
                sinA^2.
        推論6、a=bcosC+ccosB……①        b=acosC+ccosA……②
               c=acosB+bcosA……③
        證明：由余弦定理得，
      b^2+c^2=(c^2+a^2-2accosB)+(a^2+b^2-2abcosC)
      化簡(jiǎn)得a=bcosC+ccosB
      同理可證②③式成立.
     應(yīng)用：已知?、?∈（0，?/2），且3（sin?）^2+2（sin?）^2=1，
           3sin2?-2Sin2?=0，求證：?+2?=90度.
     證明：∵3（sin?）^2+2（sin?）^2=1
           ∴3（1-cos2?）/2+2（1- cos2?）/2=1
           ∴3cos2?+2 cos2?=3
           ∴2cos2?=3（1- cos2?）＞0
           ∴3 cos2?=3-2 cos2?＞0    ∴2?、2?∈（0，?/2）
           又3sin2?-2Sin2?=0        ∴3/Sin2?=2/sin2?
          構(gòu)造⊿ABC，使A=2?，B=2?,BC=2,則AC=3
          由推論6得，AB=ACcos2?+BCcos2?
              = 3cos2?+2cos2?=3
          ∴AB=AC       ∴⊿ABC為等腰三角形.
          ∴C=B=2?
          而在⊿ABC中，A+B+C=2?+2?+2?=180度
          ∴?+2?=90度
        結(jié)論：①推論6為著名的射影定理。
              ②應(yīng)用：可處理邊、角、弦三者的轉(zhuǎn)化問題。
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