微分中值定理的證明、推廣以及應(yīng)用

1引言
　　在高等數(shù)學(xué)中微分中值定理占有著非常重要的作用,微分中值定理不僅是微積分的重要結(jié)論之一,也是最基本的定論文聯(lián)盟理之一.它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,也是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究函數(shù)在區(qū)間整體性態(tài)的有力工具之一.羅爾中值定理?xiàng)l件最強(qiáng),因而結(jié)論更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成羅爾中值定理的推廣.本文將羅爾中值定理由區(qū)間 推廣到了區(qū)間 (a,b),由 推廣到了區(qū)間（-∞，+∞） ，由f（a）=f（b） 推廣到(有限或±∞).而將拉格朗日中值定理中的可微條件適當(dāng)放寬,使其具有更加廣泛的意義.
　　2羅爾定理
　　若函數(shù)f滿足如下條件：
　　 f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù),
　　f在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo),
　　f（a）=f（b）
　　則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得f、（c）=0.
　　2.1羅爾定理的推廣
　　定理1：設(shè)(a,b)為有限或無窮區(qū)間f(x)在(a,b)內(nèi)可微且（有限或 ）±∞,
　　則c∈ ,使得f、（c）= 0.
　　證明：先證A為有限數(shù)的情形,若使f（x）=A ,則f、（x）=0,所證顯然成立.
　　若f（x）=A不成立,則存在x0∈（a，b）,使得f（x0）≠A,
　　設(shè)f(x0) ＞A （對f(x0) ＜A 同理可證）,
　　由于=A,
　　因函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),對于任意取定的實(shí)數(shù) μ(A＜μ＜f(x) ）,
　　x1∈(a,x0 ),x2 (x0 ,b),
　　使得f（x1）=f（x2）=μ,
　　在閉區(qū)間［x1,x2 ］上用羅爾定理,
　　可得使得f、（c）0,
　　再證A+∞,的情形（A=-∞, 的情形,同理可證）.
　　由于 =+∞,
　　取定x0∈(a,b)及μ＞f(x0) ,
　　則由于f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),故x1∈(a,x0),x2(x0,b),使得f(x1)=f(x2)=μ,
　　在閉區(qū)間［x1,x2］上用羅爾定理,可得使得f、（c）=0.
　　2.2定理1的5條推論
　　推論1：設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo),且=A≠∞ ,則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得f、（c） 0.
　　推論2：設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo),且+∞ ,則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得 f、（c） 0.
　　若=-∞,結(jié)論同樣成立.
　　推論3：設(shè)f（x）在（-∞，+∞）可導(dǎo),且==A,則在(-∞，，+∞)至少存在一點(diǎn) ,使得f、（c） 0.
　　推論4: 設(shè)f（x）在（-∞，+∞）可導(dǎo), 且+∞，=+∞ ,則在區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使得f、（c） 0.
　　若=-∞，=-∞ ,結(jié)論同樣成立.
　　推論5：設(shè)f（x）在（a，+∞）可導(dǎo), 且==A ,則在(a，+∞）至少存在一點(diǎn)c,使得f、（c） 0.
　　3拉格朗日中值定理
　　若函數(shù)f 滿足如下條件：
　　f(x)在［a，b］連續(xù)
　　f(x)在(a,b)可導(dǎo)
　　則在(a,b)中至少存在一點(diǎn)c,使f、（c）=f（b）-f（a）b-a
　　3.1拉格朗日中值定理幾何證明方法
　　多數(shù)教材都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)來證明拉格朗日中值定理的,故F(x)表示曲線y=f(x)與直線AB（y + (x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差從而使F(x)滿足羅爾中值定理的要求,利用羅爾中值定理證得結(jié)論.無論通過何種方式,只要構(gòu)造函數(shù)滿足羅爾定理即可找到輔助函數(shù)滿足羅爾定理?xiàng)l件.從幾何意義上講,就是找到一種幾何量（長度,面積等）使得它在A,B值相等,在M點(diǎn)取得極值,滿足羅爾定理,即可導(dǎo)出拉格朗日中值定理.
　　已知f(x)在［a,b］連續(xù),在(a,b)可導(dǎo),證明在(a,b)中至少存在一點(diǎn),使f、（）=f（b）-f（a）b-a.
　　已知光滑曲線 T：
　　
　　證明：引理：在平面直角坐標(biāo)系中,已知A 、B 、C三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(f（a），g（a））,B(f（b），g（b）)，C(f（c），g（c）)
　　則ABC得面積為
　　
　　易知：S(x)記由(a,f（a） ),(b,f(b) ),(x,f(x)) 三點(diǎn)組成三角形的面積,
　　
　　又因?yàn)镾(x)在［a，b］上連續(xù),且在（a，b） 可導(dǎo),有S(a)=S(b)=0,
　　則由羅爾中值定理,存在一點(diǎn)∈(a,b) 使得S、（）=0