微分中值定理的推廣及應(yīng)用
摘 要
本文講述了微分中值定理的定義及其證明方法,討論了四大微分中值定理之間的關(guān)系,并對(duì)中值 定理進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐茝V,同時(shí)具體的分析了微分中值定理在證明等式、不等式以及討論方程根的存在 性等幾個(gè)方面的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞 微分中值定理；新證法；推廣；費(fèi)馬定理；考研；

The Generalizati

on of Differential Mean Value Theorem and Its Application
Abstract
This paper describes the definition of differential mean value theorem and its proof method, discusses the relationship between the three differential mean value theorem, and the mean value theorem in the proper promotion, at the same time, the specific analysis of the differential mean value theorem in proving the equality, inequality and discuss the root of equation in some aspects.

Key words: Differential mean value theorem; new method; generalized Fermat's theorem;
examination;

1

目

錄

1 引言…………………………………………………………………………………… 2 微分中值定理的定義……………………………………………………………… 3 微分中值定理及其證明方法……………………………………………………… 3.1 費(fèi)馬引理………………………………………………………………………… 3.2 羅爾中值定理…………………………………………………………………… 3.3 拉格朗日中值定理……………………………………………………………… 3.4 柯西中值定理…………………………………………………………………… 3.5 泰勒中值定理………………………………………………………………………… 4 微分中值定理的推廣……………………………………………………………………… 4.1 羅爾中值定理的推廣…………………………………………………………………… 4.2 拉格朗日中值定理的推廣……………………………………………………………… 4.3 柯西中值定理的推廣…………………………………………………………………… 4.4 泰勒中值定理的推廣………………………………………………………………… 5 微分中值定理的應(yīng)用………………………………………………………………… 5.1 利用微分中值定理證明等式…………………………………… ……………… 5.2 利用微分中值定理證明不等式……………………………………………… 5.3 討論方程根的存在性 …………………………………………………… …… 5.4. 考研微分中值定理的運(yùn)用……………………………………………………… … 結(jié)束語(yǔ)…………………………………………………………………………………… 參考文獻(xiàn)………………………………………………………………………………… 致謝………………………………………………………………………………………

2

1 引言
在高等數(shù)學(xué)課程中羅爾定理、 拉格朗日中值定理及柯西中值定理等統(tǒng)稱為微分中值 定理,他們是微分中值學(xué)中最基本、 最重要的定理為加深學(xué)生對(duì)微分中值定理的理解.它 的出現(xiàn)是一個(gè)過(guò)程，聚集了眾多數(shù)學(xué)家的研究成果.從費(fèi)馬到柯西不斷發(fā)展，理論知識(shí) 也不斷完善，成為了人們引進(jìn)微分學(xué)以后，，數(shù)學(xué)研究中的重要工具之一，而且應(yīng)用也越 來(lái)越廣泛.微分中值定理在函數(shù)在某一點(diǎn)的局部性質(zhì)；函數(shù)圖象的走向；曲線凹凸性的 判斷；積分中值定理；級(jí)數(shù)理論；等式及不等式證明等問(wèn)題的研究中也發(fā)揮著十分重要 的作用.因此，微分中值定理已經(jīng)成為整個(gè)微分學(xué)基礎(chǔ)而又舉足輕重的內(nèi)容.

2 微分中值定理的定義
微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數(shù)的有力工具,其中最重要的內(nèi)容 是拉格朗日定理，可以說(shuō)其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。也就 是說(shuō)微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在 內(nèi)的定理的總稱.以下是證明微分中值定理時(shí)用到的幾個(gè)概念. 定義 1 (函數(shù)單調(diào)性) 函數(shù) f (x) 在定義域內(nèi),當(dāng) x1 ? x2 時(shí),有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))
則稱 f (x) 單調(diào)遞增(嚴(yán)格單調(diào)遞增).當(dāng) x1 ? x2 時(shí),有 定義 2 (極限的局部保號(hào)性) 若 lim f ( x) ? lim g ( x) ,則存在 ? ? 0, 任意 x ? ( x0 ? ?,
x ? x0 x ? x0

x0 ? ?), 使得 f ( x) ? g ( x) .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ,
則稱 f (x) 單調(diào)遞減(嚴(yán)格單調(diào)遞減). 定義 3 (最小值或最大值) 設(shè) f (x) 在 I 上有定義,若存在 x0 ? I 使任意 x ? I ,

f ( x0 ) ? f (x) ( f ( x0 ) ? f (x) ),則 f ( x0 ) 稱為 f (x) 的最小值(最大值). x0 為最小值點(diǎn)(最大
值點(diǎn)). 定義 4 (極小值或極大值) 設(shè) f (x) 在任意 x ? I 上有定義,若存在 x0 ? I , ? ? 0, 任意

x ? ( x0 ? ?, x0 ? ?) ,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ( f ( x) ? f ( x0 ) ),則 f ( x0 ) 稱為 f (x) 的一個(gè)極
小值(極大值), x 0 稱為極小值點(diǎn)(極大值點(diǎn)). 定義 5(凸性) 若函數(shù)曲線位于其每一點(diǎn)處切線的上方(下方),則稱函數(shù)曲線時(shí)下凸 (上凸)的,或稱函數(shù)向下凸(上凸). 定義 6(凹性) 若 y ? f (x) 的一階導(dǎo)數(shù) f ?(x ) 在 ?a, b ? 上單調(diào)遞增(或遞減),則稱 f (x)
3

在 ?a, b ? 是向上凹(下凹)的,或稱函數(shù)曲線向上凹(下凹).

3 微分中值定理證明方法
3.1 費(fèi)馬引理 定理內(nèi)容：設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x0 的某鄰域U x0 內(nèi)有定義，并且在x0 處可導(dǎo)，如果對(duì)于任 意的 x ∈U x0 ， 都有 f (x) ≤ f ( x0 ) (或 f (x) ≥ f ( x0 ) ),那 f '( x0 ) ? 0 費(fèi)馬定理的幾何意義:若將函數(shù) f (x) 的曲線置于平面直角坐標(biāo)系 XOY ,則費(fèi)馬定 理具有幾何意義:對(duì)曲線 y ? f (x) 上,若有一點(diǎn) ( x0 , f ( x0 )) 存在切線,且 x 0 為 f (x) 極值點(diǎn). 則這一點(diǎn)處的切線平行于 x 軸.

證明 x 0 為 f (x) 的極值點(diǎn).設(shè) x 0 為極小值點(diǎn),則存在 ? ? 0, 任意 x ? ( x0 ? ?, x0 ? ?) , 有 f ( x0 ) ? f ( x) , 若 x ? x0 ,則

f ( x) ? f ( x0 ) ? 0; x ? x0
若 x ? x0 ,則

f ( x) ? f ( x0 ) ? 0; x ? x0
取極限 lim ?
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) 與 lim 分別為 P 、 T ,由于 f (x) 在 x 0 處可導(dǎo),則 ? x ? x0 x ? x0 x ? x0
P = T = lim x? x
0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

由極限的局部保號(hào)性有 T ? 0 , S ? 0 .故 P = T = 0 .所以有

4

x ? x0

lim

f ( x) ? f ( x0 ) ? 0, x ? x0

即 f ?( x0 ) ? 0 .

3.2

羅爾中值定理
定理內(nèi)容：如果函數(shù) f ( x) 滿足：

在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù)； 在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)； 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 f (a) ? f (b) ， 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a < < )，使得 f ′(ξ) = 0. 羅爾定理的幾何意義:若 f (x) 滿足羅爾定理的條件,則在曲線 y ? f ( x) 上至少存在 一點(diǎn) P(? , f (? )) ,使得點(diǎn) P 處的切線平行于 x 軸(如圖), 其中 A(a, f (a)) , B(b, f (b)) .

證明 因?yàn)?a ? b ,且 f (b) ? f (a) . （1） 若 f ( x) ? f (b) ? f (a) 為常數(shù),則必有 f ?( x) ? 0 ，所以,存在 ? ? (a, b) ,使得

f ?(? ) ? 0 ;
（2） 若 f (x) 不是常數(shù),則 f (x) 非單調(diào),又有 f (x) 在 ?a, b? 上連續(xù)在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),根 據(jù)引理 1,存在 ? ? (a, b) ,使得

f ?(? ) ? 0 .
證畢.

3.3 拉格朗日中值定理
定理 3 如果函數(shù) f (x) 滿足

5

(1) 在閉區(qū)間 ?a, b? 上連續(xù); (2) 在開(kāi)區(qū)間 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo);則至少存在一點(diǎn) ? ? (a, b) 使等式
f ?(? ) ? f (b) ? f (a) . b?a

證法 利用羅爾中值定理

f (b) ? f (a) ? ? F ( x) ? f ( x) ? ? f ( a ) ? ( x ? a)? . b?a ? ?
證明（方法一） 引進(jìn)輔助函數(shù)

顯然, F (x) 在 ?a, b? 上連續(xù), 在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),且 f (a) ? f (b) ? 0 ,由羅爾定理可知,存在一 點(diǎn) ? ? (a, b) 使得 F ?(? ) ? 0 即
f ?(? ) ? f (b) ? f (a) . b?a

f (b) ? f (a) ? ? F ( x) ? f ( x) ? ? f ( a ) ? ( x ? a)? , b?a ? ?

證明（方法二） （利用分析法證明拉格朗日中值定理）要證存在 ? ? (a, b) 使得

f ?(? ) ?
成立，即證,存在 ? ? (a, b) 使得

f (b ) ? f ( a ) b?a

f ?(? ) ?
成立.亦即

f (b) ? f (a ) ?0 b?a

(1)

? ? ? f (b) ? f (a) ? ? ? f ( x) ? ? ? ? ?x? ? b?a ? ? ?
記

?0
x ??

(2)

? f (b) ? f (a) ? F ( x) ? f ( x) ? ? ? x, x ? ?a, b? , ? b?a ? 則由 F (x) 滿足羅爾定理的條件知,存在 ? ? (a, b) 使得(2)成立,進(jìn)而(1)成立.從而拉格
朗日中值定理成立.

3.4 柯西中值定理
定理 4 設(shè)函數(shù) f (x) 、 g (x) 滿足:(1) 在閉區(qū)間 ?a, b? 上連續(xù);(2) 在開(kāi)區(qū)間 ?a, b ? 內(nèi)
6

可導(dǎo),且 g ?( x) ? 0 ，則至少存在一點(diǎn) ? ? (a, b) 使得

f ?(? ) f (b) ? f (a) ? . g ?(? ) g (b) ? g (a)
證明 （方法一） 由定理?xiàng)l件可知 g (b) ? g (a) ,則任意 ? ? (a, b) 都有 g ?(? ) ? 0 ,因此, 只需證

f ?(? )?g (b) ? g (a)? ? g ?(? )? f (b) ? f (a)? ? 0 ,
為此,構(gòu)造函數(shù)

F ( x) ? f ( x)?g (b) ? g (a)? ? g ( x)? f (b) ? f (a)? , x ? ?a, b? ,
顯然, F (x) 在 ?a, b? 上連續(xù),在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),且 F (a) ? F (b) ,根據(jù)羅爾定理,存在 ? ? (a, b) , 使得
F ?(? ) ? 0 ,

即
f ?(? )?g (b) ? g (a)? ? g ?(? )? f (b) ? f (a)? ? 0 ,

所以
f ?(? ) f (b) ? f (a) . ? g ?(? ) g (b) ? g (a)

2.1 泰勒中值定理
? 定理 5 若函數(shù) f ? x ? 在 U ? x 0 ? 內(nèi)存在 n ? 1階導(dǎo)數(shù)， x ? U ? x 0 ? ， 函數(shù) G?t ? 在以 x 與 x 0 為
?

端點(diǎn)的閉區(qū)間 I 連續(xù)，在其開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，且 G ??t ? ? 0 ，則 x 與 x 0 之間至少存在一點(diǎn) ? ， 使
f ?x ? ? f ?x0 ? ? f ??x0 ??x ? x0 ? ? f ???x0 ? ?x ? x0 ?2 ? ? 2!

?n ?1? f ? n ? ? x0 ? ?x ? x0 ?n ? f ?? ? ?x ? x0 ?n ?G?x ? ? G?? ?? ? n! n!G ??? ?

其中 Rn ?x ? ?

f ?n?1? ?? ? ?x ? x0 ?n ?G?x ? ? G?? ??. n!G ??? ?

證明 f ? x ? 的泰勒多項(xiàng)式
?n ?x ? ? f ?x0 ? ? f ??x0 ??x ? x0 ? ?
?n ? ? ? f ???x0 ? ?x ? x0 ?2 ? ? ? f x0 ?x ? x0 ?n . 2! n!
7

我們記 F ?t ? ? f ?t ? ? f ??t ??x ? t ? ?

?n ? f ???t ? ?x ? t ?2 ? ? ? f ?t ? ?x ? t ?n ,則 2! n!

F ??t ? ? f ??t ? ? f ??t ? ? f ???t ??x ? t ? ? f ???t ??x ? t ? ?

f ????t ? ?x ? t ?2 ? ? 2!

f ?n ? ?t ? f ?n?1? ?t ? f ?n?1? ?t ? n ?1 n ?x ? t ? ? ?x ? t ? ? ?x ? t ?n . ? ?n ? 1?! n! n!
可以看出函數(shù) F ?t ? 與 G?t ? 在閉區(qū)間 I 連續(xù)，在其開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)， G ??t ? ? 0 ， 且可以看出 F ?x ? ? f ?x ? . 應(yīng)用柯西中值定理有： x 與 x 0 之間至少存在一點(diǎn) ? ，使
f ?x ? ? f ?x0 ? ? f ??x0 ??x ? x0 ? ? f ???x0 ? ?x ? x0 ?2 ? ? 2!

?
其中 Rn ?x ? ?

?n ?1? f ? n ? ? x0 ? ?x ? x0 ?n ? f ?? ? ?x ? x0 ?n ?G?x ? ? G?? ??, n! n!G ??? ?

f ?n?1? ?? ? ?x ? x0 ?n ?G?x ? ? G?? ??. n!G ??? ?

4 微分中值定理的推廣
微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,而隨著其不斷地發(fā)展和完善,衍生了許多微分 中值定理的推廣.以下是幾種微分中值定理的推廣形式. 4.1 羅爾定理中值的推廣 定理 5 設(shè) f (x) 在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),且 lim f ( x) ? lim f ( x) ? A ,其中 A ? ?? ,則存在 ? ?
x ?a x ?b

? ? (a, b) 使得 f ?(? ) ? 0 .
證明 由于 f (x) 在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),則必有 f (x) 在 ?a, b ? 上連續(xù),又有
x ?a ?

lim f ( x) ? lim f ( x) ? A . ?
x ?b

(1)當(dāng) A ? ?? 時(shí),對(duì) f (x) 在 a, b 兩點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)延拓,使得 f (a) ? f (b) ? A ,則有

f (x) 在 ?a, b? 上連續(xù),在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)且有 f (a) ? f (b) ? A ,所以,滿足羅爾定理的條件,
存在 ? ? (a, b) 使得 f ?(? ) ? 0 .
8

(2)當(dāng) A ? ?? 時(shí),由于 lim f ( x) ? lim f ( x ) ? A ,故存在 x1 , x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 ,使得 ? ?
x?a x ?b

所以 f (x) 在 ?x1 , x2 ? 上連續(xù),在 ( x1 , x2 ) 內(nèi)可導(dǎo),滿足羅爾定理,即存在 ? ? (a, b) 使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

f ?(? ) ? 0 .
綜上所述,存在 ? ? (a, b) 使得 f ?(? ) ? 0 . 3.2.2 拉格朗日中值定理的推廣 定理 6(推廣一) 設(shè) f ( x), g ( x), h( x) 在 ?a, b? 上連續(xù),在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),則存在 ? ? (a, b) 使得

f ( a ) g ( a ) h( a ) f (b) g (b) h(b) ? 0 . f ?(? ) g ?(? ) h?(? )
證明 作輔助函數(shù)
f ( a ) g ( a ) h( a ) H ( x) ? f (b) f ( x) g (b) h(b) , g ( x ) h( x )

很明顯 H (x ) 在 ?a, b? 連續(xù),在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),且 H (a) ? H (b) ? 0 ,則根據(jù)羅爾定理有,存在

? ? (a, b) 使得 H ?(? ) ? 0 ,命題得證.
定理 7(推廣二) 若 f (x) 在有限開(kāi)區(qū)間 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),且 f (a ? 0) 與 f (b ? 0) 存在,則 至少存在一點(diǎn) ? ? (a, b) 使得

f ?(? ) ?

f (b ? 0) ? f (a ? 0) . b?a

證明 （1）當(dāng) f (a ? 0) ? f (b ? 0) 時(shí),由定理 5 可知,結(jié)論成立. （2）當(dāng) f (a ? 0) ? f (b ? 0) 時(shí),作輔助函數(shù)
F ( x) ? f ( x) ? f (a ? 0) ? f (b ? 0) ? f (a ? 0) ( x ? a) , b?a f (b ? 0) ? f (a ? 0) (a ? 0 ? a) ? 0 ; b?a f (b ? 0) ? f (a ? 0) (b ? 0 ? a) ? 0 , b?a

由 f (x) 在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo)知, F (x) 在 ?a, b ? 內(nèi)也可導(dǎo),又因?yàn)?br />F (a ? 0) ? f (a ? 0) ? f (a ? 0) ? F (b ? 0) ? f (b ? 0) ? f (a ? 0) ?

根據(jù)定理 5 可知,至少存在一點(diǎn) ? ? (a, b) 使得 F ?(? ) ? 0 .進(jìn)而有

9

F ?(? ) ? f ?(? ) ?

f (b ? 0) ? f (a ? 0) ? 0, b?a

即
f ?(? ) ? f (b ? 0) ? f (a ? 0) . b?a

綜上所述,存在一點(diǎn) ? ? (a, b) 使得

f ?(? ) ?
4.2.3 柯西定理的推廣

f (b ? 0) ? f (a ? 0) . b?a

(洛必達(dá)法則一) 若函數(shù) f(x)與 ? (x) 滿足下列條件： 1) 在 a 的某去心領(lǐng)域 U ( a ) 可導(dǎo)，且 ? ' ( x) ? 0 ； 2) lim f ( x ) ? 0 與 lim ? ( x ) ? 0 ；
x?a x?a

0

3) lim

f ' (x) ?l. x ?a ? ' ( x )

則 lim

f(x) f ' (x) ? lim ' ?l. x ?a ? (x) x ?a ? ( x )
證明洛必達(dá)法則要找到兩個(gè)函數(shù)之比與這兩個(gè)函數(shù)的倒數(shù)之比之間的聯(lián)系.柯

證法

西中值定理正是實(shí)現(xiàn)這種聯(lián)系的紐帶.為了使函數(shù) f(x)與 ? (x) 在 a 滿足柯西中值定理的 條件，將函數(shù) f(x)與 ? (x) 在 a 作連續(xù)開(kāi)拓.這不影響定理的證明，因?yàn)橛懻摵瘮?shù) a 的極限與函數(shù) f(x)與 ? (x) 在 a 的函數(shù)值無(wú)關(guān). 證明 將函數(shù) f(x)與 ? (x) 在 a 作連續(xù)延拓，即設(shè)
f(x) 在 ? (x)

? f ( x), x ? a, f 1 ( x) ? ? x ? a; ? 0,
0

?? ( x), x ? a, ?1 ( x) ? ? ? 0,

x ? a;

?x ? U ( a ) .在以 x 與 a 為端點(diǎn)的區(qū)間上函數(shù) f1 ( x) 與 ?1 ( x) 滿足滿足柯西中值定理的

條件，則在 x 與 a 之間至少存在一點(diǎn) c，使

f1 ( x) ? f1 (a) f1' (c) . ? ?1 ( x) ? ?1 (a) ?1' (c)
10

已 知 f 1 (a ) = ?1 (a) =0 ， ?x ? a ，有 f1 ( x) ? f ( x) 與 ?1 ( x) ? ? ( x) ， f1' (c) ? f ' (c) ，

?1' (c) ? ? ' (c) .從而，
f(x) f ' (c) = . ? (x) ? ' (c)

因?yàn)?c 在 x 與 a 之間，所以當(dāng) x ? a 時(shí)，有 c ? a ，有條件 3） ，有

lim
.

f ' (x) f(x) f ' (x) . ? lim ' ? l = lim ' x ?a ? ( x ) x ?a ? (x) c ?a ? ( x )

5 微分中值定理的應(yīng)用 微分學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)分析的重要組成部分,而微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,其 建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,是用于證明等式,證明不等式,討論方程根的存在性等 問(wèn)題的重要工具. 5.1 利用微分中值定理證明等式 例 1 設(shè)函數(shù) f (x) 在 ?a, b? 上連續(xù),在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo).證明存在 ? ? ?a, b ? 使得

b ,0 ? a ? b. a 證明 利用柯西中值定理 令 g ( x) ? ln x , x ? 0 ,顯然, g (x) 在 ?a, b? 上連續(xù),在 ?a, b ? f (b) ? f (a ) ? ?f ?(? ) ln
內(nèi)可導(dǎo),且 g ?( x) ?

1 ? 0 ,所以,存在 ? ? ?a, b ? 使得 x f ?(? ) f (b) ? f (a) f (b) ? f (a) ? ? , b g ?(? ) g (b) ? g (a) ln a
b f (b) ? f (a ) ? ?f ?(? ) ln . a

所以

證畢. 例 2 設(shè)函數(shù) f (x) 在 ?? a, a? 上連續(xù),在 ?? a, a ? 內(nèi)可導(dǎo),且 f (?a) ? f (a) ? 0 .證明對(duì)任 意常數(shù) k ,存在 ? ? ?? a, a ? ,有 f ?(? ) ? kf (? ) ? 0 . 證明 利用羅爾定理,構(gòu)造函數(shù)

F ( x) ? f ( x)ekx ,
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由于 f (x) 在 ?? a, a? 上連續(xù), 在 ?? a, a ? 內(nèi)可導(dǎo),且 f (?a) ? f (a) ， 所以, F (?a) ? F (a) ? 0 , 且 F (x) 在 ?? a, a? 上連續(xù),在 ?? a, a ? 內(nèi)可導(dǎo)，所以,存在 ? ? ?? a, a ? 使得
F ?(? ) ? 0 ,

即 f ?(? ) ? kf (? ) ? 0 . 例 3 設(shè) f (x) 滿足:(1) 在 ?a, b? 上連續(xù);(2) 在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),證明存在 ? ? ?a, b ? ,使得

f ?(? ) ? f (? ) .
證明 證法同例 2,令 k ? ?1 即可證得. 小結(jié) 如例 3,例 7 中用羅爾定理證明,需要構(gòu)造出原函數(shù),此類函數(shù)有固定的原型
F ( x) ? f ( x)e g ( x ) ,利用微分中值定理容易得到想要證明的結(jié)論.

例 4 設(shè) f (a) ? f (b) ? f (c) ? 3 , f (3) ? 1 , f (x) 在 ?0,3? 上連續(xù),在 ?0,3? 內(nèi)可導(dǎo), a,
b , c ? ?0,3? .則有 ? ? ?0,3? 使得 f ?(? ) ? 0 .

證明 由于 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 3 ,且 f (x) 在 ?0,3? 上連續(xù)在 ?0,3? 內(nèi)可導(dǎo)，所以,必存 在 k ? ?0,3? 使得 f (k ) ? f (3) ? 1 ,根據(jù)羅爾定理,存在 ? ? ?k ,3? ? ?0,3? 使得

f ?(? ) ? 0 .
例 5 證明恒等式: arctan x ? - arcsin 證明 令
1 2x f ( x) ? arctan x ? arcsin , 2 1? x2

1 2

2x ? ? . 2 1? x 2

則
f ?( x) ? 1 ? 1? x2 1 2 1? 4x
2 2 2

2 1? x2 ? 4x2

?

?1 ? x ?

?1 ? x ?

?

2 2

? 0, ?x ? 1? ,

所以, f (x) 在 ?1,??? 為常函數(shù).又有 lim f ( x ) ? f (1) ，所以 f ( x ) ? f (1) ? ?
x ?1

?
2

,

即
1 2x ? arctan x ? - arcsin ? 2 2 1? x 2

成立. 例 6 設(shè) f ( x) ? 0(0 ? x ? 1) 且在 ?0,1? 上連續(xù),在 ?0,1? 內(nèi)可導(dǎo).則存在 ? ? (0,1) 使得

f ?(? ) f ?(1 ? ? ) ? . f (? ) f (1 ? ? )
證明 變換待證等式為
12

0 ? f ?(? ) f (1 ? ? ) ? f (? ) f ?(1 ? ? ) d ? ? f (? ) f (1 ? ? )? ? F ?(? ) dx 其中 F ( x) ? f ( x) f (1 ? x) ,顯然 F (0) ? f (0) f (1) ? F (1) ,利用羅爾定理即可得
f ?(? ) f ?(1 ? ? ) ? . f (? ) f (1 ? ? )
例 7 設(shè) f (1) ? 2

?

1 2 0

xf ( x)dx , f (x) 在 ?0,1? 內(nèi)可導(dǎo),則存在 ? ? ?0,1? ,使得
f ?(? ) ? ? f (? )

?

.

證明 變換待證等式為

0 ? ?f ?(? ) ? f (? ) ? F ?(? ) ,
其中 F ( x) ? xf ( x) .由于
1

f (1) ? 2? 2 xf ( x)dx ,
0

所以

F (1) ? f (1) ? 2 ? xf ( x)dx ? F (c) ,
其中 c ? ?0,1? ,于是,在 ?c,1? 上 F (x) 滿足羅爾定理,從而有結(jié)論

1 2 0

f ?(? ) ?
若待證等式 ? (a, b, ? ) ? 0 明顯可表示為

? f (? )

?

.

? (? ) ?
的形式,則 ? (? ) 很可能就是

f (b) ? f (a) g (b) ? g (a)

f ?(? ) ,因而,可以利用柯西定理證明. g ?(? )

例 8 設(shè) 0 ? a ? b , f (x) 在 ?a, b? 連續(xù)可導(dǎo),則存在 ? ? ?a, b ? 使得

f (b) ? f (a ) ? ?f ?(? ) ln
柯西定理,存在 ? ? ?a, b ? 使得

證明 令 g ( x) ? ln x 則 g ?( x) ? 0 ,且 f (x) , g (x) 在 ?a, b? 上連續(xù)在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)
f ?(? ) f (b) ? f (a) , ? g ?(? ) ln b ? ln a

b . a

即
13

f (b) ? f (a ) ? ?f ?(? ) ln

b . a

5.2 利用微分中值定理證明不等式 利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式時(shí),常將待證不等式變形為

M?

f (b) ? f (a) f (b) ? f (a) ? N (或M ? ? N) b?a g (b) ? g (a)

的形式,且 f ( x)(或f ( x), g ( x)) 滿足拉格朗日或柯西定理的條件,再證明對(duì)一切的 x ? ?a, b ? 有

M ? f ?( x) ? N (或M ?
最后利用中值定理證明. 例9 證明對(duì)任何正數(shù) a 、 b(a ? b) 有

f ?( x) ? N) , g ?( x)

證明 令 f ( x) ? ln x , x ? ?a, b? .則 f (x) 在 ?a, b? 上連續(xù),在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)拉格朗 日中值定理,存在 ? ? ?a, b ? 使得
ln b ? ln a ? 1

b?a a b?a ? ln ? . b b a

?

?b ? a ? ,

由于 ? ? ?a, b ? ,所以

1 1 1 ? ? ,即有 b ? a
b?a a b?a ? ln ? . b b a

例 10 設(shè) f (x) 為非線性函數(shù),且在 ?a, b? 上連續(xù),在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo),則存在 ? ? ?a, b ? 使得

(b ? a) f ?(? ) ? f (b) ? f (a) .
證明 變換待證不等式為

0 ? (b ? a) f ?(? ) ? ? f (b) ? f (a)?
? d ?(b ? a) f ?(? ) ? ? f (b) ? f (a)?? d?

? F ?(? ) ,

其 中 F ( x) ? (b ? a) f ( x) ? x? f (b) ? f (a)? , 若 結(jié) 論 不 成 立 , 則 F ?( x) ? 0(a ? x ? b) , 因 而

F (x) 單調(diào)遞減.但是
F (a) ? (b ? a) f (a) ? a? f (b) ? f (a)? ? F (b) ,

故,必有 F ( x) ? F (a) ,從而與已知矛盾,所以結(jié)論成立.即
14

(b ? a) f ?(? ) ? f (b) ? f (a)
成立. 例 11 設(shè)函數(shù) f (x) 在 ?a, b? 上連續(xù),在 ?a, b ? 內(nèi)可導(dǎo) f (a) ? f (b) ? 0 ? f ?(a) ,則存在

? ? ?a, b ?,使得

f ??(? ) ? 0 .
證明 若不存在 ? ,則 f ??(? ) ? 0 ,從而 f ?(x ) 單調(diào)遞增，又由于 f ?(x ) 滿足羅爾定理, 則存在 x0 ? ?a, b? 使得 f ?( x0 ) ? 0 ,又有 f ?(a ) ? 0 ,所以, f ?(x) 非單調(diào)遞增.上下矛盾.因而, 存在 ? ? ?a, b ? 使得 f ??(? ) ? 0 .
? 例 12 設(shè) x ? 0 ,對(duì)任意 ? ? ?0,1? .證明 x ? ?x ? 1 ? ? .

證明 當(dāng) x ? 1 時(shí),結(jié)論顯然成立. 當(dāng) x ? 1 時(shí),取 ?x,1?或 ?1, x? ,在該區(qū)間上,設(shè) f ( x) ? x ? , g ( x) ? ?x ,根據(jù)柯西定理,有
f ( x) ? f (1) f ?(? ) , ? ? ?x,1? 或 ? ? ?1, x ? , ? g ( x) ? g (1) g ?(? )

即
x? ? 1 ? ? ? ?1 ; ?x ? ?

當(dāng) x ? 1 時(shí), ? ? ?x,1? , ? ? ?1 ? 1，即
x? ? 1 ? 1; ?x ? ?
? 又有 ?x ? ? ? ? ( x ? 1) ? 0 ,所以 x ? ?x ? 1 ? ? .

當(dāng) x ? 1 時(shí),

? ? ?1, x ? , ? ? ?1 ? 1 , ?x ? ? ? ? ( x ? 1) ? 0 ,
? 所以, x ? ?x ? 1 ? ? .由此,不等式得證.

5.3 討論方程根的存在性 注意到在中值定理中有 f ?(? ) ? 0 ,令 f ?( x) ? g ( x) ,這樣就可以利用中值定理討論 方程 g ( x) ? 0 的根的存在性. 例 13 設(shè) a1 , a2 ,?, an 為任意 n 個(gè)實(shí)數(shù),證明函數(shù)
f ( x) ? a1 cos x ? a2 cos2x ? ?? an cosnx

在 (0, ? ) 必有零點(diǎn). 證明 作輔助函數(shù)

1 1 F ( x) ? a1 sin x ? a2 sin 2 x ? ? ? an sin nx , x ? ?0, ? ? , 2 n
15

則 F ?( x) ? a1 cos x ? a2 cos2x ? ?? an cosnx ? f ( x) ,容易驗(yàn)證 F (x) 在 ?0, ? ? 上連續(xù),在

(0, ? ) 可導(dǎo),且 F (? ) ? F (0) ? 0 ,所以存在 ? ? (0, ? ) 使得 F ?(? ) ? 0 ,即 f (? ) ? 0 .所以,
f (x) 在 (0, ? ) 必存在零點(diǎn).
例 14 設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 K 上可導(dǎo),則 f (x) 的兩個(gè)零點(diǎn)間一定存在 f ( x) ? f ?( x) 的 零點(diǎn). 證明 (采用羅爾定理)任取 f (x) 的兩個(gè)零點(diǎn) x1 , x2 .不妨設(shè) x1 ? x2 .作輔助函數(shù)
F ( x) ? f ( x)e x ,

則 F (x) 在 ?x1 , x2 ? 上 連 續(xù) , 在 x1 ? x2 內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 , 由 羅 爾 定 理 , 存 在

? ? ( x1 , x2 ) ,使得 F ?(? ) ? 0 ,即
f (? )e? ? f ?(? )e? ? 0 ,
? 而 e ? 0 ,故有 f (? ) ? f ?(? ) ? 0 ,即 f (x) 的兩個(gè)零點(diǎn)間一定存在 f ( x) ? f ?( x) 的零點(diǎn).

例 15 證明:若
a0 ? a a1 ??? n ? 0 , 2 n ?1

則多項(xiàng)式

f ( x) ? a0 x ? a1x2 ? ?? an xn?1
在 ?0,1? 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. 證明 令
g ( x ) ? a0 x ? a a1 2 x ? ? ? n x n ?1 2 n ?1

則
g ?( x) ? f ( x) ,

又有 g (x) 在 ?0,1? 連續(xù)可導(dǎo),且 g (0) ? g (1) ? 0 ,滿足羅爾定理的條件,故存在 ? ? ?0,1? 使 得
g ?(? ) ? 0

即 f (? ) ? 0 ,結(jié)論得證. 例 16 若函數(shù) f (x) 在 ?a, b? 上非負(fù),且三階可導(dǎo),方程 f ( x) ? 0 在 ?a, b ? 內(nèi)有兩個(gè)不同 的實(shí)根.證明存在 ? ? ?a, b ?使得
f ???(? ) ? 0 .

證明 因?yàn)榉匠?f ( x) ? 0 在 ?a, b ? 內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根,設(shè)其分別為 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 所以 根據(jù)極值定義可以知道 x1 , x2 為 f (x) 的兩個(gè)極值點(diǎn), f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,又由于 f (x) 非負(fù)， 所 以 有 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 又 因 為 f (x) 滿 足 羅 爾 定 理 ， 所 以 存 在 k1 ? ?a, b? 使 得
16

f ?(k1 ) ? 0 ,又 f (x) 三階可導(dǎo)，所以 f ?(x ) 滿足羅爾定理,即存在 k2 ? ?x1 , k1 ? , k3 ? ?k1 , x2 ? 使

得

f ??(k2 ) ? f ??(k3 ) ? 0 ,
同樣 f ??(x) 滿足羅爾定理,則存在 ? ? ?k2 , k3 ? ? ?a, b? 使得
f ???(? ) ? 0 .

證畢. 例 17 設(shè) a ? 0 ,則方程
x3 ? x ? a2 2 arctana

在 ?0, a ? 內(nèi)有解. 證明 將待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為中值問(wèn)題:存在 ? ? ?0, a ? 使得
arctana 1 , ? 2 a 2? (1 ? ? 2 )

即
? arctana ? arctan0 ?arctan? ? , ? ? a2 ? 0 ?2

? ?

根據(jù)柯西中值定理直接得證,即方程
x3 ? x ? a2 2 arctana

在 ?0, a ? 內(nèi)有解. 例 18 若函數(shù) f (x) 在 ?a, b?可導(dǎo),對(duì) f ?? (a) 與 f ?? (b) 之間的任意數(shù) ? ,則在 ?a, b ? 內(nèi)至少 存在一點(diǎn) c ,使得 f ?(c) ? ? . 證明 不妨設(shè) f ?? (a) ? f ?? (b) .則 f ?? (a) ? ? ? f ?? (b) . 作輔助函數(shù) F ( x) ? f ( x) ? ?x ,有 F ?( x) ? f ?( x) ? ? .顯然, F?? (a) ? f ?? (a) ? ? ? 0 與
F?? (b) ? f ?? (b) ? ? ? 0 ,即
F?? (a) ? lim?
x?a

F ( x) ? F (a ) ?0 x?a

與
F?? (b) ? lim ?
x ?b

F ( x) ? F (b) ?0. x ?b

由極限保號(hào)性,存在 x1 ? ?a, b? ,使得

F ( x1 ) ? F (a) ? 0, x1 ? a
17

從而, F ( x1 ) ? F (a) .存在 x 2 ? ?a, b? ,使得

F ( x 2 ) ? F ( a) ?0, x2 ? a
從而, F ( x 2 ) ? F (b) .于是, F (x) 在 ?a, b ? 內(nèi)至少存在一個(gè)極小值點(diǎn) c .根據(jù)費(fèi)馬定理,有
F ?(c) ? f ?(c) ? ? ? 0 ,即 f ?(c) ? ? .

結(jié)束語(yǔ)
由上所述,我們發(fā)現(xiàn)微分中值定理的證明除了構(gòu)造輔助函數(shù),還可以利用其他的證明 方法加以證明,同時(shí)從羅爾定理到柯西中值定理的層次之間還存在著遞進(jìn)關(guān)系.除了本文 介紹的幾個(gè)方面,利用微分中值定理還可以導(dǎo)出洛必達(dá)法則,泰勒公式等.由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的性態(tài)(極值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的結(jié)論. 深入研究微分中值定理,有 助于加深對(duì)這些定理的理解;清楚這些定理的證明,能促使我們掌握微分中值定理的具體 應(yīng)用.

18

參考文獻(xiàn)
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[6] 張曉彥; 刁光成. 微分中值定理的推廣[J]. 科技天地. 2009 [7] 邢建平; 徐湘云. 微分中值定理的解題應(yīng)用[J].中小企業(yè)管理與科技(上旬刊). 2010(08) 158 [8] 胡適耕，姚云飛編著.數(shù)學(xué)分析：定理·問(wèn)題·方法[M].科學(xué)教育出版社 2007

致謝
在論文的寫(xiě)作過(guò)程中，我得到了很多熱心人的幫助，特別是感謝宋老師以及給與我 悉心的指導(dǎo)的朋友們，并引導(dǎo)我翻閱了大量的書(shū)籍，對(duì)論文進(jìn)行了多次、細(xì)致的修改. 論文導(dǎo)師細(xì)心謹(jǐn)慎的修改， 使我的論文更加嚴(yán)密與完善.老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)精神以及淵博的 知識(shí)，都使我受益匪淺，在此謹(jǐn)向宋老師致以衷心的謝意！

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