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選址問題綜述

〔轉自馬云峰〕現(xiàn)代選址研究起于 1909 年，當時 Alfred Weber 為解決如何為單個倉庫選址使得倉庫到多個顧客間的總距離最小的問題，他在歐氏空間里建立了一個 1-中位問題模型，就是著名的 Weber 問題。

1）基本選址問題

（1）P-中位問題（p-median problems）
　　P-中位問題是研究如何選擇P個服務站使得需求點和服務站之間的距離與需求量的乘積之和最小。Hakimi[13,16]提出該問題之后給出了 P-中位問題的 Hakimi 特性，他證明了 P-中位問題的服務站候選點限制在網絡節(jié)點上時至少有一個最優(yōu)解是與不對選址點限制時的最優(yōu)解是一致的，所以將網絡連續(xù)選址的 P-中位問題簡化到離散選址問題不會影響到目標函數(shù)的最優(yōu)值。Goldman[17]給出了在樹和只有一個環(huán)的網絡上為單個服務站選址中位問題的簡單算法。Miehle 于 1958 年也研究過平面 1-中位問題，也就是 Weber 問題，是他發(fā)現(xiàn)了 Weiszfeld 的研究成果，被選址-分配問題的里程碑文章 Cooper[14] 譽為 Weiszfeld 研究的發(fā)現(xiàn)者。對于空間 P-中位問題，也就是更一般的Weber 問題，Rosing[18]提出了最優(yōu)解法。Garey 和 Johnson[19]證明了 P-中位問題是 NP-困難問題。Francis[20]、Francis 和 Cabot[21]、Chen[22]以及 Chen 和 Handler[23]研究了基于歐氏距離的 P-中位問題。
　　近年來，P-中位問題仍然是研究的熱點，許多學者研究 P-中位問題的各種變形和擴展模型：Wesolowsky[24]、Wesolowsky 和ruscott[25]、Drezner[26]研究了動態(tài) P-中位問題。ReVelle[27]將目標函數(shù)定義為新建的服務站所占據(jù)的市場份額的最大化，成功地將中位問題運用于競爭環(huán)境下的零售商店選址問題中。Lorena、Senne[28]和 Luiz 等[29]運用列生成方法解決帶容量限制的 P-中位問題。Berman 等[30]研究服務的可靠度隨著服務設施與需求的距離變化的設施問題問題。Church 提出了通過減少分配的變量來減少約束的傳統(tǒng) P-中位問題的新建模方法[31]。Drezner[32]、Chen[33]、Chen 和 Handler[34]在此基礎上研究條件中位問題，又稱 PQ-中位問題，即網絡中已存在 Q 個服務站的條件下，如何為 P 個同類服務站選址的中位問題。

（2）P-中心問題（p-center problems）
　　P-中心問題也叫 minmax 問題，是探討如何在網絡中選擇 P 個服務站，使得任意一需求點到距離該需求點最近的服務站的最大距離最小問題。Hakimi[13]首先提出網絡中 P-中心問題，Kariv 和 Hakimi[35]證明了 P-中心問題為 NP-困難問題。Drezner 和Wesolowsky[36]提出了 Drezner-Wesolowsky 法解決多服務站的 P-中心問題。Francis[37]在平面上的 P-中心問題研究中取得一些進展, Wesolowsky[38]研究基于直線距離 P-中心問題；十年后，Chen[22]、Ward 和 Wendell[39]對基于歐幾里德距離的 P-中心問題作了研究。Masuyayma，Ibaraki 和 Hasegawa[40]、Megiddo 和 Supowit[41]證明了基于直線距離和歐氏距離的 P-中心問題都是 NP-完全問題。C. Caruso 等[42]通過求解一系列集覆蓋的問題的辦法求解 P-中心問題。Hassin, Levin, Morad D[43]提出了運用詞典區(qū)域局部搜索法來求解 P-中心問題。Yuri Levin,Adi Ben-Israel[44]對大規(guī)模 P-中心問題給出了啟發(fā)式算法，對一些著名的問題進行了計算分析。

（3）覆蓋問題（covering problems）
        覆蓋問題分為最大覆蓋問題和集覆蓋問題兩類。集覆蓋問題研究滿足覆蓋所有需求點顧客的前提下，服務站總的建站個數(shù)或建設費用最小的問題。集覆蓋問題最早是由 Roth[45]和 Toregas[46]等提出的，用于解決消防中心和救護車等的應急服務設施的選址問題，他們分別建立了服務站建站成本不同和相同情況下集覆蓋問題的整數(shù)規(guī)劃模型。隨后 Minieka[47]、Moore 和 ReVelle[48]等都繼續(xù)研究集覆蓋問題。Plane 和Hendrick[49]、Daskin 和 Stern[50]建立了服務站個數(shù)最小和備用覆蓋的顧客最大的雙目標集覆蓋問題。Heung-Suk Huang[51]研究了產品會隨時間變壞或變好時的動態(tài)集覆蓋問題。最近十幾年來許多基于啟發(fā)式的算法被用于解決集覆蓋問題，M.L. Fisher 和 P.Kedia[52]提出了基于對偶的啟發(fā)算法并用來解決最多有 200 個候選點、2000 個需求點的集覆蓋問題；Beasley J.E. 和 Jornsten. K[53]將次梯度優(yōu)化法和拉格朗日松弛算法結合起來求解這類問題；Marcos Alminana 和 Jesus T. Pastor[54]應用代理啟發(fā)式算法求解集覆蓋問題。J.E. Beasley 和 P.C. Chu[55]給出了求解服務站建站成本不同時集覆蓋問題的遺傳算法。Grossman 和 Wool[56]用大量的實驗對比了九種用于求解 SCLP 的啟發(fā)式算法，其中隨機貪婪算法(R-Gr)、簡單貪婪算法(S-Gr)和轉換貪婪算法(Alt-Gr)在幾乎
所有問題中都是最好的前四種算法之一，其中隨機貪婪算法表現(xiàn)最好，在 60 個隨機問題中有 56 次獲得最好的解。Karp[57]證明了集覆蓋問題是 NP-完全問題。

　　最大覆蓋問題或 P-覆蓋問題是研究在服務站的數(shù)目和服務半徑已知的條件下，如何設立 P 個服務站使得可接受服務的需求量最大的問題。同其它基本問題一樣，最大網絡覆蓋問題也是 NP-困難問題(Mark s.Daskin)[58]。最初的最大覆蓋問題是由 Church RL 和 ReVelle C[59]提出的，他們將服務站最優(yōu)選址點限制在網絡節(jié)點上；Church RL和 Meadows ME[60]在確定的關鍵候選節(jié)點集合中給出了一般情況下的最優(yōu)算法，他們通過線性規(guī)劃的方法求解，如果最優(yōu)解不是整數(shù)就用分枝定界法求解；Church 和
Meadows[60]提出了最大覆蓋問題的偽 Hakimi 特性，即在任何一個網絡中，存在一個有限節(jié)點的擴展集，在這個集合中至少包含一個最大覆蓋問題的最優(yōu)解。Benedict[61]，Hogan 和 ReVelle[62]，Daskin[63]考慮服務系統(tǒng)擁擠情況下的最大覆蓋問題，他們把任意一個服務站繁忙的概率當作外生變量，目標函數(shù)是服務站可以覆蓋的期望需求量最大。Haldun Aytug 和 Cem Saydam[64]用遺傳算法來求解大規(guī)模最大期望覆蓋問題，并進行了比較。Fernando Y[65]等對最大期望覆蓋問題中排隊與非排隊的情況進行了對比。Berman[66]研究了最大覆蓋問題和部分覆蓋問題之間的關系。Oded Berman 和 DmitryKrass[67] 、Oded Berman, Dmitry Krass 和 Zvi Drezner[68]討論比傳統(tǒng)最大覆蓋問題更一般的最大覆蓋問題，并給出了拉格朗日松弛算法。Orhan Karasakal 和 Esra K.Karasakal[69]討論了部分覆蓋問題，對覆蓋程度進行了定義。Jorge H. Jaramillo、Joy Bhadury 和 Rajan Batta[70] 在選址問題的遺傳算法應用研究時介紹了最大覆蓋問題遺傳算法的操作策略。

2）擴展選址問題
       在前面三個基本選址問題的基礎上考慮其它因素就形成了擴展選址問題。由于擴展選址問題是由不同的分類方法根據(jù)實際應用需要組合而成，所以各類型之間存在較大的交叉，本文僅以最具代表特征的部分對不同的類型命名并進行綜述。

（1）帶固定費用和/或容量限制的選址問題
        最容易也最常想到也最有實際意義的就是考慮服務站建站的固定費用和服務站的容量(服務能力)限制這兩個因素，所以早期對基本選址問題的擴展研究較多地集中在將這兩個因素加進基本選址問題上。無容量限制固定費用下的選址問題(UFLP)就是將固定建站費用加到 P-中位問題的目標函數(shù)上，并且去掉對服務站建站個數(shù)的約束。Cornuejols、Fisher 和 Nemhauser[71]對該問題進行了細致的分類和具體的分析，Swain[72]運用 Bender 分解法求解 UFLP，Barros 和 Labbe[73]、Holmberg[74]對 UFLP 進行了更深入的研究。Geoffrion 和 McBride[75]研究用拉格朗日算法解決帶容量限制的服務站選址問題。Mukundan 和 Daskin[76]將固定費用有容量限制的選址問題模型(CFLP)用于解決利潤最大化的類似問題，Bender 分解法也被 Mark s. Daskin[58]用來求解 CFLP。最近Hinojosa，Puerto 和 Fernandez[77]研究了多產品帶容量限制的服務站選址問題，Melkote和 Daskin[78]總結了網絡上帶容量限制的服務站選址問題的各種模型。Roberto Baldacci等[79]提出了一種基于集剖分的方法來求解容量限制的選址問題。

（2）截流問題
        截流問題研究顧客需求產生在路線上的問題，根據(jù)服務站工作性質可以分為服務型和對抗型兩大類。服務型截流問題廣泛應用于交通規(guī)劃、交通服務、交通監(jiān)測等方面，比如如何在交通路網中設立交通量觀測點使監(jiān)測到的交通流量最大的問題就是服務型截流問題。對抗型截流問題用于解決收費、檢查、緝私等站點的選址問題。Hodgson[80]，Berman、Fouska 和 Larson[81]最早提出截流問題，研究了需求路線確定的條件下，給定設施的數(shù)目，如何在網絡中選址使通過服務站的需求量總和達到最大的截流問題，并建立了此類問題的基本模型，提出了啟發(fā)式的貪婪算法來求解截流問題模型。Mirchandani 、Rebello 和 Agnetis[82]通過基本截流問題向集覆蓋問題的轉換證明了基本的截流問題是 NP-困難問題。Hodgson 等[83]研究了服務站的顧客流量是由兩部分組成的截流問題，一部分是產生于日常路線上的過路需求，另一部分是產生于節(jié)點的固定需求。Averbakh、Berman[84]研究了顧客流量細分和接受多次服務的一般模型和擴展模型。Berman 和 Krass[85]首先給出了競爭環(huán)境下的服務站截流選址問題，并給出了啟發(fā)式算法和最壞情況分析。Mirchandani、Rebello 和 Agnetis[86]最早提出了對抗型服務站的截流問題。Yang.H和 Yang.C[87]研究了用戶路線不確定條件下，檢查站設在網絡的邊上的截流問題，建立了線性規(guī)劃模型，并用列生成法求得精確解。

（3）Hub 選址問題
        Hub 選址問題是和截流問題有些類似的選址問題，需求也是產生在 OD 對上，在顧客從 O 點出發(fā)到 D 的過程中要接受 Hub 的服務。同截流問題不同的是，OD 流并不是走最短路從 O 點到 D 點，經過 Hub 中轉服務后要比直接從 O 點到 D 點要快，比如交通系統(tǒng)中的中轉站、通信系統(tǒng)的交換機或服務器等。O’Kelly[88,89]開創(chuàng)了 Hub 選址問題的研究工作，Marianov[90]研究了競爭環(huán)境下的 Hub 選址問題，Kara 和 Tansel[91]研究了單分配 P-Hub 選址問題，Ebery 和 Krishnamoorthy[92]研究了帶容量限制多分配的 Hub 選址問題。

（4）選址－分配問題
        選址－分配問題的一般形式類似于 P-中位問題，最初由 Curry 和 Skeith[93]提出這一問題。Geoffrion 和 Graves[94]開始研究多級服務站選址－分配問題。Wesolowsky 和Truscott[95]研究了多階段的選址分配問題，并用 Bender 分解法求解配送中心選址問題。oodchild[96,97]、Hodgson[98]也參與了這個問題的研究并對選址－分配問題進行了理論回顧。Marianov 和 Serra D[99]研究了受等待時間或排隊約束的多服務中心選址－分配問題。Luce Brotcorne、Gilbert Laporte 和 Frederic Semet[100]以救護車為背景的選址－分配問題研究現(xiàn)狀進行了總結。

（5）隨機選址問題
        隨機選址問題中考慮到現(xiàn)實世界的復雜性，把服務站的運行時間、建設成本、需求點位置、需求數(shù)量等部分或全部輸入參數(shù)看作是不確定的。隨機選址問題分為隨機概率問題和隨機情景問題。隨機概率問題是指輸入參數(shù)是服從某種分布時的隨機選址問題。Carbone[101]在解決需求不確定下公共設施的網絡選址問題時開始研究了需求量服從多變量正態(tài)分布、帶機會約束的 P-中位問題，建立了非線性模型。Weaver 和Church[102]研究在任意弧長服從離散隨機分布的隨機網絡上的中位問題，建立了整數(shù)規(guī)劃模型并用拉格朗日松弛算法和替代啟發(fā)式算法求解。Berman 和 Odoni[103]、Berman和 LeBlanc[104]研究了行程時間狀態(tài)隨馬爾可夫狀態(tài)轉移矩陣變化的多設施選址問題。Mirchandani[105]研究了行程時間、供應與需求模式都是隨機變化的條件下的 P-中位問題和無容量限制固定費用的倉庫選址問題。Daskin[106-108]在研究EMS車輛選址問題時，研究考慮運輸車輛繁忙概率的最大覆蓋期望問題。ReVelle 和 Hogan[109]在集覆蓋的背景下考慮車輛可用性的問題，并在最大覆蓋的基礎上研究 可靠度的 P-中心問題。Ghosh 和 Craig[110]研究了只有兩個賣主的壟斷市場、固定的市場需求量、多零售點的隨機選址問題。隨機情景問題是將不確定的性分解成多個可能在將來發(fā)生的狀態(tài)，同隨機概率選址問題相區(qū)別的是它是離散的隨機問題，，模型的目標是在所有可能的情況下達到最佳。Vanston 等[111]研究了情景建模的方法，給出了 12 種生成合適情景的步驟，Amara和 Lipinski[112]、Georgantzas 和 Acar[113]和 Van der Heijden[114]作了更進一步的研究。隨
機情景模型的目標最少有三種方式：所有情景下的期望值最好、最壞情景下的目標值最優(yōu)、所有情景下的期望遺憾度或最壞情景下遺憾度最小。Averbakh 和 Berman[115]研究了間隔需求不確定條件下最小遺憾度的網絡 P-中心問題。D.Serra、S.Ratick 和 C.ReVelle[116]和 D. Serra、V. Marianov[117]通過建立多種需求情景，建立了目標函數(shù)為服務的最小需求最大和最大遺憾度最小的兩個隨機情景問題模型，在他們用此辦法解決巴塞羅那的消防站選址決策的問題中，網絡節(jié)點需求和行程時間都是不確定的。A.Ghosh 和 S.L. McLafferty[118]應用這種方法解決了環(huán)境不確定時零售連鎖店選址問題，目標是使市場份額最大化。

（6）動態(tài)選址問題
        現(xiàn)實世界中不僅存在著不確定性，也存在著動態(tài)性，因此動態(tài)模型能更準確地反映實際問題，當然，考慮動態(tài)因素不可避免地會增加模型的復雜性和求解的難度。動態(tài)選址問題研究的是在未來若干時間段內服務站的最優(yōu)選址問題，在不同的時間段內動態(tài)選址模型的參數(shù)值是不同的，但在某一具體的時間段內模型參數(shù)是確定的。R.HBallou[119]在有限個計劃的時間段內為單個倉庫選址的問題中，建立了以利潤最大化為目標的動態(tài)模型，并運用一系列的靜態(tài)確定型最優(yōu)選址策略來解決這個多階段的動態(tài)選址問題。D.J. Sweeney 和 R.L. Tatham[120]通過增加備選服務站集改善了 Ballou 的算法。A.J. Scott[121]研究多個設施多階段的選址－分配的問題，并應用近視算法（myopic algorithm）來求解。C.S. Tapiero[122]研究了有運輸成本和服務站有容量限制的動態(tài)選址－分配模型。T.J. VanRoy 和 D. Erlenkotter[123]研究了不帶容量限制的動態(tài)選址問題，允許早期建立的服務站在一定時間后關閉。Z. Drezner[26]提出了漸進式 P-中位問題，研究需求隨時間分階段變化，不考慮分配問題，目標是在整個時間范圍內總的運輸費用最低。G. Gunawardane[124]在研究公用設施的選址問題中建立了動態(tài)的集覆蓋問題和最大覆蓋問題模型，考慮了未來若干時間段的覆蓋情況。

（7）競爭選址問題
       競爭選址問題考慮市場上存在兩個以上的同類產品或服務的提供者，或服務站提供多個產品或服務。目前的競爭選址研究集中在靜態(tài)問題上，考慮確定和隨機兩種情況，研究背景多以連鎖零售業(yè)為主。靜態(tài)確定型的競爭選址問題是在現(xiàn)存的競爭者已知而且確定，顧客只到最有吸引力的服務站的“全有全無”假設的條件下研究的，靜態(tài)隨機競爭選址問題是在 Huff[125]的引力模型的基礎上研究的。Hotelling H.在 1929 年首先提出了兩家賣主寡頭壟斷的市場競爭模型。Nakanishi 和 Cooper[126]在競爭選址研究中提出了一個影響市場份額分配的效用函數(shù)。Hakimi[16]研究了競爭環(huán)境下的 P-中位問題。T. Drezner[127]在向現(xiàn)有服務站集增建一個服務站的問題中引入了考慮服務站品質引力和平衡距離的效用函數(shù)，建立了確定競爭選址模型。T. Drezner 和 Z. Drezner[128]研究了效用函數(shù)決定顧客選擇服務站的概率，新建服務站的市場份額期望最大的選址問題。Marianov、Serra 和 ReVelle[129]研究了競爭條件下無容量限制的 Hub 選址模型。Drezner 和 Z. Drezner 和 Salhi[130]提出了應用模擬退火和 Ascent 相結合的算法求解新建服務站市場份額期望最大的競爭選址問題。

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