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傅里葉變換是將時域信號分解為不同頻率的正弦和/余弦和的形式。傅里葉變換是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，其通過在時域和頻域來回切換圖像，對圖像的信息特征進行提取和分析。

一維傅里葉變換及其反變換

單變量連續(xù)函數(shù)，f(x)的傅里葉變換F(u)定義為等式：

u=0，1，2，…，M一1

同樣，給出F(u)， 能用反DFT來獲得原函數(shù)：

其中，u=0，1，2，…，M一1。因此，我們看到傅里葉變換的每項[即對于每個u值，F(xiàn)(u)的值由f(x)函數(shù)所有值的和組成。f(x)的值則與各種頻率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范圍覆蓋的域(u的值)稱為頻率域，因為u決定了變換的頻率成分(x也作用于頻率，但它們相加，對每個u值有相同的貢獻)。F(u)的M項中的每一個被稱為變換的頻率分量。使用術(shù)語“頻率域”和“頻率成分”與“時間域”和“時間成分”沒有差別，如果x是一個時間變量，可以用它來表示f(x)的域和值。

二維DFT及其反變換

一維離散傅里葉變換及其反變換向二 維擴展是簡單明了的。一個圖像尺寸為M×N的函數(shù)f(x，y)的離散傅里葉變換由以下等 式給出：

像在一維中的情形一樣，此表達式必須對u值(u=0，1，2，…，M-1)和v值(v=0，1，2，…，N-1)計算。同樣，給出F(u,v)，可以通過反傅里葉變換獲得，f(x，y)，由表 　　達 式給 出：

其中，x=0，1，2，…，M-1，y=0，1，2，…，N-1。變量u和v是變換或頻率變量，x和y是空間或圖像變量。正如在一維中的情形那樣，常量1／MN的位置并不重要，有時它在反變換之前。其他時候，它被分為兩個相等的常數(shù)1/根號MN，分別乘在變換和反變換的式子前。

定 義傅里葉譜、相角和頻率譜：

并且其功率譜為：

其 中，R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實部和虛部。

通 常在進行傅里葉變換之前用(-1)x+y乘以輸入的圖像函數(shù)。由于指數(shù)的性質(zhì)，很容易看出:

其中Ζ[·]表示引文中的傅里葉變換。這個等式說明f(x,y)(-1)x+y傅里葉變換的原點[即F(0,0)]被設(shè)置在u =M／2和v=N/2上。換句話說，用(-1)x+y乘以f(x,y)將F(u,v)原點變換到頻率坐標(biāo)下的(M／2；N/2)，它是二維DFT設(shè)置的M×N區(qū)域的中心。我們將此頻率域的范圍指定為頻率矩形，它從u=0到u=M-1從v=0到v=N-1(u和v是整數(shù))。為了確保移動后的坐標(biāo)為整數(shù)，要求M和N為偶數(shù)。當(dāng)在計算機中使用傅里葉變換時，總和的范圍為u從1到M，v從1到N。實際的變換中心將為u=(M／2)+1和v=(N／2)十1。

當(dāng)(u,v)=(0,0)時 的變換值為：

即f(x,y)的平均值。換句話說，如果f(x,y)是一幅圖像，在原點的傅里葉變換即等于圖像的平均灰度級。因為 在原點處常常為零，F(xiàn)(0，0)有時稱做頻率譜的直流成分。

了解了傅里葉變化，下面看看為什么要在頻率域研究圖像增強。

1.可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應(yīng)關(guān)系。一些在空間域表述困難的增強任務(wù)，在頻率域中變得非常普通。

2.濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質(zhì)。

3.可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結(jié)果濾波器作為空間域濾波器的指導(dǎo)。

4.一 旦通過頻率域試驗選擇了空間濾波，通常實施都在空間域進行。

在 岡薩雷斯版<數(shù)字圖像處理>里面的解釋就非常的形象：一個恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。當(dāng)我們考慮光時,討論它 的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數(shù)。

傅立葉變換在圖像處理中有非常非常的作用。因為不僅傅立葉分析涉及圖像處理的很多方面，傅立葉的改進算法，比如離散余弦變換，gabor與小波在圖像處理中也有重要的分量。傅立葉變換在圖像處理以下幾個話題都有重要作用：

1.圖像增強與圖像去噪

絕大部分噪音都是圖像 的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲; 邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣；
2.圖像分割之邊緣檢測
提取圖像高頻分量
3.圖 像特征提取：
形狀特征：傅里葉描述子
紋 理特征：直接通過傅里葉系數(shù)來計算紋理特征
其他特征：將提取的特征值進行傅里葉變換來使特 征具有平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性
4.圖像壓縮
可以直接通過傅里葉系數(shù)來壓縮數(shù)據(jù)；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實變換；

5.信號在頻率域的表現(xiàn)
在頻域中，頻率越大說明原始信號 變化速度越快；頻率越小說明原始信號越平緩。當(dāng)頻率為0時，表示直流信號，沒有變化。因此，頻率的大小反應(yīng)了信號的變化快慢。高頻分量解釋信號的突變部分，而低頻分量決定信號的整體形象。
在圖像處理中，頻域反應(yīng)了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應(yīng)在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉(zhuǎn)化到頻率分布上來觀察圖像的特征。書面一點說就是，傅里葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉(zhuǎn)換的途徑。對圖像處理而言，以下概念非常的重要：

圖像高頻分量：圖像突變部分；在某些情況下指圖像邊緣信息，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；
低頻分量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓信息
高通濾波器：讓圖像使低頻分量抑制，高頻分量通過
低 通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻分量抑制，低頻分量通過
帶通濾波器：使圖像在某一部分 的頻率信息通過，其他過低或過高都抑制
還有個帶阻濾波器，是帶通的反。
6.圖像去噪
圖像去噪就是壓制圖像的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對圖像進行處理。通過低通濾波器可以抑制圖像的高頻分量。但是這種情況下常常會造成邊緣信息的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在局部區(qū)域抑制圖像的高頻分量，，模糊圖像邊緣的同時也抑制了噪聲。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈沖型噪聲有很好的去掉。因為脈沖點都是突變的點，排序以后輸出中值，那么那些最大點和最小點就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。

椒鹽噪聲：對于椒鹽采用中值濾波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。
高 斯白噪聲：白噪音在整個頻域的都有分布，好像比較困難。
7.圖像增強
有時候感覺圖像增強與圖像去噪是一對矛盾的過程，圖像增強經(jīng)常是需要增強圖像的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加圖像的高頻分量。而圖像去噪是為了消除圖像的噪音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時圖像的顯示效果顯著的提升了，那么，這時候就是同樣的意思了。
常見的圖像增強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，圖像銳化等。前面兩個是在空域進行基于像素點的變換，后面一個是在頻域處理。我理解的銳化就是直接在圖像上加上圖像高通濾波后的分量，也就是圖像的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是為了提高圖像的對比度，也就是使圖像看起來差異更明顯一些，我想，經(jīng)過這樣的處理以后，圖像也應(yīng)該增強了圖像的高頻分量，使得圖像的細節(jié)上差異更大。同時也引入了一些噪音。

最 后討論一下圖像傅立葉變換的物理意義

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。

最后附上傅里葉變換的一個例子。

通過上面的DFT變換可以看到：圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。

經(jīng)過變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大。