發(fā)布時(shí)間：2017-01-11 17:12

  本文關(guān)鍵詞：線(xiàn)性代數(shù)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【線(xiàn)性代數(shù)】 05 - 線(xiàn)性變換

　　之前的概念只是線(xiàn)性代數(shù)中最基本的工具，而線(xiàn)性代數(shù)最核心的內(nèi)容在這里才剛剛開(kāi)始。我們知道，代數(shù)的對(duì)象是結(jié)構(gòu)，而代數(shù)的核心則是變換。結(jié)構(gòu)間的變換不光揭露了它們之間的本質(zhì)關(guān)系，它還是了解結(jié)構(gòu)本身深層屬性的有力工具。變換本身沒(méi)有什么，我們更關(guān)注的其實(shí)是變中的不變，不變量則又是變換的核心。

1. 線(xiàn)性映射 1.1 定義和基本性質(zhì)

　　在抽象代數(shù)中，同態(tài)映射是深入理解代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要方法，它可以對(duì)其進(jìn)行縱向分解，從更宏觀的角度解析代數(shù)結(jié)構(gòu)。之前我們把矩陣定義成一種映射，可見(jiàn)想要深入了解矩陣，就必須回到它的根源上去。線(xiàn)性空間首先是一個(gè)交換群，同態(tài)映射的定義可以照搬過(guò)來(lái)。另一方面，線(xiàn)性空間還有數(shù)乘運(yùn)算，而且這才是它的核心所在，故同態(tài)映射還需保持?jǐn)?shù)乘的形式不變。為此定義線(xiàn)性空間\(V,V'\)之間的映射如下，并稱(chēng)\(\mathscr{A}\)為從\(V\)到\(V'\)的線(xiàn)性映射。

\[\mathscr{A}(\alpha+\beta)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{A}(\beta),\quad\mathscr{A}(k\alpha)=k\mathscr{A}(\alpha)\tag{1}\]

　　當(dāng)映射為雙射的時(shí)候，它顯然是個(gè)同構(gòu)映射，也就是個(gè)可逆運(yùn)算。而一般的線(xiàn)性映射，每個(gè)像的原像可能不止一個(gè)，順著這個(gè)關(guān)系，我們依次要討論的是：像的結(jié)構(gòu)是怎樣的？每個(gè)像的原像是什么？像和原像有什么關(guān)系？使用定義比較容易驗(yàn)證，線(xiàn)性映射的像\(\mathscr{A}(V)\)是一個(gè)線(xiàn)性空間，且有公式（2）成立。

\[\mathscr{A}(0)=0,\quad\mathscr{A}(-\alpha)=-\mathscr{A}(\alpha),\quad\mathscr{A}(k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n)=k_1\mathscr{A}(\alpha_1)+\cdots+k_n\mathscr{A}(\alpha_n)\tag{2}\]

　　設(shè)所有從\(V\)到\(V'\)的線(xiàn)性映射組成集合\(\text{Hom}(V,V')\)，容易驗(yàn)證它在式（3）的運(yùn)算下是一個(gè)線(xiàn)性空間。另外顯然，復(fù)合線(xiàn)性映射\(V\overset{\mathscr{B}}{\mapsto} V'\overset{\mathscr{A}}{\mapsto} V''\)也是線(xiàn)性映射，且滿(mǎn)足公式（4）。還可以證明，復(fù)合運(yùn)算和加法運(yùn)算滿(mǎn)足分配率（5），但由于乘法不封閉，故不一定是環(huán)。

\[(\mathscr{A}+\mathscr{B})(\alpha)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{B}(\alpha),\quad(k\mathscr{A})(\alpha)=k(\mathscr{A}(\alpha))\tag{3}\]

\[k(\mathscr{AB})=(k\mathscr{A})\mathscr{B}=\mathscr{A}(k\mathscr{B})\tag{4}\]

\[(\mathscr{A}+\mathscr{B})\mathscr{C}=\mathscr{AC}+\mathscr{BC},\quad\mathscr{C}(\mathscr{A}+\mathscr{B})=\mathscr{CA}+\mathscr{CB}\tag{5}\]

1.2 核和商空間

　　仿照抽象代數(shù)，定義\(0\)的原像集合\(W\)為\(\mathscr{A}\)的核，記作\(\text{Ker}\,\mathscr{A}\)，容易驗(yàn)證它是\(V\)的子空間。繼續(xù)考察任意像\(\alpha'\)的原像，設(shè)\(\mathscr{A}(\alpha)=\alpha'\)，易知\(\mathscr{A}(\alpha_0)=\alpha'\)的充要條件是\(\alpha-\alpha_0\in W\)，即\(\alpha_0\)在陪集\(\alpha+W\)中。這就在像和陪集之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，它可用如下映射表示。

\[\sigma:\:\alpha+W\mapsto\alpha',\quad\mathscr{A}(\alpha)=\alpha'\tag{6}\]

　　如果在陪集上定義如下運(yùn)算（式（7）），可以證明該運(yùn)算是良性的，且陪集集合形成一個(gè)線(xiàn)性空間，它叫商空間，記作\(V/W\)。容易驗(yàn)證\(\sigma\)是一個(gè)線(xiàn)性變換，故商空間和像同構(gòu)（公式（8）），這樣我們就徹底弄清了像與原像的關(guān)系。其實(shí)對(duì)任意一個(gè)子群\(W\)，都可以定義映射\(\alpha\mapsto(\alpha+W)\)，容易證明它就是以\(W\)為核的線(xiàn)性映射，這個(gè)映射也叫自然映射。以上正反的推導(dǎo)說(shuō)明，線(xiàn)性空間\(V\)上的線(xiàn)性映射和它的子空間是等價(jià)的。

\[(\alpha+W)+(\beta+W)=(\alpha+\beta)+W,\quad k(\alpha+W)=k\alpha+W\tag{7}\]

\[V/W\cong \mathscr{A}(V),\quad W=\text{Ker}\,\mathscr{A}\tag{8}\]

　　下面繼續(xù)討論有限維空間中，核空間和商空間的關(guān)系。首先根據(jù)抽象代數(shù)的結(jié)論，空間元素的個(gè)數(shù)滿(mǎn)足\(|V|=|W|·|V/W|\)，從而它們的維度滿(mǎn)足公式（9）。設(shè)空間\(V\)的維度是\(n\)，核\(W\)的維度是\(r\)，且\(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\)是它的一組基。現(xiàn)在來(lái)尋找\(V/W\)的一組基\(\beta_1+W,\cdots,\beta_{n-r}+W\)，首先\(\beta_1,\cdots,\beta_{n-r}\)當(dāng)然是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，又由于它們都不在\(W\)中，故\(\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_{n-r}\)正好組成\(V\)的一組基。

\[\dim{V}=\dim{W}+\dim(V/W)\tag{9}\]

　　商空間在三維空間中有較直觀的形象，比如空間中的一維子空間就是任意過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)\(l\)，它的陪集就是所有與\(l\)平行的直線(xiàn)，商空間自然就是這些平行線(xiàn)組成的線(xiàn)性空間。為了更直觀地理解這個(gè)商空間，觀察任意一個(gè)過(guò)原點(diǎn)且不與\(l\)平行的平面\(\pi\)，所有的平行線(xiàn)與\(\pi\)的唯一交點(diǎn)正好組成\(\pi\)，故二維空間\(\pi\)可以看做這個(gè)商空間的同構(gòu)空間。再比如，當(dāng)我們?nèi)∧硞�(gè)過(guò)零點(diǎn)平面\(\pi\)作為子空間時(shí)，商空間就是所有與之平行的平面，與這個(gè)商空間同構(gòu)的一維空間是任意一條過(guò)零點(diǎn)且不與\(\pi\)平行的直線(xiàn)\(l\)。

1.3 映射的矩陣

　　根據(jù)公式（2）的第3式可知，有限維線(xiàn)性空間的線(xiàn)性映射可以由\(V\)的一組基完全確定。具體來(lái)講，選擇\(V\)的一組基\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)，再選擇\(V'\)的一組基\(\beta_1,\cdots,\beta_m\)，線(xiàn)性映射可以表示成如下表達(dá)式。故每個(gè)線(xiàn)性映射在選定的基下都確定一個(gè)矩陣\(A\)，且反之對(duì)任意\(n\times m\)階矩陣，式子（10）也定義了一個(gè)線(xiàn)性變換。所以在有限維空間中，可以把線(xiàn)性映射和矩陣等價(jià)看待。這與我們?cè)诰仃嚦朔ㄖ械囊暯窍嘁恢�，但要注意\(\mathscr{AB}\)的矩陣是\(BA\)（自行驗(yàn)證）。

\[\mathscr{A}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=A_{n\times m}(\beta_1,\cdots,\beta_m)\tag{10}\]

　　對(duì)于同一個(gè)線(xiàn)性映射，選擇\(V,V'\)的不同基，得到的矩陣也是不同的。設(shè)\((\alpha'_1,\cdots,\alpha'_n)=P(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)和\((\beta'_1,\cdots,\beta'_m)=Q(\beta_1,\cdots,\beta_m)\)是另一組基，則有式（11）成立，即線(xiàn)性映射的矩陣變?yōu)閈(PAQ^{-1}\)。反之對(duì)任意\(n,m\)階的可逆方陣\(P,Q\)，\(B=PAQ^{-1}\)都是同一個(gè)線(xiàn)性映射在某組基下的矩陣。滿(mǎn)足以上條件的\(A,B\)稱(chēng)為是相抵矩陣，顯然相抵矩陣是一個(gè)等價(jià)類(lèi)，每一個(gè)類(lèi)對(duì)應(yīng)\(\text{Hom}(V,V')\)中的一個(gè)元素。

\[\mathscr{A}(\alpha'_1,\cdots,\alpha'_n)=P\mathscr{A}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=PA(\beta_1,\cdots,\beta_m)=PAQ^{-1}(\beta'_1,\cdots,\beta'_m)\tag{11}\]

　　由上一篇的結(jié)論知，總存在可逆方陣\(P,Q\)，使得\(PAQ^{-1}=\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}\)。在對(duì)應(yīng)基下，線(xiàn)性映射有了最簡(jiǎn)單的形式，它也是最本質(zhì)的形式，同構(gòu)意義下\(n\)維到\(m\)維空間的線(xiàn)性映射僅有\(zhòng)(\min(n,m)\)個(gè)。另外，顯然\(A\)的秩\(r\)正是\(\mathscr{A}(V)\)的維度，故\(r\)也稱(chēng)為\(\mathscr{A}\)的秩，同樣記作\(\text{rank}\,\mathscr{A}\)。

　　如果把相抵看成是一種變換，我們更關(guān)注其中不變的量，比如矩陣的秩，并稱(chēng)之為變換的不變量。不變量是變換或等價(jià)類(lèi)的重要屬性，它也是考察變換的主要工具。反之，一旦矩陣的階和秩確定，它們所屬的相抵等價(jià)類(lèi)也就確定了，，這樣的量可以唯一刻畫(huà)變換，它被稱(chēng)為變換的全系不變量。關(guān)于不變量的討論將貫穿今后的內(nèi)容，因?yàn)檫@才是線(xiàn)性代數(shù)最精華的部分，全系不變量不僅可以給出變換的簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)式，還可以對(duì)變換進(jìn)行徹底地分類(lèi)。

2. 線(xiàn)性變換 2.1 線(xiàn)性變換和相似矩陣

　　線(xiàn)性空間\(V\)到自身的線(xiàn)性映射也叫線(xiàn)性變換，它們組成的集合簡(jiǎn)記為\(\text{Hom}(V)\)，由于乘法在其中是封閉的，故它是一個(gè)環(huán)。恒等變換\(\mathscr{I}\)將每個(gè)元素變換到自身，顯然它是環(huán)的單位元，故\(\text{Hom}(V)\)還是含幺環(huán)。像這種定義了乘法的線(xiàn)性空間，且乘法滿(mǎn)足公式（4）（5）和存在單位元，我們一般稱(chēng)之為域\(K\)上的代數(shù)。代數(shù)是很常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)，比如一般的數(shù)域、\(n\)維方陣、一元多項(xiàng)式等等。

　　一一映射的線(xiàn)性變換是可逆映射，它的逆一般也記作\(\mathscr{A}^{-1}\)。又由于線(xiàn)性變換在乘法上的封閉性，可以很自然地定義它的冪運(yùn)算（12），且它符合一般冪運(yùn)算的性質(zhì)，不再贅述。

\[\mathscr{A}^0=\mathscr{I},\quad \mathscr{A}^m=\mathscr{A}\mathscr{A}^{m-1},\quad \mathscr{A}^{-m}=(\mathscr{A}^{-1})^m\tag{12}\]

　　對(duì)\(n\)維空間\(V\)，線(xiàn)性變換\(\mathscr{A}\)同樣可以對(duì)應(yīng)到\(n\)階方陣\(A\)，且變換可逆與矩陣可逆等價(jià)。前面已經(jīng)看到，線(xiàn)性映射是矩陣的直觀表示，我們同樣可以用線(xiàn)性變換來(lái)研究方陣的性質(zhì)。比如考察序列\(zhòng)(\mathscr{A},\mathscr{A}^2,\mathscr{A}^3,\cdots\)，顯然有\(zhòng)(\mathscr{A}(V)\supseteq\mathscr{A}^2(V)\supseteq\cdots\)，由于秩不可能無(wú)限遞減，故存在\(\mathscr{A}^k(V)=\mathscr{A}^{k+1}(V)\)。一旦出現(xiàn)這種情況，等式會(huì)一直成立下去，從而必定有式（13）成立。

\[\mathscr{A}^n(V)=\mathscr{A}^{n+1}(V)=\cdots,\quad \text{rank}\,A^n=\text{rank}\,A^{n+1}=\cdots\tag{13}\]

　　既然像和原像在同一空間，對(duì)它們選擇相同一組基\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)會(huì)比較方便，這也是線(xiàn)性變換不同于一般線(xiàn)性映射的根本原因。當(dāng)取另一組基\((\alpha'_1,\cdots,\alpha'_n)=P(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)時(shí)，易知線(xiàn)性變換的矩陣變?yōu)閈(PAP^{-1}\)。更一般地，如果矩陣\(A,B\)滿(mǎn)足式（14），則稱(chēng)\(A,B\)是相似矩陣，記作\(A\sim B\)。同樣地，相似矩陣的等價(jià)類(lèi)與\(\text{Hom}(V)\)的元素一一對(duì)應(yīng)。

\[B=PAP^{-1},\quad |P|\ne 0\tag{14}\]

　　下一篇的主要任務(wù)將是研究相似矩陣的不變量和全系不變量，以得到相似標(biāo)準(zhǔn)型及相似矩陣的完全分類(lèi)，這里先做一些準(zhǔn)備工作。

2.2 不變子空間

　　由于線(xiàn)性變換的像和原像在同一空間，它們總是糾纏在一起，不能像線(xiàn)性映射那樣變得簡(jiǎn)單。但我們還是希望將變換盡量分割開(kāi)來(lái)，具體講就是，將\(V\)分解為盡量小的子空間\(V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s\)，且線(xiàn)性變換的像\(\mathscr{A}(V_i)\)還在\(V_i\)中。這樣在對(duì)應(yīng)的基下，變換的矩陣是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣。進(jìn)一步地，如果這樣的分割唯一，我們還能對(duì)矩陣或變換進(jìn)行分類(lèi)。

　　為此我們先簡(jiǎn)單討論一下這樣的子空間\(W\)，如果它滿(mǎn)足\(\mathscr{A}(W)\subseteq W\)，則稱(chēng)之為\(\mathscr{A}\)的不變子空間。顯然\(V\)本身、變換的核\(\text{Ker}\,\mathscr{A}\)、變換的像\(\mathscr{A}(V)\)都是不變子空間。根據(jù)定義還可以證明，不變子空間的和、交都是不變子空間。另外，如果選取\(W\)的一組基并將其擴(kuò)展成\(V\)的基，則顯然變換的矩陣是如下分塊下三角矩陣，其中\(zhòng)(r\)是\(W\)的維度。

\[\begin{bmatrix}X_{r\times r}&0\\Z&Y_{(n-r)\times(n-r)}\end{bmatrix}\tag{15}\]

　　如果在商空間\(V/W\)中定義映射\(\alpha+W\mapsto\mathscr{A}\alpha+W\)，首先由于\(W\)是不變子空間，易知這是一個(gè)良定義。再通過(guò)簡(jiǎn)單的驗(yàn)證可知這個(gè)映射是線(xiàn)性變換，它也被稱(chēng)為\(\mathscr{A}\)在\(V/W\)上的誘導(dǎo)變換。設(shè)\(W\)的基為\(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\)，擴(kuò)展為\(V\)的基為\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)，則可以證明，誘導(dǎo)變換在基\(\alpha_{r+1}+W,\cdots,\alpha_n+W\)下的矩陣正好就是公式（15）中的\(Y\)。

　　其實(shí)\(\mathscr{A}(V),\text{Ker}\,\mathscr{A}\)為不變子空間這一結(jié)論是可以進(jìn)行擴(kuò)展的，這里介紹一個(gè)十分有用的結(jié)論。設(shè)線(xiàn)性變換\(\mathscr{B}\)滿(mǎn)足\(\mathscr{AB}=\mathscr{BA}\)，\(V'\)是\(\mathscr{A}\)的不變子空間，容易驗(yàn)證\(\mathscr{B}^{-1}(V')\)和\(\mathscr{B}(V')\)都是\(\mathscr{A}\)的不變子空間。特別地，如果取\(\mathscr{B}\)為多項(xiàng)式\(f(\mathscr{A})\)，并分別取\(V'\)為\(V\)和\(0\)，則有\(zhòng)(f(\mathscr{A})(V)\)和\(\text{Ker}\,f(\mathscr{A})\)都是\(\mathscr{A}\)的不變子空間。

2.3 循環(huán)子空間

　　有一種不變子空間比較容易想到，那就是從某個(gè)向量\(\alpha\)開(kāi)始“生成”的不變子空間。要使得它是不變子空間，則要求\(\alpha,\mathscr{A}(\alpha),\mathscr{A}^2(\alpha),\cdots\)都屬于這個(gè)空間。在有限空間中，這個(gè)序列遲早會(huì)變得線(xiàn)性相關(guān)，設(shè)在\(\mathscr{A}^m(\alpha)\)處第一次出現(xiàn)線(xiàn)性相關(guān)，則它可以由\(\alpha,\cdots,\mathscr{A}^{m-1}(\alpha)\)線(xiàn)性表出（式（16）），而且顯然后面所有的向量都可以由這前\(m\)個(gè)向量線(xiàn)性表出。

\[\mathscr{A}^m(\alpha)=a_{m-1}\mathscr{A}^{m-1}(\alpha)+\cdots+a_1\mathscr{A}(\alpha)+a_0\alpha\tag{16}\]

　　這\(m\)個(gè)向量的生成子空間被稱(chēng)為由\(\alpha\)生成的循環(huán)子空間，記做\(C_{\alpha}\)（公式（17））。顯然\(C_{\alpha}\)的維數(shù)是\(m\)，且容易證明，它是包含\(\alpha\)的最小不變子空間。取這\(m\)個(gè)向量作為\(C_{\alpha}\)的基，容易驗(yàn)證\(\mathscr{A}|_{C_{\alpha}}\)在這組基下的矩陣為式（18）。

\[C_{\alpha}=\left<\alpha,\,\mathscr{A}(\alpha),\,\cdots,\,\mathscr{A}^{m-1}(\alpha)\right>\tag{17}\]

\[\begin{bmatrix}0&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&0\\a_0&a_1&\cdots&a_{m-1}\end{bmatrix}\tag{18}\]

2.4 特征值和特征向量

　　最簡(jiǎn)單的循環(huán)子空間當(dāng)然就是\(\alpha\)的生成子空間\(\left<\alpha\right>\)，這時(shí)有公式（19）左邊的關(guān)系。將滿(mǎn)足條件的\(\alpha\)稱(chēng)為\(\mathscr{A}\)的特征向量，對(duì)應(yīng)的\(\lambda\)稱(chēng)為特征值。這個(gè)關(guān)系等價(jià)于（19）的右式，要使非零的\(\alpha\)存在，特征矩陣\(\lambda I-A\)的行列式必須為\(0\)。容易證明它的行列式有式（20）的格式，多項(xiàng)式\(\varphi(\lambda)\)稱(chēng)為\(A\)的特征多項(xiàng)式。

\[\mathscr{A}(\alpha)=\lambda\alpha\quad\Leftrightarrow\quad (\lambda\mathscr{I}-\mathscr{A})\alpha=0\tag{19}\]

\[|\lambda I-A|=\varphi(\lambda)=\lambda^n-(a_{11}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|\tag{20}\]

　　• \(A,B\)為復(fù)方陣，求證\(AB,BA\)的特征多項(xiàng)式相同。

　　顯然\(A\)的所有特征值就是\(\varphi(\lambda)=0\)的所有根，根\(\lambda_i\)的重?cái)?shù)稱(chēng)為特征值的代數(shù)重?cái)?shù)。另外容易證明，任意特征值\(\lambda_i\)的所有特征向量組成一個(gè)線(xiàn)性空間，稱(chēng)為特征子空間，記作\(V_{\lambda_i}\)，這個(gè)線(xiàn)性空間的維數(shù)稱(chēng)為特征值的幾何重?cái)?shù)。當(dāng)\(\lambda_i\ne\lambda_j\)時(shí)，考慮\(0\)在\(V_{\lambda_i}+V_{\lambda_j}\)上的分解（式（21）左），設(shè)\(0=\alpha_i+\alpha_j\)，將\(\mathscr{A}\)作用于兩邊得式（21）右，聯(lián)立兩個(gè)等式知\(\alpha_i=\alpha_j=0\)。從而\(V_{\lambda_i}\cap V_{\lambda_j}=0\)，從而可知任意兩個(gè)特征子空間都不相交。

\[0=\alpha_i+\alpha_j;\quad 0=\lambda_i\alpha_i+\lambda_j\alpha_j\tag{21}\]

　　這樣就可以選取各特征子空間的基并將其擴(kuò)展為空間的集，線(xiàn)性變換在這組基下的矩陣具有以下形式，其中\(zhòng)(n_1,\cdots,n_s\)為特征值的幾何重?cái)?shù)。通過(guò)這個(gè)式子可以看到幾何重?cái)?shù)不大于代數(shù)重?cái)?shù)，當(dāng)所有幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)時(shí)，矩陣就成為對(duì)角矩陣，這樣的矩陣也稱(chēng)為可對(duì)角化的。反之也顯然，可對(duì)角化矩陣的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)都相等，它們是等價(jià)的。

\[\begin{bmatrix}\lambda_1 I_{n_1}&\cdots&0&0\\0&\ddots&0&0\\0&\cdots&\lambda_s I_{n_s}&0\\B_1&\cdots&B_{s-1}&B_s\end{bmatrix}\tag{22}\]

　　你可能注意到，特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式在某個(gè)線(xiàn)性變換下都是確定的，故它們是矩陣相似變換下的不變量。但它們并不一定是全系不變量。因?yàn)榧词褂辛颂卣髦�，矩陣�?2）還是不確定的。當(dāng)然矩陣可對(duì)角化時(shí)，特征值完全確定了矩陣，這時(shí)特征值就是矩陣在相似變換下的全系不變量。另外要注意，特征值的個(gè)數(shù)與域\(K\)的選取有關(guān)，我們不妨先在代數(shù)閉域（對(duì)應(yīng)數(shù)域中的復(fù)數(shù)域）中進(jìn)行討論，因?yàn)樵诖鷶?shù)閉域中所有多項(xiàng)式都能分解為一次多項(xiàng)式之積\((\lambda-\lambda_1^{m_1})\cdots(\lambda-\lambda_s^{m_s})\)。

　　在這種假設(shè)下，首先由公式（18）知道所有特征值（包括重根）的積為\((-1)^n|A|\)，而它們的和則為\(a_{11}+\cdots+a_{nn}\)，由于特征值是不變量，所以對(duì)角線(xiàn)之和也是不變量。另外，任何矩陣都有特征值和特征向量，隨便選取一對(duì)便得到相似矩陣\(\begin{bmatrix}\lambda_1&0\\C&B\end{bmatrix}\)。繼續(xù)對(duì)\(B\)進(jìn)行類(lèi)似的處理，就可以得到一個(gè)下三角相似矩陣，而對(duì)角線(xiàn)上正是所有特征值，且每個(gè)特征值的個(gè)數(shù)與其代數(shù)重?cái)?shù)相同。

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