遍歷理論主要研究概率空間在保測變換作用下的性質(zhì).遍歷(ergodic)—詞是由物理學(xué)家Boltzman引入的.在統(tǒng)計力學(xué)中,他提出了著名的"遍歷假設(shè)",即一個系統(tǒng)的時間平均等于空間平均.我們知道一般情況下遍歷假設(shè)是不成立的,現(xiàn)在通常把滿足遍歷假設(shè)的系統(tǒng)稱為遍歷系統(tǒng).遍歷理論起始于PoincarS回復(fù)定理,Birkhoff逐點遍歷定理和VonNeumann平均遍歷定理.進一步發(fā)展則是在上個世紀(jì)尤十年代Furstenberg和Zimmer分別得到了遍歷系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)定理.現(xiàn)在遍歷理論己經(jīng)成為一個具有旺盛生命力的研究領(lǐng)域,并且在其它學(xué)科研究中有著廣泛的應(yīng)用.拓撲動力系統(tǒng)和遍歷理論是兩個不同的分支,這兩妾理論的技巧方法大多沒有之處,但兩者之間又同時有著非常驚人的平行性.一方面,動力系統(tǒng)上一定存在不變概率測度,從而可看作是一個保測動力系統(tǒng);另一方面,任意遍歷系統(tǒng)都一個模型.它們之間還有很多照應(yīng)的概念,如極小與遍歷性,等度連續(xù)與離散譜,拓撲楠與測度巧等.這一切使得我們可把巧歷理論作為研究拓撲動力系統(tǒng)的一個重要工具

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第二章預(yù)備知識

2.1動力系統(tǒng)基礎(chǔ)

文獻[98,53]指出二分定理對平均情形也成立,即,對任何傳遞系統(tǒng),它要么是平均敏感的(或Banach平均敏感的),要么是幾乎平均等度連續(xù)的(或幾乎Banach平均等度連續(xù)的);對任何極小系統(tǒng),它要么是平均敏感的(或Banach平均敏感的),要么是平均等度連續(xù)的(或Banach平均等度連續(xù)的).自然地,Tu在文[131]中提出:對任何系統(tǒng),極小倩形的平均二分性是否仍然成立?遺憾地是答案是否定的.事實上,定理中選取的系統(tǒng)即為合適的反例.但是我們注意到,如果加強系統(tǒng)為強傳遞系統(tǒng),極小情形的平均二分性定理則是成立的.這里稱一個動力系統(tǒng)化r)是強傳遞的是指對任意非空開集,存在一個傳遞點有正下密忠

2.2Furstenberg族和Ellis半群

局部化等度連續(xù)性的概念我們不難得到等度連續(xù)點和幾乎等度連續(xù)系統(tǒng)的定義.眾所周知,對任意極小系統(tǒng),它要么是初值敏感的,要么是等度連續(xù)的對任意傳遞系統(tǒng),它要么是初值敏感的,要么是幾乎等度連續(xù)的[4].Glasner和以及Huang和Ye[72]分別說明當(dāng)極小系統(tǒng)弱化到任意E系統(tǒng)時,對應(yīng)的二分定理仍然成立.Li等人[98]和Garda-Ramos[53]分別指出上述平均形式的敏感與等度連續(xù)性質(zhì),對傳遞和極小系統(tǒng)同樣滿足類似的二分定理.在文中自然地提出:如果把極小系統(tǒng)弱化到任意系統(tǒng),相應(yīng)的平均形式二分定理是否仍然成立?這一章我們將否定地回答這個問題.除此之外,這一章中我們還將研究平均敏感性與余有限敏感敏感性以及其他常見之間的關(guān)系?

第三章有限和可數(shù)可擴動力系統(tǒng)及其應(yīng)用..........33

3.1定義和基本性質(zhì)..........34
3.2正向有限和可數(shù)可擴動力系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)..........38
第四章初值敏感系統(tǒng)的平均形式..........53
4.1平均敏感性與余有限敏感性的關(guān)系..........53
4.2平均敏感性與混沖性質(zhì)的關(guān)系..........57
第五章超空間上的回復(fù)及敏感性質(zhì)..........71
5.1基本概念及性質(zhì)..........72
5.2逐點回復(fù)情形............73

第五章超空間上的回復(fù)及敏感性質(zhì)

5.1基本概念及性質(zhì)

例如,1975年,Bauer和Sigmund[20]第一次系統(tǒng)地研究了超空間動力系統(tǒng)與其底空間動力系統(tǒng)之間關(guān)于傳遞性,混合性,可擴性,拓撲擱等諸多動力學(xué)性質(zhì)的聯(lián)系.特別地,他們指出超空間上的傳遞性可遺傳到底空間,反之不然;各種混合性質(zhì)(如弱混合,mild混合,強混合等)及等度連續(xù)性質(zhì)在底空間與超空間上等價;底空間有正拓撲楠蘊含超空間有無窮拓撲煽.Glasner和eiss[58]構(gòu)造了一個極小零俯系統(tǒng)但超空間拓撲為正的例子.Banks[18]觀察到在超空間上傳遞性與弱混合性等價.Garda-Guirao等人[52]系統(tǒng)地討論了底空間與超空間各種混沖性質(zhì)么間的關(guān)系.最近Li[96]給出了超空間是Devaney混淹的等價刻畫.不熟悉超空間的讀者可參考著作[78,115].

5.2逐點回復(fù)情形

本章我們繼續(xù)研究超空間與底空間之間的關(guān)系,并重點關(guān)注超空間上的一些回復(fù)及敏感性質(zhì).表5.1概括了超空間滿足一些回復(fù)性質(zhì)的等價刻畫.特別地,我們找到了最后一個等價刻畫在不交性問題上的應(yīng)用,指出具有稠密distal集的弱泥合系統(tǒng)是不交于所有極小系統(tǒng)的.這部分回答了沃爾夫stenberg的不交性問題,是這方面研究的最優(yōu)結(jié)果.
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第六章概率測度繡導(dǎo)空間上的回復(fù)及敏感性質(zhì)

對于一個動力系統(tǒng)(x.r),我們一般關(guān)注由它自然誘導(dǎo)的兩類相對重要的動力系統(tǒng):一類是第五章研究的超空間誘導(dǎo)系統(tǒng),還有一類就是概率測度誘導(dǎo)系統(tǒng),其中是狀態(tài)空間X上概率測度的全體,為由7誘導(dǎo)的的連續(xù)變換.類似地,我們關(guān)于概率測度誘導(dǎo)系統(tǒng)與底空間動力系統(tǒng)之間動力學(xué)性質(zhì)有何關(guān)系?以及如何刻畫率測度空間滿足一些特殊的動力學(xué)性質(zhì)?關(guān)于概率測度誘導(dǎo)系統(tǒng)的研究有很多非常深刻且有意思的結(jié)果.例如 ,Bauer和Sigmund[20]第一次系統(tǒng)地研究了概率測度誘導(dǎo)空間與其底空間之間關(guān)于傳遞性,混合性,可擴性,拓撲等諸多動力學(xué)性質(zhì)的聯(lián)系.特別地,他們指出M(X)上的傳遞性可遺傳到底空間X中,反之不然;各種混合性質(zhì)(如弱混合,mild混合,強混合等)在X與Af(X)上相互等價;及X有正拓撲摘蘊含AfpO有無窮拓撲瓶Glasner和以eiss進一步證明X是零俯系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)是零煽系統(tǒng).Ken?和Li[82,83]指出對null系統(tǒng)和tame系統(tǒng)也有類似的.結(jié)論.Shao[126}觀察到在M(X)上傳遞性與弱混合性質(zhì)等價.不熟悉概率測度誘導(dǎo)空間的讀者可參考著作[34,119]。

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參考文獻（略）

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本文編號：153548