協(xié)方差矩陣作為多元統(tǒng)計(jì)分析中一個(gè)不可或缺的統(tǒng)計(jì)參數(shù),在經(jīng)典多元統(tǒng)計(jì)分析中扮演著重要角色,如何得到一個(gè)準(zhǔn)確的協(xié)方差矩陣估計(jì)是多元統(tǒng)計(jì)分析中的一個(gè)基本問(wèn)題。另一方面協(xié)方差矩陣應(yīng)用也十分廣泛,在各個(gè)領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)分析工作中均會(huì)涉及,尤其是在金融資產(chǎn)投資領(lǐng)域,協(xié)方差矩陣刻畫多變量相關(guān)性及波動(dòng)程度的功能,正是衡量多維金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的有力工具,以均值-方差投資組合模型為代表的一系列數(shù)量化投資理論的出現(xiàn),更是提高了協(xié)方差矩陣在金融投資領(lǐng)域的角色地位。大數(shù)據(jù)時(shí)代悄然而至,現(xiàn)階段統(tǒng)計(jì)分析工作面臨數(shù)據(jù)的變量維度、樣本規(guī)模較之前更高、更大,協(xié)方差矩陣作為多元統(tǒng)計(jì)分析中的重要統(tǒng)計(jì)量,其估計(jì)問(wèn)題在高維背景下遇到了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。當(dāng)變量維度p或變量維度與樣本規(guī)模的比值p/n顯著增加時(shí),基于樣本數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)協(xié)方差矩陣構(gòu)建方法將變得不可信賴,待估參數(shù)數(shù)目上升、估計(jì)誤差累積、矩陣奇異無(wú)法求逆等一系列問(wèn)題將會(huì)對(duì)多變量統(tǒng)計(jì)分析工作帶來(lái)新的困擾。在高維協(xié)方差矩陣應(yīng)用領(lǐng)域,相關(guān)問(wèn)題也隨之而來(lái),例如對(duì)于均值-方差投資組合模型的應(yīng)用,由于作為輸入變量之一的高維協(xié)方差矩陣可能存在奇異性,這將會(huì)導(dǎo)致高維投資組合模型構(gòu)建無(wú)法順利進(jìn)行,此外協(xié)方差矩陣... 

【文章來(lái)源】：中央財(cái)經(jīng)大學(xué)北京市 211工程院校 教育部直屬院校

【文章頁(yè)數(shù)】：132 頁(yè)

【學(xué)位級(jí)別】：博士

【部分圖文】：

技術(shù)路線圖

26資者在長(zhǎng)期持有固定權(quán)重投資組合來(lái)降低交易費(fèi)用和根據(jù)信息及時(shí)調(diào)整投資組合但付出交易費(fèi)用之間，更傾向于選擇后者（Fleming，2003），因此利用動(dòng)態(tài)高維協(xié)方差矩陣來(lái)構(gòu)建動(dòng)態(tài)投資組合具有十分重大的應(yīng)用意義。圖2.1研究框架圖本節(jié)基于文獻(xiàn)綜述，梳理了高維協(xié)方差矩陣研究及投資組合領(lǐng)域相關(guān)文獻(xiàn)，詳細(xì)研究框架見圖2.1。在此研究框架內(nèi)，本文從穩(wěn)健估計(jì)及高維已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣建模這兩個(gè)方向作為切入點(diǎn)開展相關(guān)研究，共計(jì)三項(xiàng)研究?jī)?nèi)容，均是在已有方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行模型改進(jìn)，具體研究出發(fā)點(diǎn)為：1、Avella-Medinaetal.（2018）提出的均值-中位數(shù)穩(wěn)健估計(jì)，利用子樣本分組的方法，將中位數(shù)估計(jì)的思想拓展至高維協(xié)方差矩陣的估計(jì)過(guò)程中，同時(shí)通過(guò)證明估計(jì)誤差極大范數(shù)的收斂性，保證了該方法的大樣本可用性。然而該方法沒有在結(jié)構(gòu)上保證估計(jì)矩陣的正定性，在實(shí)際應(yīng)用中不可靠，且得到的估計(jì)也不是稀疏的，因而其應(yīng)用價(jià)值大大折扣。本文第一項(xiàng)研究對(duì)Avella-Medinaetal.（2018）提出的方法進(jìn)行改進(jìn)，在原始方法的基礎(chǔ)上，引入中心正則算法，對(duì)矩陣非對(duì)角線元素利用L1懲罰進(jìn)行稀疏化，在計(jì)算求解的過(guò)程中同時(shí)施加約束來(lái)保證所得矩陣的正定性。在得到高維協(xié)方差矩陣的穩(wěn)健估計(jì)后，將其拓展應(yīng)用至實(shí)際投資組合模型構(gòu)建中，綜合分析評(píng)價(jià)投資組合的績(jī)效表現(xiàn)。

29圖3.1數(shù)值模擬特征值分布情況設(shè)50I為50維單位矩陣，分別多元正態(tài)分布從50N(0,)、自由度為1的多元T分布50T(0,,1)中產(chǎn)生規(guī)模為n25,50,1000的樣本觀測(cè)，利用樣本協(xié)方差矩陣估計(jì)方法進(jìn)行總體協(xié)方差矩陣估計(jì)，對(duì)得到的估計(jì)量進(jìn)行特征值分解，從大到小排序后其特征值情況見圖3.1。總體樣本協(xié)方差矩陣的50個(gè)特征值均為1，圖3.1左圖為多元正態(tài)分布下樣本協(xié)方差矩陣特征值情況，可以看出當(dāng)樣本規(guī)模小于變量維度時(shí)，樣本協(xié)方差矩陣特征值具有發(fā)散情況，隨著樣本量的增加情況逐漸好轉(zhuǎn)；右圖為多元T分布下樣本協(xié)方差矩陣特征值情況，樣本規(guī)模的增加對(duì)特征值情況并無(wú)實(shí)際改善。對(duì)于樣本協(xié)方差矩陣特征值描述統(tǒng)計(jì)見表3.1。表3.1樣本協(xié)方差矩陣特征值描述統(tǒng)計(jì)表最大值最小值標(biāo)準(zhǔn)差50N(0,)n255.84-1.21E-151.57n504.14-1.53E-161.06n10001.490.610.2350T(0,,1)n251622.09-2.05E-13231.13n505259.36-2.20E-14783.81n10001509420.847.53213377.15描述統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，樣本協(xié)方差矩陣特征值不僅出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象，而且最小特征值為負(fù)值，導(dǎo)致所估計(jì)的協(xié)方差矩陣不是正定矩陣，無(wú)法求解其逆矩陣。在高維背景下，變量維度大于樣本數(shù)目，樣本協(xié)方差矩陣估計(jì)面臨挑戰(zhàn)。例如在

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
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[5]GARCH（1,1）模型的穩(wěn)健估計(jì)比較及應(yīng)用[J]. 宋鵬,胡永宏,朱穎穎.  數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí). 2017(08)
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