本文關(guān)鍵詞：隨機(jī)有限元方程的解法與誤差及隨機(jī)介質(zhì)的形態(tài)描述研究

  更多相關(guān)文章： 有限元 隨機(jī)有限元 廣義Neumann展開(kāi)法 先驗(yàn)誤差估計(jì) 形態(tài)函數(shù)

【摘要】：隨機(jī)有限元法(SFEM)是不確定性定量化的一種重要工具,目前主要研究?jī)?nèi)容包括隨機(jī)介質(zhì)建模和方程求解兩部分。隨機(jī)介質(zhì)建模方面,形態(tài)函數(shù)(線性路徑函數(shù)和兩點(diǎn)簇函數(shù))的引入可以顯著改善重構(gòu)樣本的精度,但是形態(tài)函數(shù)對(duì)微結(jié)構(gòu)的區(qū)分程度尚缺乏理論依據(jù)。SFEM方程解法方面,目前還缺少計(jì)算效率高、兼具收斂判據(jù)和誤差估計(jì)的解法。本文針對(duì)SFEM中的這兩大問(wèn)題,意圖發(fā)展出高效、準(zhǔn)確的解法,建立形態(tài)函數(shù)的理論表達(dá)式。論文的主要工作包括:一、提出了一種基于Neumann展開(kāi)的精度可控、高效的SFEM方程解法——廣義Neumann展開(kāi)(GNE)法。GNE解法的計(jì)算效率高、與攝動(dòng)法相當(dāng),具備充要的后驗(yàn)收斂判據(jù)、充分非必要的先驗(yàn)收斂判據(jù),以及后驗(yàn)誤差估計(jì)。得到了高斯隨機(jī)變量情況下前三階解答的期望與協(xié)方差的直接計(jì)算式,分析了GNE解法的計(jì)算量與存儲(chǔ)量,給出了當(dāng)前可能求解的問(wèn)題規(guī)模。研究表明,對(duì)于確定性載荷線性SFEM方程,GNE、攝動(dòng)法和Neumann展開(kāi)法三者在數(shù)學(xué)上等價(jià);對(duì)于一般的SFEM方程,GNE與Neumann展開(kāi)等價(jià),兩者與攝動(dòng)法不等價(jià)。GNE法兼具攝動(dòng)法和Neumann展開(kāi)法的優(yōu)點(diǎn),在很大程度上克服了兩者的缺點(diǎn)。二、建立了SFEM方程攝動(dòng)類解法(GNE、Neumann展開(kāi)、攝動(dòng)法)的先驗(yàn)誤差估計(jì)體系。定義了一種新的相容的向量范數(shù)和矩陣范數(shù),提出了關(guān)于矩陣之和以及隨機(jī)矩陣的特征值的兩個(gè)數(shù)學(xué)定理與五個(gè)數(shù)學(xué)推論,提出了隨機(jī)迭代矩陣譜半徑定理和隨機(jī)剛度矩陣譜半徑定理,進(jìn)而建立了五個(gè)先驗(yàn)誤差估計(jì)式,解決了彈性模量為隨機(jī)場(chǎng)時(shí)SFEM方程攝動(dòng)類解法的先驗(yàn)誤差估計(jì)問(wèn)題。誤差估計(jì)式可先驗(yàn)地估計(jì)各階展開(kāi)的解向量、解向量期望與協(xié)方差的誤差上限,也可以根據(jù)精度需求判斷所需的展開(kāi)階數(shù)。研究表明,非均勻材料均勻化引起的解向量的相對(duì)誤差不大于彈性模量的最大擾動(dòng)幅值;三階展開(kāi)對(duì)于變化幅度達(dá)50%的彈性模量隨機(jī)場(chǎng),解向量的相對(duì)誤差不超過(guò)6.25%。三、給出了凸形顆粒形態(tài)函數(shù)的一般計(jì)算方法,得到了正三角形、正四邊形、正六邊形、圓形、球形顆粒的不同尺寸分布、不同取向分布時(shí)的線性路徑函數(shù)和兩點(diǎn)簇函數(shù)的理論表達(dá)式,為隨機(jī)介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)重構(gòu)提供了理論參考。提出了一種針對(duì)周期性材料樣本的線性路徑函數(shù)的數(shù)值提取算法,可以同時(shí)無(wú)偏、高效地提取顆粒和母材在任意方向上的線性路徑函數(shù)。
【關(guān)鍵詞】：有限元 隨機(jī)有限元 廣義Neumann展開(kāi)法 先驗(yàn)誤差估計(jì) 形態(tài)函數(shù)
【學(xué)位授予單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要3-4
• Abstract4-9
• 主要符號(hào)對(duì)照表9-10
• 第1章 緒論10-22
• 1.1 研究背景及意義10-11
• 1.2 隨機(jī)有限元法（SFEM）簡(jiǎn)介11-12
• 1.3 隨機(jī)介質(zhì)建模研究現(xiàn)狀12-18
• 1.3.1 高斯場(chǎng)建模方法12-14
• 1.3.2 非高斯場(chǎng)建模方法14-16
• 1.3.3 重要概率分布函數(shù)16-18
• 1.4 隨機(jī)有限元方程解法研究現(xiàn)狀18-20
• 1.5 本文主要內(nèi)容20-22
• 第2章 隨機(jī)場(chǎng)的基本理論22-30
• 2.1 概率論22-23
• 2.1.1 隨機(jī)收斂22
• 2.1.2 極限定理22-23
• 2.2 隨機(jī)場(chǎng)23-30
• 2.2.1 二階隨機(jī)場(chǎng)23-24
• 2.2.2 平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)24-25
• 2.2.3 高斯隨機(jī)場(chǎng)25
• 2.2.4 Mercer定理25-26
• 2.2.5 Fourier-Karhunen-Lo`eve（FKL）展開(kāi)26-30
• 第3章 隨機(jī)有限元方程的廣義Neumann展開(kāi)解法30-63
• 3.1 引言30-31
• 3.2 廣義Neumann展開(kāi)法31-43
• 3.2.1 基本形式31-33
• 3.2.2 收斂判據(jù)與誤差分析33-35
• 3.2.3 攝動(dòng)類解法的對(duì)比35-38
• 3.2.4 解向量的期望與協(xié)方差38-43
• 3.3 數(shù)值算例43-52
• 3.3.1 問(wèn)題描述44
• 3.3.2 解向量相對(duì)誤差的影響因素44-52
• 3.4 計(jì)算效率分析52-61
• 3.4.1 算例分析52-57
• 3.4.2 理論分析57-61
• 3.5 本章小結(jié)61-63
• 第4章 隨機(jī)有限元方程攝動(dòng)類解法的誤差估計(jì)63-91
• 4.1 引言63-64
• 4.2 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)64-66
• 4.3 數(shù)學(xué)定理與推論66-71
• 4.3.1 基本定理66-67
• 4.3.2 定理與推論67-71
• 4.4 隨機(jī)矩陣譜半徑定理71-77
• 4.4.1 隨機(jī)迭代矩陣譜半徑定理72-76
• 4.4.2 隨機(jī)剛度矩陣譜半徑定理76-77
• 4.5 先驗(yàn)誤差估計(jì)77-82
• 4.5.1 先驗(yàn)誤差估計(jì)式77-78
• 4.5.2 誤差估計(jì)式的證明78-81
• 4.5.3 誤差估計(jì)式的應(yīng)用81-82
• 4.6 數(shù)值算例82-89
• 4.6.1 桿的單向拉伸82-84
• 4.6.2 桁架結(jié)構(gòu)84-85
• 4.6.3 平面應(yīng)力問(wèn)題85-87
• 4.6.4 三維懸臂梁87-89
• 4.7 本章小結(jié)89-91
• 第5章 隨機(jī)介質(zhì)形態(tài)描述關(guān)鍵函數(shù)的理論表達(dá)式與數(shù)值提取算法91-116
• 5.1 引言91-92
• 5.2 顆粒線性路徑函數(shù)與兩點(diǎn)簇函數(shù)的理論表達(dá)式92-105
• 5.2.1 計(jì)算原理92-95
• 5.2.2 顆粒的線性路徑函數(shù)與兩點(diǎn)簇函數(shù)95-105
• 5.3 周期邊界樣本線性路徑函數(shù)的數(shù)值提取算法105-108
• 5.3.1 水平方向的提取算法105-107
• 5.3.2 一般方向的提取算法107-108
• 5.4 理論表達(dá)式與提取算法的驗(yàn)證108-111
• 5.4.1 數(shù)值提取算法108-110
• 5.4.2 解析表達(dá)式110-111
• 5.5 理論表達(dá)式的應(yīng)用111-114
• 5.6 本章小結(jié)114-116
• 第6章 總結(jié)與展望116-119
• 6.1 總結(jié)116-118
• 6.2 展望118-119
• 參考文獻(xiàn)119-128
• 致謝128-130
• 個(gè)人簡(jiǎn)歷、在學(xué)期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與研究成果130-131

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