本文關(guān)鍵詞：圖多項(xiàng)式若干問(wèn)題研究

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【摘要】：本文主要由五章構(gòu)成。在本文的前半部分,我們主要研究了自相似復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的Tutte多項(xiàng)式的計(jì)算。在本文的后半部分,我們研究由子圖分支多項(xiàng)式確定的圖不變量,由子圖分支多項(xiàng)式確定的圖以及子圖分支多項(xiàng)式的區(qū)分度。在第一章,我們對(duì)圖多項(xiàng)式研究現(xiàn)狀和我們的研究動(dòng)機(jī)進(jìn)行了總述。在第二章,我們介紹了圖論的一些基本知識(shí),這些知識(shí)都是敘述我們工作的必要準(zhǔn)備。在第三章,我們主要研究Tutte多項(xiàng)式的計(jì)算。(1).在文獻(xiàn)[23]中,F. Comellas等人提出了一類(lèi)自相似無(wú)聚類(lèi)的小世界網(wǎng)絡(luò)模型Mn,并在文獻(xiàn)[24]中研究了這一類(lèi)網(wǎng)絡(luò)模型的生成樹(shù)數(shù)。我們利用生成子圖分類(lèi)的辦法,研究了Mn的Tutte多項(xiàng)式,得到了T(Mn;x,y)的一個(gè)遞歸表達(dá)式。利用這個(gè)遞歸表達(dá)式,我們解得圖Mn的流多項(xiàng)式,色多項(xiàng)式,生成樹(shù)數(shù),強(qiáng)連通定向數(shù),無(wú)圈定向數(shù)等圖不變量的具體表達(dá)式。(2).在文獻(xiàn)[82]中,章忠志等人首次將Farey圖作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)研究,并在文獻(xiàn)[83]中利用矩陣樹(shù)定理計(jì)算了Farey圖的生成樹(shù)數(shù)。我們利用Farey圖Gn自相似的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),得到了T(Gn;x,y)的一個(gè)遞歸表達(dá)式。在這個(gè)基礎(chǔ)上,我們還研究了甌的色多項(xiàng)式和可靠性多項(xiàng)式,并得到了Tutte多項(xiàng)式在某些特殊點(diǎn)(x,y)的值。(3).在文獻(xiàn)[81,84]中,章忠志和張靜遠(yuǎn)等人利用不同的方法分別計(jì)算了Apollonian網(wǎng)絡(luò)的生成樹(shù)數(shù)。我們沒(méi)有直接計(jì)算Apollonian網(wǎng)絡(luò)的Tutte多項(xiàng)式,而是研究其對(duì)偶圖。利用Apollonian對(duì)偶圖與Hanoi圖的結(jié)構(gòu)聯(lián)系,我們得到了Apollonian對(duì)偶圖的Tutte多項(xiàng)式的一個(gè)遞歸表達(dá)式。(4).我們發(fā)現(xiàn),大部分確定性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型都是通過(guò)模塊組合得到的,而常見(jiàn)的模塊組合方法就是粘合兩個(gè)模塊之間的頂點(diǎn)。于是,我們研究了兩點(diǎn)連圖G：H的Tutte多項(xiàng)式。研究發(fā)現(xiàn),組合后的模塊的Tutte多項(xiàng)式T(G:H;x,y)能由各個(gè)子模塊的Tutte多項(xiàng)式表示。利用這個(gè)表示式,我們計(jì)算了擬分形無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)和廣義(2,2)-花圖的生成樹(shù)數(shù),還得到了鏈環(huán)的Tutte多項(xiàng)式的一個(gè)遞歸表達(dá)式和書(shū)圖的Tutte多項(xiàng)式的一個(gè)具體表達(dá)式。在第四章,我們研究子圖分支多項(xiàng)式Q(G;x,y),這個(gè)雙變量多項(xiàng)式是由Tittmann等人[75]在研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)時(shí)提出的。與雙變量的Tutte多項(xiàng)式類(lèi)似,子圖分支多項(xiàng)式也包含了圖的很多信息,例如圖頂點(diǎn)數(shù),邊數(shù),連通分支數(shù)和獨(dú)立數(shù)等。我們發(fā)現(xiàn),還有其它的一些圖不變量能由子圖分支多項(xiàng)式確定,例如圖的頂點(diǎn)連通度。在一些特殊的圖類(lèi)中,例如正則二部圖中,長(zhǎng)為4的圈數(shù)等也能由子圖分支多項(xiàng)式確定。利用子圖分支多項(xiàng)式的這一性質(zhì),我們發(fā)現(xiàn)一些特殊的圖類(lèi)能由子圖分支多項(xiàng)式確定,例如完全二部圖,輪圖,友誼圖,書(shū)圖,超方體等。最后,我們還比較了子圖分支多項(xiàng)式與一些其它的多項(xiàng)式的區(qū)分度,發(fā)現(xiàn)子圖分支多項(xiàng)式與其他多項(xiàng)式在區(qū)分度上沒(méi)有明顯的關(guān)聯(lián)。我們的這些結(jié)果,部分回答了Tittmann[75]等人提出的三個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。在第五章,我們總結(jié)了本文的主要工作,提出了許多需要進(jìn)一步展開(kāi)研究的問(wèn)題。
【關(guān)鍵詞】：圖多項(xiàng)式 Tutte多項(xiàng)式 子圖分支多項(xiàng)式 確定性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型 生成樹(shù)
【學(xué)位授予單位】：湖南師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類(lèi)號(hào)】：O157.5
【目錄】：

• 中文摘要3-5
• 英文摘要5-9
• 1. 緒論9-13
• 1.1 圖多項(xiàng)式的發(fā)展及現(xiàn)狀9-12
• 1.2 研究背景及意義12-13
• 2 預(yù)備知識(shí)13-22
• 2.1 基本概念和術(shù)語(yǔ)13-15
• 2.2 圖運(yùn)算和一些特殊圖類(lèi)15-19
• 2.3 一些圖多項(xiàng)式19-22
• 3. 幾類(lèi)網(wǎng)絡(luò)圖的Tutte多項(xiàng)式22-61
• 3.1 Tutte多項(xiàng)式的定義及基本性質(zhì)22-25
• 3.2 一類(lèi)自相似圖的Tutte多項(xiàng)式25-34
• 3.3 Farey圖的Tutte多項(xiàng)式34-41
• 3.4 Apollonian圖的Tutte多項(xiàng)式41-49
• 3.5 兩點(diǎn)連圖的Tutte多項(xiàng)式49-61
• 4. 子圖分支多項(xiàng)式61-75
• 4.1 子圖分支多項(xiàng)式的定義及基本性質(zhì)61-63
• 4.2 由子圖分支多項(xiàng)式確定的圖不變量63-67
• 4.3 由子圖分支多項(xiàng)式確定的圖類(lèi)67-72
• 4.4 子圖分支多項(xiàng)式的區(qū)分度72-75
• 5. 結(jié)束語(yǔ)75-77
• 參考文獻(xiàn)77-83
• 碩博連讀期間發(fā)表的論文83-84
• 致謝84-85

【相似文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：909205