本文關(guān)鍵詞：反應(yīng)擴(kuò)散方程組的漸近行為及其隨機(jī)擾動(dòng)

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【摘要】：反應(yīng)擴(kuò)散模型已經(jīng)普遍應(yīng)用在化學(xué)反應(yīng),細(xì)胞演化過(guò)程,藥物釋放,生態(tài)發(fā)展,疾病傳播,污染物質(zhì)在環(huán)境中的傳輸?shù)缺姸囝I(lǐng)域,不僅為這些領(lǐng)域的科學(xué)發(fā)展提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具,而且推動(dòng)了偏微分方程理論本身的巨大進(jìn)步.本博士學(xué)位論文以具有實(shí)際背景的反應(yīng)擴(kuò)散方程組為基本研究對(duì)象,從多個(gè)方面來(lái)刻畫反應(yīng)擴(kuò)散方程組的漸近性質(zhì)及其隨機(jī)擾動(dòng)特性.論文主要包括以下幾個(gè)方面的工作. 在第一章中,我們簡(jiǎn)要介紹了反應(yīng)擴(kuò)散方程組的實(shí)際背景,數(shù)學(xué)模型和研究現(xiàn)狀. 在第二章中,我們討論一類競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散方程組連接一個(gè)非共存狀態(tài)和共存狀態(tài)之間的單調(diào)行波解的穩(wěn)定性.分別基于弱競(jìng)爭(zhēng)條件和強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)條件下反應(yīng)擴(kuò)散方程組常數(shù)定常解的局部線性穩(wěn)定性特性,我們改變文獻(xiàn)中使用二階線性方程組的格林函數(shù)來(lái)描述線性化算子的辦法,直接利用具有四個(gè)變量的一階線性方程組建立一種新的方法來(lái)構(gòu)造線性化算子的預(yù)解算子的漸近表示,然后利用解的對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)分量的漸近表示來(lái)刻畫線性化算子在加權(quán)函數(shù)空間Bω,k(R,R2)中的譜分布,最后得到反應(yīng)擴(kuò)散方程組單調(diào)行波解的穩(wěn)定性. 在第三章中,我們考慮一類具有Holling-Tanner型反應(yīng)函數(shù)的交叉擴(kuò)散捕食-食餌方程組.將現(xiàn)有文獻(xiàn)中部分交叉擴(kuò)散系數(shù)情形d3=0,d40推廣到完全交叉擴(kuò)散情形d30, d40.利用極大值原理,先驗(yàn)估計(jì)和拓?fù)涠壤碚摰冉?jīng)典方法,在齊次Neumann邊界條件下,我們給出了對(duì)應(yīng)定常交叉擴(kuò)散捕食-食餌方程組的常數(shù)和非常數(shù)正解存在的充分條件. 在第四章中,我們討論了一類分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程組正溫和解的爆破性.分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子所具有的非局部特征使得分?jǐn)?shù)反應(yīng)擴(kuò)散方程已經(jīng)大量應(yīng)用于分子生物學(xué),流體動(dòng)力學(xué),統(tǒng)計(jì)物理,經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域.不同于Perez和Villa等人的方法,我們的重點(diǎn)在于發(fā)掘定義于全空間RN上的分?jǐn)?shù)階熱算子(?)t+(-△)β/2基本解的性質(zhì),充分利用H.Yosida所建立的基本解的分析性質(zhì)和L. Caffarelli及A. Figalli給出的基本解的相關(guān)估計(jì),我們首先建立初值問(wèn)題正溫和解的下界估計(jì),然后證明解在大時(shí)間時(shí)的無(wú)界性,最后得到正溫和解在有限時(shí)刻爆破的充分條件. 在第五章中,我們研究了反應(yīng)擴(kuò)散波的零均值白噪聲擾動(dòng)行為.對(duì)經(jīng)典Nagumo方程連接兩個(gè)穩(wěn)定定常狀態(tài)的波前解,利用定義于整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的熱核,我們分析了在兩個(gè)漸近邊界處零均值白噪聲的隨機(jī)擾動(dòng)行為.由于零均值白噪聲的擾動(dòng),當(dāng)t→+∞時(shí),Nagumo方程ut=uxx+u(u-a)(1-u)的波前解在上穩(wěn)定定常狀態(tài)處擾動(dòng)均值是減少的,而在下穩(wěn)定定常狀態(tài)處擾動(dòng)均值是增加的. 在第六章中,我們研究了反應(yīng)擴(kuò)散波的非零均值白噪聲擾動(dòng)行為.首先,我們利用熱核給出Nagumo方程波前解在兩個(gè)漸近邊界處非零均值白噪聲的隨機(jī)擾動(dòng)行為.其次,對(duì)具有雙參變量非零均值白噪聲α+βWxt。隨機(jī)擾動(dòng)下的波前解的隨機(jī)性質(zhì)給出了描述.最后,我們揭示當(dāng)t→+∞時(shí),零均值白噪聲Wxt。和非零均值白噪聲α+βWxt對(duì)標(biāo)量Nagumo方程連接兩個(gè)穩(wěn)定定常狀態(tài)的波前解在上(下)穩(wěn)定狀態(tài)處的擾動(dòng)影響是不同的.
【關(guān)鍵詞】：反應(yīng)擴(kuò)散方程 波前解 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子 爆破解 隨機(jī)擾動(dòng) 白噪聲
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175
【目錄】：

• 摘要4-6
• Abstract6-10
• 1 緒論10-16
• 1.1 反應(yīng)擴(kuò)散方程10-11
• 1.2 分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程11-12
• 1.3 隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程12-13
• 1.4 本文的工作安排13-16
• 2 反應(yīng)擴(kuò)散方程組行波解的穩(wěn)定性16-49
• 2.1 反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解簡(jiǎn)介16-23
• 2.2 預(yù)解算子(λ-L)~(-1)的構(gòu)造23-35
• 2.3 弱競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)行波解的穩(wěn)定性35-46
• 2.4 強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)行波解的穩(wěn)定性46-49
• 3 交叉擴(kuò)散捕食-食餌方程組非常數(shù)正解的存在性49-61
• 3.1 交叉擴(kuò)散與斑圖形成模型簡(jiǎn)介49-50
• 3.2 先驗(yàn)估計(jì)50-53
• 3.3 非常數(shù)正解的存在性53-61
• 4 分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程組正溫和解的爆破性61-78
• 4.1 分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程引論61-66
• 4.2 分?jǐn)?shù)階熱核的基本性質(zhì)66-68
• 4.3 正溫和解的爆破性68-78
• 5 反應(yīng)擴(kuò)散波的零均值白噪聲擾動(dòng)78-88
• 5.1 反應(yīng)擴(kuò)散波引論78-82
• 5.2 定常狀態(tài)處的隨機(jī)擾動(dòng)82-84
• 5.3 穩(wěn)定定常狀態(tài)處的漸近隨機(jī)擾動(dòng)84-86
• 5.4 不穩(wěn)定定常狀態(tài)處的漸近隨機(jī)擾動(dòng)86-88
• 6 反應(yīng)擴(kuò)散波的非零均值白噪聲擾動(dòng)88-100
• 6.1 反應(yīng)擴(kuò)散波與高斯隨機(jī)場(chǎng)88-89
• 6.2 定常狀態(tài)處的非零均值白噪聲擾動(dòng)89-92
• 6.3 穩(wěn)定定常狀態(tài)處的正均值白噪聲擾動(dòng)92-98
• 6.4 穩(wěn)定定常狀態(tài)處的負(fù)均值白噪聲擾動(dòng)98-100
• 7 總結(jié)和展望100-102
• 致謝102-103
• 參考文獻(xiàn)103-111
• 附錄1 攻讀博士學(xué)位期間完成的論文111-112
• 附錄2 攻讀博士學(xué)位期間參與的科研項(xiàng)目112

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