本文關(guān)鍵詞：Nakayama代數(shù)的分解箭圖與奇點范疇

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【摘要】：本博士論文研究Nakayama代數(shù)的同調(diào)性質(zhì)。具體來說,我們研究了Nakayama代數(shù)的分解箭圖、Nakayama代數(shù)的奇點范疇、Nakayama代數(shù)的Gorenstein同調(diào)性質(zhì)以及Nakayama代數(shù)上的Gorenstein投射模等相關(guān)內(nèi)容。 論文的具體安排如下： 在第一章中,我們回顧了三角范疇、奇點范疇以及Gorenstein同調(diào)代數(shù)的歷史起源和發(fā)展現(xiàn)況。然后,我們介紹了論文的主要結(jié)果與結(jié)構(gòu)。 在第二章中,我們介紹了三角范疇、環(huán)的奇點范疇以及Gorenstein投射模的基本定義和已知結(jié)果。特別地,我們利用Keller-Vossieck引理重新給出了Buchweitz定理的證明。然后,我們介紹了后面章節(jié)將要用到的一些工具。 在第三章中,我們討論了Nakayama代數(shù)的分解箭圖。首先,我們回顧了Nakayama代數(shù)分解箭圖的定義和基本性質(zhì)。然后,我們證明了分解箭圖的一個基本性質(zhì),即：連通Nakayama代數(shù)的分解箭圖中每個圈的大小都相等。利用該性質(zhì),我們得到了整體維數(shù)無限的連通Nakayama代數(shù)上內(nèi)射維數(shù)無限的單模個數(shù)與投射維數(shù)無限的單模個數(shù)相等。我們對分解箭圖中的圈引入了權(quán)重的概念,并且證明了連通Nakayama代數(shù)的分解箭圖中每個圈的權(quán)重也都相等。最后,我們利用分解箭圖研究了Nakayama代數(shù)的Gorenstein同調(diào)性質(zhì),給出了若干使Nakayama代數(shù)成為Gorenstein代數(shù)的充分必要條件。 在第四章中,我們研究了Nakayama代數(shù)的奇點范疇。首先,對于任意給定的Nakayama代數(shù),我們利用分解箭圖構(gòu)造了其模范疇的某個Frobenius子范疇。我們證明了這個Frobenius子范疇為Abel范疇,并且與某個自內(nèi)射Nakayama代數(shù)的有限生成模范疇等價。然后,我們得到了本章的主要結(jié)果,即：上述Frobenius子范疇的穩(wěn)定范疇與給定Nakayama代數(shù)的奇點范疇三角等價。這給出了Nakayama代數(shù)奇點范疇的新描述。利用這個Frobenius子范疇,我們證明了任意Nakayama代數(shù)的奇點范疇與其反代數(shù)的奇點范疇之間存在三角對偶。我們舉例說明了,一般來說,代數(shù)的奇點范疇與其反代數(shù)的奇點范疇之間不一定存在三角對偶。最后,利用這個三角對偶和Auslander-Reiten箭圖的相關(guān)內(nèi)容,我們得到了任意Nakayama代數(shù)的分解箭圖與其反代數(shù)的分解箭圖中每個圈的大小和權(quán)重均分別相等,并且它們中圈的個數(shù)也相等。 在第五章中,我們考察了域上Nakayama代數(shù)的Gorenstein投射模。首先,我們引入了完備路的概念,并且用它來描述域上Nakayama代數(shù)的Gorenstein投射模。然后,我們證明了域上Nakayama代數(shù)的非投射不可分解Gorenstein投射模與該代數(shù)的完備路之間存在一一對應(yīng)。利用分解箭圖,我們得到了完備路一個等價描述。最后,利用上述一一對應(yīng)和等價描述,我們重新得到了C.M. Ringel對于Nakayama代數(shù)上Gorenstein投射模的刻畫結(jié)果。
【關(guān)鍵詞】：Nakayama代數(shù) 分解箭圖 Gorenstein代數(shù) 奇點范疇 三角對偶 Gorenstein投射模 完備路
【學位授予單位】：中國科學技術(shù)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O154.1
【目錄】：

• 摘要5-7
• ABSTRACT7-9
• 常用記號9-11
• 目錄11-13
• 第一章 緒論13-19
• 1.1 研究背景13-15
• 1.2 主要結(jié)果15-17
• 1.3 論文結(jié)構(gòu)17-19
• 第二章 基礎(chǔ)知識19-43
• 2.1 三角范疇19-29
• 2.1.1 定義與基本性質(zhì)19-22
• 2.1.2 Verdier商范疇22-25
• 2.1.3 Frobenius范疇25-27
• 2.1.4 同倫范疇與導(dǎo)出范疇27-29
• 2.2 奇點范疇29-31
• 2.2.1 定義29-30
• 2.2.2 基本性質(zhì)30-31
• 2.3 Gorenstein投射模31-34
• 2.3.1 定義與基本性質(zhì)31-33
• 2.3.2 Gorenstein環(huán)33
• 2.3.3 Buchweitz定理33-34
• 2.4 Artin代數(shù)34-41
• 2.4.1 路代數(shù)34-36
• 2.4.2 Auslander-Reiten理論36-38
• 2.4.3 Nakayama代數(shù)38-41
• 2.5 左收縮41-43
• 2.5.1 定義與基本性質(zhì)41
• 2.5.2 Nakayama代數(shù)41-43
• 第三章 Nakayama代數(shù)的分解箭圖43-55
• 3.1 定義與基本性質(zhì)43-44
• 3.2 分解箭圖中的圈44-47
• 3.3 應(yīng)用47-49
• 3.4 Gorenstein同調(diào)性質(zhì)49-55
• 第四章 Nakayama代數(shù)的奇點范疇55-71
• 4.1 簡單化與有限Abel范疇55-56
• 4.2 Frobenius子范疇56-60
• 4.3 奇點范疇60-63
• 4.4 與Gorenstein核的比較63-65
• 4.5 奇點范疇的對偶65-67
• 4.6 分解箭圖與Auslander-Reiten箭圖67-71
• 第五章 Nakayama代數(shù)上的Gorenstein投射模與完備路71-81
• 5.1 右極小路71-73
• 5.2 完備路73-74
• 5.3 一一對應(yīng)74-77
• 5.4 Gorenstein投射模77-81
• 參考文獻81-87
• 致謝87-89
• 在讀期間發(fā)表的學術(shù)論文與取得的研究成果89

【共引文獻】

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本文編號：854137