本文關(guān)鍵詞：幾類時(shí)滯偏微分方程解的漸近行為研究

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【摘要】：本篇博士論文主要研究如下三類帶有時(shí)滯項(xiàng)的發(fā)展方程解的漸近行為:(1)帶有時(shí)滯項(xiàng)的非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程?tu-?t?u-?u=f(u)+g(t,ut)+k(t)in?×[τ,∞),u(x,t)=0 on??×[τ,∞),u(x,τ+θ)=?(x,θ),x∈?,θ∈[-h,0];(2)帶有時(shí)滯項(xiàng)的p-Laplacian方程?tu-div(|?u|p-2?u)=f(u)+g(t,ut)+k(t)in?×(τ,∞),u(x,t)=0 on??×(τ,∞),u(x,τ+θ)=?(x,θ)x∈?,θ∈[-h,0];(3)帶有時(shí)滯項(xiàng)的弱耗散波方程?ttu+η?tu-?u=f(u)+g(t,ut)+k(t)in?×[τ,∞),u(x,t)=0 on??×[τ,∞),u(x,t)=?(x,t-τ),x∈?,t∈[τ-h,τ],?tu(x,t)=?t?(x,t-τ),x∈?,t∈[τ-h,τ];其中τ∈R,常數(shù)η0,g是作用在帶有某種遺傳特征的解上的算子,k(·)是依賴于時(shí)間的外力項(xiàng),?是區(qū)間[τ-h,τ]上的函數(shù),h(0)是時(shí)滯影響的長度,且對任給的t≥τ,我們用ut表示定義在[-h,0]上,滿足ut(θ)=u(t+θ)(其中θ∈[-h,0])的函數(shù).本文的主要工作是對上述三類帶有時(shí)滯項(xiàng)的發(fā)展方程在非線性項(xiàng)f滿足臨界或某種超臨界增長時(shí)建立拉回吸引子的存在性.論文共分為六章:在第三章,我們對帶有時(shí)滯項(xiàng)的非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程拉回吸引子的存在性問題作了系統(tǒng)的討論.非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程可以說是介于拋物方程和波方程之間的一類特殊方程,如果對這類方程加上擾動(dòng)系數(shù),則可以把拋物方程和波方程聯(lián)系起來,從而研究其動(dòng)力學(xué)行為有著特殊的意義.在這一章,我們考慮非線性項(xiàng)f滿足臨界增長和任意p-1(p≥2)次多項(xiàng)式增長兩種情形.當(dāng)f滿足臨界增長時(shí),我們通過設(shè)計(jì)特殊的分解來克服臨界指數(shù)和時(shí)滯項(xiàng)g(t,ut)所帶來的困難,得到過程{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)上的漸近緊性;當(dāng)f為任意p-1(p≥2)次多項(xiàng)式增長時(shí),我們首先運(yùn)用Faedo Galerkin方法證明解的存在唯一性,然后構(gòu)造具體的能量不等式來驗(yàn)證過程{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)上拉回吸引子的存在性.在第四章,我們考慮帶有時(shí)滯項(xiàng)的p-Laplacian方程,其中非線性項(xiàng)f滿足任意p-1(p≥2)次多項(xiàng)式增長.p-Laplacian方程為一類強(qiáng)耗散拋物方程,其主部算子為擬線性.由于時(shí)滯項(xiàng)g(t,ut)的非自治固有性,以及非自治外力項(xiàng)k(·)的時(shí)間相關(guān)性,使得許多對于半線性拋物方程適用的方法、技巧不能再直接應(yīng)用,從而我們在研究該問題,尤其是在驗(yàn)證其解過程{U(t,τ)}t≥τ的緊性時(shí)遇到較大的困難.在這一章,我們首先建立解的適定性,然后通過構(gòu)造特殊的能量泛函來驗(yàn)證相應(yīng)過程{U(t,τ)}t≥τ在CL2(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CL2(?)上拉回吸引子的存在性.在第五章,我們研究帶有時(shí)滯項(xiàng)的弱耗散波方程,其中非線性項(xiàng)f滿足臨界增長.弱耗散波方程,尤其是帶有臨界非線性項(xiàng)的弱耗散波方程是一類典型的弱耗散方程,無窮維動(dòng)力系統(tǒng)理論、方法發(fā)展過程中許多經(jīng)典的工作都是將其作為研究對象來提出的,我們研究其動(dòng)力學(xué)行為同樣具有重要的意義.在這一章,我們通過構(gòu)造能量泛函并結(jié)合收縮函數(shù)方法的思想證明過程{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)×CL2(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)×CL2(?)上拉回吸引子的存在性.最后,在第六章,基于所取得的研究成果,作為對所研究問題后續(xù)發(fā)展的思考,我們列出部分我們將進(jìn)一步研究的問題.
【關(guān)鍵詞】：時(shí)滯 非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程 p-Laplacian方程 弱耗散波方程 臨界增長 任意次多項(xiàng)式增長 拉回D 吸引子
【學(xué)位授予單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175.2
【目錄】：

• 中文摘要3-5
• Abstract5-10
• 第一章 綜述10-18
• 1.1 無窮維動(dòng)力系統(tǒng)的發(fā)展簡述10-11
• 1.2 已有結(jié)果、進(jìn)展以及本文的工作11-15
• 1.3 文章安排15-18
• 第二章 預(yù)備知識18-24
• 2.1 函數(shù)空間和概念18-19
• 2.2 拉回D 吸引子19-21
• 2.3 一些有用的結(jié)果21-22
• 2.4 一些不等式22-24
• 第三章 帶有時(shí)滯項(xiàng)的非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程拉回吸引子的存在性24-48
• 3.1 臨界情形24-36
• 3.1.1 解的存在性和唯一性25-26
• 3.1.2 拉回吸引子26-36
• 3.2 任意次多項(xiàng)式增長情形36-48
• 3.2.1 解的存在性與唯一性36-42
• 3.2.2 拉回吸引子42-48
• 第四章 帶有時(shí)滯項(xiàng)的p-Laplacian方程拉回吸引子的存在性48-60
• 4.1 弱解的存在性和唯一性49-54
• 4.2 拉回吸收集和拉回吸引子54-60
• 4.2.1 拉回吸收集54-56
• 4.2.2 拉回吸引子56-60
• 第五章 帶有時(shí)滯項(xiàng)的弱耗散波方程拉回吸引子的存在性60-76
• 5.1 解的存在性和唯一性61-62
• 5.2 拉回吸收集和拉回吸引子62-76
• 5.2.1 拉回吸收集62-66
• 5.2.2 拉回吸引子66-76
• 第六章 展望76-78
• 參考文獻(xiàn)78-84
• 在學(xué)期間的研究成果84-86
• 致謝86

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本文編號：687315