本文關(guān)鍵詞：近扭轉(zhuǎn)映射的擬有效穩(wěn)定性

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【摘要】：KAM理論[1,4,5]是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一,KAM方法不僅可以用來證明近可積Hamilton系統(tǒng)[4-12], Poisson系統(tǒng)[13-16]和無窮維Hamilton系統(tǒng)[17-20]不變環(huán)面的存在性,它在擬周期線性系統(tǒng)的約化[21-30],以及保體積映射軌道穩(wěn)定性[31-36]等問題中也有著廣泛應(yīng)用.在現(xiàn)實(shí)生活中,很多數(shù)學(xué)物理問題都可以歸結(jié)為保體積映射的動(dòng)力系統(tǒng)問題[8,37-39].1962年,Moser[1]建立了保體積映射的KAM理論,他在這方面的杰出貢獻(xiàn)對(duì)后人有著深遠(yuǎn)的影響[2,33,34,40,41].Moser在[1]中考慮了如下一類映射其中(r,θ)∈[a,b]×R,γ為小參數(shù),F,G為關(guān)于θ的2π周期光滑函數(shù).他證明了當(dāng)γ足夠小時(shí),若dα/dr0,則(1)包含一族不變閉曲線.在本文中,關(guān)于保體積映射,我們研究了KAM環(huán)面,近不變環(huán)面以及有效穩(wěn)定性之間的聯(lián)系,并且在經(jīng)典的KAM型非退化條件下得到了保體積映射的擬有效穩(wěn)定性定理,也就是說在相空間上存在一個(gè)正測(cè)度開子集,使得我們所考慮的映射在該開子集上是有效穩(wěn)定的,并且該開子集的測(cè)度僅依賴于擾動(dòng)參數(shù)的尺度.考慮如下近可積保體積映射其中Tn=Rn/Zn為通常的n維環(huán)面,(a,b)c R為一個(gè)開區(qū)間,∈0為擾動(dòng)參數(shù),f0(x,y)和g0(x,y)為關(guān)于x的1周期光滑函數(shù).假設(shè)(H1)f,g和ω是實(shí)解析函數(shù),并且在(Tn×(a,b))+δ上,滿足其中M為正常數(shù).定理1.在假設(shè)(H1)下,如果ω(y)滿足如下條件則存在正常數(shù)β,γ,η,ζ及∈0，使得對(duì)任意的∈∈(0,∈0],在區(qū)間(a,b)上都存在一個(gè)開子集Eε,使得如下結(jié)論成立.如果映射(2)同時(shí)滿足定理1中的結(jié)論(i)和(ii),則稱映射(?)是擬有效穩(wěn)定的,并且稱β,γ為映射(?)的穩(wěn)定指數(shù),為穩(wěn)定時(shí)間為穩(wěn)定半徑.在Nekhoroshev定理中,近可積保體積映射的有效穩(wěn)定性依賴于其可積部分的陡性條件.本文中,我們?nèi)サ袅硕感詶l件,并且在KAM型非退化條件下,得到了近可積保體積映射的擬有效穩(wěn)定性結(jié)果.由定理1,這說明在經(jīng)典的KAM型非退化條件下,近可積保體積映射在相空間的一個(gè)滿測(cè)度開子集上具有有效穩(wěn)定性.由R的開集構(gòu)造原理,在開區(qū)間(α,b)上,存在至多可數(shù)個(gè)開子區(qū)間Ii，1≤i≤T,T∈N∪{∞},滿足Ii∩Ii=(?),t≠j,并且UiT1Ii=E∈,使得(?)在每一個(gè)小區(qū)間Tn×Ii上是有效穩(wěn)定的.因此,有效穩(wěn)定性蘊(yùn)含擬效穩(wěn)定性.以上考慮的是作用變量為1維情形的近可積保體積映射,對(duì)于含有多維作用變量的近扭轉(zhuǎn)映射,為了研究其軌道性質(zhì),我們建立如下定義：考慮近扭轉(zhuǎn)映射其中,Tn=Rn/Zn為通常的n維環(huán)面,G為Rm上的有界開集,f(x,y)和g(x,y)分別為關(guān)于x的1周期函數(shù),∈為擾動(dòng)參數(shù).定義1.如果存在G上的一個(gè)開子集G∈,滿足以及一個(gè)小常數(shù)∈0，，使得，對(duì)于任意的∈∈(0,∈0]以及所有的(x0,y0)∈G∈,當(dāng)時(shí),以(x0,y0)為起點(diǎn)的軌道滿足如下估計(jì)其中β,γ,η,ζ為常數(shù),則稱映射(?)是擬有效穩(wěn)定的.定理1考慮的是作用變量為1維情形下的保體積映射,對(duì)于含有多維作用變量的近扭轉(zhuǎn)映射,如果用相交性質(zhì)來代替保體積性,也可以得到類似結(jié)論.一般地,本文第四章考慮了如下具有相交性質(zhì)的高維小扭轉(zhuǎn)映射(?)t其中,為通常的n維不變環(huán)面,G為Rm中的有界開集,f∈(x,y)= ∈f(x,y)和g∈(x,y)=∈g(x,y)為關(guān)于x的1周期函數(shù),t∈(0,1]為小扭轉(zhuǎn)參數(shù),∈為擾動(dòng)參數(shù).定理2.如果映射(5)滿足如下條件(H1)(解析性)ω,f∈和g∈是Tn×G上的實(shí)解析函數(shù),即存在δ0，使得ω,f∈和gω在(Tn×G)+δ上解析.并且當(dāng)自變量取實(shí)值時(shí),函數(shù)值為實(shí)值(H2)(正則性)存在某正常數(shù)M，使得(H3)(相交性)(?)t在Tn×G上具有相交性質(zhì).(H4)(非退化)在G(G的閉包)上,頻率映射ω(y)滿足如下非退化條件則,以t為參數(shù),∈為擾動(dòng)尺度的小扭轉(zhuǎn)映射(5)在G上是擬有效穩(wěn)定性的.近扭轉(zhuǎn)映射的穩(wěn)定性問題是動(dòng)力系統(tǒng)理論中的一個(gè)重要課題.關(guān)于近扭轉(zhuǎn)映射,無論是在KAM穩(wěn)定性方面還是在Nekhoroshev穩(wěn)定性方面,人們都取得了非常重要的成果.2002年,Hairer,Lubic h以及Wanner[38]建立了近可積Hamilton系統(tǒng)以及近可積辛映射的一個(gè)近不變環(huán)面存在性定理,他們認(rèn)為起始于可積系統(tǒng)Diophanto環(huán)面附近的軌道是近不變的.此后,從福仲和洪佳林[15]在2007年得到了近可積Poisso n系統(tǒng)近不變環(huán)面的存在性定理.本文第三章考慮了如下小扭轉(zhuǎn)映射(?)：Tn×G→Tn×Rm,其中Tn=Rn/(2πZ)n為通常的n維不變環(huán)面,G為Rm上的有界開集,f(x,y)和g(x,y)為關(guān)于x的2π周期函數(shù),t∈(0,1]為小扭轉(zhuǎn)參數(shù).若Jacobi矩陣(?)ω/(?)y滿秩,則稱映射(7)為近扭轉(zhuǎn)映射.在計(jì)算數(shù)學(xué)中經(jīng)常考慮這一類映射[38].本文考慮了具有相交性質(zhì)的近扭轉(zhuǎn)映射,因?yàn)楫?dāng)作用變量的維數(shù)m大于1時(shí)的保體積映射一般不具有相交性質(zhì).(H1)(解析性)ω,f和g為Tn×G上的實(shí)解析函數(shù),即,存在ρ0使得ω,f和g在∑×Gρ上解析,其中并且當(dāng)x,y取實(shí)變量時(shí),ω,f和g取實(shí)值.(H2)(相交性)對(duì)任何t∈(0,1],映射(?)在∑ρ×Gρ上具有相交性質(zhì).(H3) (Russmann-Xu-You條件)在G上,關(guān)于頻率映射ω(y),有如下條件成立定理3.設(shè)為任意給定的正常數(shù),若上述假設(shè)成立,則存在常數(shù)∈*0使得對(duì)任意的E∈(0,∈*]及任意的t∈(0,1]都存在非空Cantor子集G(∈,t)c G,并且當(dāng)‖f‖+‖g‖∈時(shí),有如下結(jié)論成立.(i)(?)含有一族不變環(huán)面Ty,y∈G(∈,t),其頻率ω∞(y,t)在[0,1]上,一致地滿足(ii)關(guān)于G(∈,t)的Lebesgue測(cè)度，在(0,∈*]×(0,1]上,一致地有如下估計(jì)與以往不同,我們所考慮的小扭轉(zhuǎn)映射中,作用變量和角變量可以具有不同的維數(shù).在作用變量和角變量維數(shù)相同的辛映射中,應(yīng)該也有類似的結(jié)論.
【關(guān)鍵詞】：扭轉(zhuǎn)映射 保體積映射 近不變環(huán)面 KAM理論 有效穩(wěn)定
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175
【目錄】：

• 內(nèi)容提要3-4
• 中文摘要4-9
• Abstract9-17
• 第1章 緒論17-35
• 1.1 KAM穩(wěn)定性17-23
• 1.2 Nekhoroshev穩(wěn)定性23-25
• 1.3 扭轉(zhuǎn)映射和近扭轉(zhuǎn)映射25-27
• 1.4 近扭轉(zhuǎn)映射的KAM穩(wěn)定性及Nekhoroshev穩(wěn)定性27-30
• 1.5 擬有效穩(wěn)定性30-35
• 第2章 保體積映射的擬有效穩(wěn)定性35-51
• 2.1 引言和主要結(jié)果35-38
• 2.2 近不變環(huán)面的性質(zhì)38-47
• 2.2.1 化簡(jiǎn)及技術(shù)引理39-41
• 2.2.2 迭代步驟41-44
• 2.2.3 定理2.2的證明44-47
• 2.3 定理2.1的證明47-51
• 第3章 小扭轉(zhuǎn)映射不變環(huán)面的存在性51-65
• 3.1 引言和主要結(jié)果51-53
• 3.2 差分方程53-54
• 3.3 定理3.1的證明54-61
• 3.4 技術(shù)引理61-65
• 第4章 具有相交性質(zhì)的小扭轉(zhuǎn)映射的擬有效穩(wěn)定性65-81
• 4.1 引言和主要結(jié)果65-67
• 4.2 小扭轉(zhuǎn)映射近不變環(huán)面的性質(zhì)67-81
• 4.2.1 標(biāo)準(zhǔn)化68-69
• 4.2.2 差分方程與小除數(shù)引理69-71
• 4.2.3 KAM步驟71-73
• 4.2.4 坐標(biāo)變換的估計(jì)73-74
• 4.2.5 新擾動(dòng)項(xiàng)的估計(jì)74-77
• 4.2.6 定理4.2的證明77-78
• 4.2.7 定理3.1的證明78-81
• 參考文獻(xiàn)81-89
• 作者簡(jiǎn)介及在學(xué)期間所取得的科研成果89-91
• 致謝91-92

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本文編號(hào)：583929