本文關(guān)鍵詞：解線性約束非線性方程組的無導(dǎo)數(shù)方法及其理論分析

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【摘要】：最優(yōu)化問題在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防、通信等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。特別是隨著近些年來計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展,各類軟件的不斷完善,快速、高效的求解最優(yōu)化問題顯得越來越重要,也成為現(xiàn)實(shí)。在眾多求解最優(yōu)化問題的方法中,線搜索技術(shù)與信賴域策略是研究算法的全局收斂性的兩個重要的手段,同時(shí),與其相應(yīng)的問題張量是解非線性方程組的數(shù)值方法,在合理的條件下,上述方法還具有超線性及二次收斂速率。本文針對解約束及無約束非線性方程組問題,將其轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題,在最優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)信息難以獲得的情況下,提出了各類無導(dǎo)數(shù)算法,并研究其收斂性,以及數(shù)值實(shí)現(xiàn)。信賴域方法主要思想是在當(dāng)前迭代點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)極小化目標(biāo)函數(shù)的一個合適的二次模型,并不斷校正信賴域半徑,得到一個可以接受的方向步。本文給出了解有界約束的非線性方程組的無導(dǎo)數(shù)信賴域內(nèi)點(diǎn)算法。利用插值函數(shù)構(gòu)造信賴域子問題,通過引入仿射變換矩陣將有界約束轉(zhuǎn)化為仿射信賴域子問題,并結(jié)合線搜索技術(shù)得到嚴(yán)格內(nèi)部可行點(diǎn)。對于帶有線性不等式約束的非線性方程組,通過構(gòu)造相應(yīng)的仿射變換矩陣,同樣可以將原問題的子問題轉(zhuǎn)化為只有橢球約束的信賴域子問題。線索搜技術(shù)的應(yīng)用使得算法在運(yùn)算過程中避免反復(fù)求解信賴域子問題,提高了算法的效率并保證得到嚴(yán)格內(nèi)部可行點(diǎn),在合理的條件下所給出的這類算法具有全局收斂性和超線性收斂速率。數(shù)值結(jié)果表明了算法的有效性。Levenberg-Marquardt算法是求解非線性方程組問題的一類常用方法。在利用Levenberg-Marquardt模型求解問題的過程中,每次迭代一般要求得到精確解,然而,對于大規(guī)模問題,求出模型精確解計(jì)算量較大,為了克服這一困難,在很多情況下不精確模型起到了非常重要的作用。在本文中,利用插值函數(shù)構(gòu)造無導(dǎo)數(shù)LevenbergMarquardt算法,為了保證插值模型與原問題具有較好的近似度,要求插值點(diǎn)集合具有Λ-穩(wěn)定性,并且插值半徑趨于0,為了達(dá)到這一目的,算法中利用插值函數(shù)梯度的范數(shù)來更新插值半徑。通過引入仿射變換矩陣,并求解一個嚴(yán)格凸函數(shù)的近似解得到迭代方向,當(dāng)該迭代方向不嚴(yán)格可行時(shí),利用回溯線搜索技術(shù)得到可接受的步長因子。該步長因子不僅保證新的迭代點(diǎn)有足夠的下降量,而且使得它位于可行域的內(nèi)部,在局部誤差界的假設(shè)下,證明了此類方法具有超線性和二次收斂速率。數(shù)值測試表明算法的可行性與有效性。張量方法是求解無約束非線性方程組的一類有效的方法。這種方法主要用來求解Jacobi矩陣奇異或者病態(tài)情況下的非線性方程組。本文利用插值函數(shù)構(gòu)造原問題的無導(dǎo)數(shù)張量模型。同樣利用梯度范數(shù)更新插值半徑,保證插值模型與原問題具有較好的近似度。根據(jù)Jacobi矩陣的不同情況,分別利用曲線線搜索技術(shù)和Block 2模型求解張量模型,得到近似張量步,并利用2維信賴域策略保證算法具有全局收斂性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了以上所給算法的可行性和有效性。本文最后對所做工作進(jìn)行總結(jié)并提出了進(jìn)一步的研究方向。
【關(guān)鍵詞】：無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化 信賴域 非線性方程組 內(nèi)點(diǎn) Levenberg-Marquardt模型 張量模型
【學(xué)位授予單位】：上海師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.7;O224
【目錄】：

• 摘要5-7
• Abstract7-11
• 主要符號對照表11-12
• 第一章 最優(yōu)化理論與方法的基礎(chǔ)12-23
• 1.1 最優(yōu)化問題簡介12-13
• 1.2 最優(yōu)化條件13-14
• 1.3 最優(yōu)化問題的算法迭代格式14-16
• 1.4 函數(shù)插值16-18
• 1.5 線搜索技術(shù)與信賴域策略18-19
• 1.6 非線性方程組系統(tǒng)的方法19-23
• 第二章 有界變量約束非線性方程組的無導(dǎo)數(shù)信賴域方法23-62
• 2.1 前言23-24
• 2.2 信賴域子問題24-27
• 2.3 無導(dǎo)數(shù)算法27-31
• 2.4 全局收斂性31-44
• 2.5 局部收斂速率44-57
• 2.6 數(shù)值實(shí)驗(yàn)57-62
• 第三章 線性不等式約束非線性方程組的無導(dǎo)數(shù)信賴域方算法62-91
• 3.1 前言62-63
• 3.2 信賴域子問題63-66
• 3.3 算法66-69
• 3.4 全局收斂性69-79
• 3.5 局部收斂速率79-87
• 3.6 數(shù)值結(jié)果87-91
• 第四章 線性不等式約束非線性方程組的無導(dǎo)數(shù)L-M方法91-118
• 4.1 引言91-93
• 4.2 算法93-95
• 4.3 全局收斂性95-99
• 4.4 局部收斂速率99-115
• 4.5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)115-118
• 第五章 非線性方程組的無導(dǎo)數(shù)張量方法118-134
• 5.1 引言118-119
• 5.2 無導(dǎo)數(shù)插值模型119-121
• 5.3 無導(dǎo)數(shù)張量模型121-123
• 5.4 曲線線搜索步123-124
• 5.5 Block-2 模型124-127
• 5.6 信賴域張量模型127-128
• 5.7 算法128-132
• 5.8 數(shù)值結(jié)果132-134
• 第六章 小結(jié)134-136
• 參考文獻(xiàn)136-144
• 致謝144-145
• 攻讀博士學(xué)位期間的研究成果14

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本文編號：536218