發(fā)布時(shí)間：2017-07-03 09:11

  本文關(guān)鍵詞：線性二次二人零和隨機(jī)微分對(duì)策

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【摘要】：本文研究了一類線性二次二人零和隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題(簡(jiǎn)稱SLQG),主要目的是對(duì)其開(kāi)環(huán)和閉環(huán)鞍點(diǎn)進(jìn)行刻畫(huà)與比較.本文中,狀態(tài)方程是非齊次的,決策者采取的控制允許出現(xiàn)在狀態(tài)方程的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)中,性能指標(biāo)中的加權(quán)矩陣可以是不定的或奇異的,狀態(tài)過(guò)程與控制過(guò)程的交叉項(xiàng),兩個(gè)控制過(guò)程的交叉項(xiàng),以及狀態(tài)過(guò)程、控制過(guò)程的一階項(xiàng)允許出現(xiàn)在性能指標(biāo)中.根據(jù)時(shí)間區(qū)間的不同,我們對(duì)有限時(shí)區(qū)和無(wú)窮時(shí)區(qū)的情形分別進(jìn)行了討論. 對(duì)有限時(shí)區(qū)的SLQG問(wèn)題,狀態(tài)方程中的系數(shù)矩陣可以是無(wú)界的,性能指標(biāo)帶有終端懲罰.在適當(dāng)條件下,我們得到狀態(tài)方程的解的存在唯一性.對(duì)于開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn),我們利用變分的方法,證明了開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn)存在當(dāng)且僅當(dāng)某個(gè)帶有約束條件的正倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)稱FBSDE)存在適應(yīng)解,且某種凸-凹性條件成立.進(jìn)步,我們討論了開(kāi)環(huán)上下值函數(shù)與開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn)的關(guān)系.對(duì)一類確定性的線性二次二人零和微分對(duì)策問(wèn)題,Zhang [SIAM J. Control Optim.,2005,43:2157-2165]證明了開(kāi)環(huán)上下值函數(shù)的有限性與開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn)的存在性之間的等價(jià)性.這一結(jié)果在一般情形下并不成立,我們得到一個(gè)較弱的結(jié)論：開(kāi)環(huán)上下值函數(shù)的有限性蘊(yùn)含著凸-凹性條件成立.對(duì)于閉環(huán)鞍點(diǎn),我們利用解耦的方法,誘導(dǎo)出Riccati微分方程,證明了閉環(huán)鞍點(diǎn)的存在性與Riccati微分方程的正則解的存在性等價(jià),并給出了閉環(huán)鞍點(diǎn)及值函數(shù)的表達(dá)式Riccati微分方程可能存在多個(gè)解,但正則解是唯一的.通過(guò)比較開(kāi)環(huán)和閉環(huán)鞍點(diǎn)的特征我們發(fā)現(xiàn),對(duì)于閉環(huán)鞍點(diǎn)的存在性,凸-凹性條件不是必要的,因此閉環(huán)鞍點(diǎn)存在不能導(dǎo)致開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn)存在,然而卻可以誘導(dǎo)出帶有約束條件的FBSDE的適應(yīng)解的存在性；另一方面,Riccati微分方程解的正則性這一要求則使得開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn)的存在性也不能蘊(yùn)含閉環(huán)鞍點(diǎn)的存在性.另外,對(duì)線性二次隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題而言,閉環(huán)最優(yōu)策略存在將導(dǎo)致開(kāi)環(huán)最優(yōu)控制存在.前面指出,閉環(huán)鞍點(diǎn)的存在性不能蘊(yùn)含開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn)的存在性,因此,這一點(diǎn)使我們只能將線性二次隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題形式上看作是問(wèn)題SLQG的特例. 對(duì)無(wú)窮時(shí)區(qū)的SLQG問(wèn)題,我們假設(shè)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣和性能指標(biāo)中的加權(quán)矩陣為常值矩陣.作為關(guān)鍵步驟,我們首先證明了,在較為溫和的條件下,一類無(wú)窮時(shí)區(qū)上的線性隨機(jī)微分方程／倒向隨機(jī)微分方程存在唯一平方可積解／適應(yīng)解.對(duì)于開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn),當(dāng)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣滿足一定條件時(shí),我們有類似于有限時(shí)區(qū)情形的結(jié)論.不同的地方在于此時(shí)的FBSDE是定義在無(wú)窮區(qū)間上的,需要討論其L2-穩(wěn)定適應(yīng)解的存在性.對(duì)于閉環(huán)鞍點(diǎn),我們引入代數(shù)Riccati方程(簡(jiǎn)稱ARE)及其穩(wěn)定化解的概念,并利用矩陣不等式的方法證明了閉環(huán)鞍點(diǎn)的存在性等價(jià)于相應(yīng)的ARE的穩(wěn)定化解的存在性.進(jìn)一步,我們給出了閉環(huán)鞍點(diǎn)及值函數(shù)的表達(dá)式. 本文首先回顧了微分對(duì)策,特別是二人零和微分對(duì)策的歷史發(fā)展及其研究現(xiàn)狀.然后討論有限/無(wú)限區(qū)間上線性隨機(jī)微分方程和倒向隨機(jī)微分方程的適定性.接下來(lái),分別對(duì)有限時(shí)區(qū)和無(wú)窮時(shí)區(qū)的SLQG問(wèn)題進(jìn)行討論,得到開(kāi)環(huán)和閉環(huán)鞍點(diǎn)的刻畫(huà),并給出一些例子來(lái)闡釋相應(yīng)的結(jié)果.最后,我們對(duì)文章進(jìn)行總結(jié)并介紹一些相關(guān)問(wèn)題.
【關(guān)鍵詞】：線性二次 隨機(jī)微分對(duì)策 二人零和 鞍點(diǎn) 開(kāi)環(huán) 閉環(huán) 正倒向隨機(jī)微分方程 Riccati微分方程 正則解 代數(shù)Riccati方程 穩(wěn)定化解
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O211.63
【目錄】：

• 摘要5-7
• ABSTRACT7-12
• 主要符號(hào)對(duì)照表12-15
• 第1章 緒論15-21
• 1.1 研究背景及現(xiàn)狀15-19
• 1.1.1 線性二次二人零和隨機(jī)微分對(duì)策簡(jiǎn)介15-17
• 1.1.2 Ricaati方程17-19
• 1.2 主要研究?jī)?nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn)19-21
• 1.2.1 主要研究?jī)?nèi)容19-20
• 1.2.2 創(chuàng)新點(diǎn)20-21
• 第2章 線性隨機(jī)微分方程21-33
• 2.1 有限區(qū)間上的線性SDEs21-27
• 2.2 常系數(shù)線性SDEs的穩(wěn)定性27-33
• 第3章 線性倒向隨機(jī)微分方程33-45
• 3.1 有限區(qū)間上的線性BSDEs33-39
• 3.2 常系數(shù)線性BSDEs的L~2-穩(wěn)定適應(yīng)解39-45
• 第4章 有限時(shí)區(qū)的SLQGs45-85
• 4.1 問(wèn)題的提出45-47
• 4.2 開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn)與FBSDEs47-53
• 4.3 閉環(huán)鞍點(diǎn)與Riccati微分方程53-72
• 4.3.1 初步討論53-60
• 4.3.2 閉環(huán)鞍點(diǎn)的刻畫(huà)60-72
• 4.4 線性FBSDEs與Riccati方程72-75
• 4.5 例子75-85
• 第5章 無(wú)窮時(shí)區(qū)的SLQGs85-109
• 5.1 開(kāi)環(huán)鞍點(diǎn)及其刻畫(huà)86-88
• 5.2 閉環(huán)鞍點(diǎn)與代數(shù)Riccati方程88-107
• 5.2.1 初步討論88-92
• 5.2.2 LQ隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題的有限性92-96
• 5.2.3 閉環(huán)最優(yōu)策略96-99
• 5.2.4 閉環(huán)鞍點(diǎn)的刻畫(huà)99-107
• 5.3 例子107-109
• 第6章 結(jié)語(yǔ)109-111
• 參考文獻(xiàn)111-115
• 致謝115-117
• 在讀期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與取得的研究成果117

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前1條

1 ;STOCHASTIC LINEAR QUADRATIC OPTIMAL CONTROL PROBLEMS WITH RANDOM COEFFICIENTS[J];Chinese Annals of Mathematics;2000年03期

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本文編號(hào)：513067