本文關鍵詞：N-體問題中橢圓共形解與緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要對兩種經(jīng)典哈密頓系統(tǒng)的周期解的線性穩(wěn)定性進行研究,一個是N-體問題中橢圓共形解的穩(wěn)定性,另一個是緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性。N-體問題來自于天體運動的研究,而人們對天體運動的探索早在古希臘時代就開始了,直到牛頓時代由于微積分的引入,才使得天體運動的研究有了突破性的進展。在理論上我們把N個天體看做N個質(zhì)點,研究它們只在萬有引力作用下所做的運動以及它們的穩(wěn)定性,最為典型的例子是太陽-地球-月球所構成的三體運動系統(tǒng)。自然的,人們希望能理解清楚我們所在星系系統(tǒng)的運動規(guī)律。眾所周知,對于二體問題,我們知道它們的解是可以顯式表達出來的,運動形式十分清楚,然而對于N≥3時候的多體問題,由于它們的方程不可積,無法求出顯式解。事實上,數(shù)學家龐加萊在三體的研究中就發(fā)現(xiàn),三體的解可以呈現(xiàn)極為復雜的情形。因此探究多體問題的解變得極為困難,作為理解多體問題復雜運動的第一步,我們嘗試去研究它們所具有的一些特殊形式的運動,如周期運動,擬周期運動等。本文第一部分所探討的是由中心構型所產(chǎn)生的周期解的線性穩(wěn)定性問題,這種周期解的研究具有悠久的歷史,其中最早的兩個周期性特解由大數(shù)學家歐拉和拉格朗日分別在1767年和1772年所發(fā)現(xiàn),現(xiàn)在分別稱為歐拉解和拉格朗日解。歐拉解是由三個質(zhì)點在一條旋轉直線上震動所產(chǎn)生的共線周期解。拉格朗日解由三個質(zhì)點組成等邊三角形,并且每一個質(zhì)點圍繞著它們共同的質(zhì)心做開普勒運動所產(chǎn)生。這兩種特解可以看做中心構型所產(chǎn)生的共形解的特例,其中歐拉解是由直線中心構型所產(chǎn)生的,拉格朗日解是由平面等邊三角形構型所產(chǎn)生的周期解,此外還有正n邊形以及正1+n形構型等。這些解最早發(fā)現(xiàn)的時候都是從純數(shù)學的角度進行研究的,后來發(fā)現(xiàn)可以用它們來刻畫一些具體的天體運動系統(tǒng),例如拉格朗日解可以用于分析太陽-木星-特洛伊小行星群構成的系統(tǒng),而正1+n形可以用來作為土星與土星環(huán)系統(tǒng)的近似模型,因此研究它們的穩(wěn)定性也就具有很強的物理背景。已有的關于拉格朗日解線性穩(wěn)定性的分析大都是集中在離心率e或1-e充分小的情形,對于其余的情況只有一些數(shù)值結果或定性的結果。而對于三體以上的共形解,也只有在離心率e=0的時候有相應的結果,對于任意離心率的情形,沒有任何結論。我們論文的第一部分就是要研究幾種典型中心構型的橢圓共形解的線性穩(wěn)定性,主要結果包括首次給出橢圓拉格朗日解穩(wěn)定區(qū)域與雙曲區(qū)域的定量估計,以及正方形,正1+3形,強極小中心構型共形解對任意離心率的雙曲性分析。論文的第二部分是關于緊凸超曲面上閉特征穩(wěn)定性的研究。閉特征是緊凸超曲面上由特殊向量場所產(chǎn)生的周期軌道,它的存在性,多重性和穩(wěn)定性研究是哈密頓動力系統(tǒng)里面的一個經(jīng)典問題,它促進了指標理論和Floer同調(diào)等數(shù)學理論的發(fā)展。早在1892年,數(shù)學家A.M.Liapounov就開始研究這個問題,并得到一些重要的局部性結果。第一個全局性的存在性結果是由數(shù)學家P.Rabinowitz和A.Weinstein各自獨立得到的。進一步的多重性研究由I.Ekeland等人做出,特別重要的突破是龍以明和朱朝峰利用Maslov型指標的共同跳躍理論所給出的,他們證明了緊凸超曲面上閉特征的個數(shù)至少為ρn(∑)≥[n/2]+1。另一方面,有了多重性結果,很自然需要進一步研究它所具有的性質(zhì),例如穩(wěn)定性。關于這方面,最早的工作是由I.Ekeland等人在對稱性條件或者Pinch條件下給出的關于橢圓性閉特征的存在性結果。在2000年,龍以明證明了對于R4中的緊凸超曲面,如果上面的閉特征恰好有兩條,那么這兩條閉特征都是橢圓的。進一步在論文[38]中,龍以明和朱朝峰進一步證明了R2n中任意的緊凸超曲面,如果閉特征的個數(shù)有限,則至少存在一條橢圓閉特征而且至少有[n/2]條幾何相異的閉特征具有無理平均指標,因此它們是非雙曲的。此外,他們還在閉特征個數(shù)上界小于等于2ρn(∑)-2∞條件下,證明了至少有兩條橢圓閉特征。最近,王嵬證明了R6中的緊凸超曲上的閉特征如果恰好為3條,則至少存在兩條無理橢圓的閉特征。在已有的研究結果中,我們知道要證明存在兩條橢圓閉特征,都需要加一個很強的上界條件,這個上界條件目前只對R4中的緊凸超曲面有結果,對于任意維數(shù),我們知之甚少,我們在論文的第二部分就是要去掉嚴格的上界條件,只在有限性的條件下,得到兩條橢圓閉特征,與此同時我們進一步得到了關于一些閉特征平均指標之比為無理數(shù)的新性質(zhì)。全文共分為三章。第一章,主要介紹哈密頓系統(tǒng)的周期解及其線性穩(wěn)定性,特別對本文所要研究的N-體問題共形解與緊凸超曲面上閉特征這兩種典型的哈密頓系統(tǒng)周期解進行介紹,包括它們的歷史背景,意義以及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀。與此同時我們給出這些問題研究的難點及前人研究方法所遇到的屏障,并指出本論文在這些問題上所獲得的突破。這一章包括三節(jié)內(nèi)容,第一節(jié)簡介哈密頓系統(tǒng)的周期解及其線性穩(wěn)定性,并引出我們要研究的兩個主要問題。第二節(jié)介紹N-體問題共形解的相關知識并給出我們在共形解穩(wěn)定性研究中獲得的主要結果。第三節(jié)對緊凸超曲面上閉特征問題進行介紹,并給出我們在閉特征穩(wěn)定性研究中的主要結果。第二章,我們主要對N-體問題中橢圓共形解的穩(wěn)定性進行研究,包括橢圓拉格朗日解,正方形,正1+3形以及強極小中心構型共形解的穩(wěn)定性分析。其中拉格朗日解的線性穩(wěn)定性依賴于兩個參數(shù),一個是質(zhì)量參數(shù)β∈[0,9],另一個是離心率e∈[0,1)。我們利用Maslov型指標理論和最近發(fā)展的線性哈密頓系統(tǒng)跡公式為工具,首次給出橢圓拉格朗日解的線性穩(wěn)定區(qū)域和雙曲區(qū)域的定量估計。進一步我們發(fā)展出一種正定估計技巧,可以用于證明質(zhì)量參數(shù)β在某個范圍內(nèi),橢圓拉格朗日解對于任意離心率e∈[0.1)都是雙曲的,這在實際現(xiàn)象中表現(xiàn)為三個天體的質(zhì)量在一定范圍內(nèi)取值時,這種周期軌道對任意離心率都是不穩(wěn)定的。與此同時,利用二階線性算子相關理論,我們揭示了正方形共形解與橢圓拉格朗日解之間的聯(lián)系,最終證明了正方形共形解對任意離心率都是雙曲的。利用類似的估計方法,我們還得到了強極小中心構型共形解對任意離心率e∈[0,1)的雙曲性,作為一個推論我們得到了正1+3形共形解當中心質(zhì)點質(zhì)量u∈[0,(?))時,對任意離心率它也是雙曲的,這是首次得到三體以上中心構型橢圓共形解對任意離心率的雙曲性結果。這一章包含四節(jié)內(nèi)容,第一節(jié)給出我們關于共形解研究的主要結果,第二節(jié)對相關研究工具進行介紹,第三節(jié)給出跡公式在橢圓拉格朗日解穩(wěn)定性上的應用。第四節(jié)介紹我們發(fā)展的正定估計技術,用于分析橢圓共形解對任意離心率的雙曲性。第三章,我們研究緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性。這些閉特征是由緊凸超曲面上一些特殊的向量場生成的閉軌道,它們的存在性,多重性以及穩(wěn)定性是哈密頓系統(tǒng)中的一個經(jīng)典問題,它的研究促進了變分法以及指標理論的發(fā)展。這一部分我們利用龍以明和朱朝峰[38]得到的共同指標跳躍定理為工具,建立一些新的指標不等式,通過這些不等式,我們證明了R2n中緊凸超曲面上的閉特征個數(shù)如果有限,那么一定存在著至少兩條橢圓閉特征,并且至少存在ρn(∑)(ρn(∑)≥[n/2]+1)條閉特征滿足它們其中任意兩條的平均指標之比是無理數(shù),這個結果改進了龍以明和朱朝峰論文[38]中關于閉特征穩(wěn)定性與無理性的那部分結果,這也是首次僅在閉特征個數(shù)有限性條件下對任意維數(shù)得到兩條橢圓閉特征的結果。這一章包含四節(jié)內(nèi)容。第一節(jié)介紹我們在閉特征穩(wěn)定性方面所得到的主要結果。第二節(jié)我們首先介紹龍以明和朱朝峰關于閉特征的共同指標跳躍定理和指標不等式,然后我們進一步分析共同指標跳躍定理并建立一些新的指標不等式。第三節(jié)證明我們的主要定理,最后一節(jié)為附錄介紹指標迭代理論。
【關鍵詞】：N-體問題 共形解 閉特征 穩(wěn)定性 Malslov型指標
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175
【目錄】：

• 中文摘要8-12
• 英文摘要12-17
• 符號說明17-18
• 第一章 緒論18-36
• §1.1 哈密頓系統(tǒng)的周期解及其線性穩(wěn)定性18-21
• §1.2 天體運動中N-體問題的共形解21-32
• §1.2.1 N-體問題周期解的變分結構及哈密頓形式24
• §1.2.2 共形解的研究方法與研究進展24-29
• §1.2.3 本文關于共形解穩(wěn)定性研究的主要結果29-32
• §1.3 緊凸超曲面上的閉特征問題32-36
• §1.3.1 本文關于閉特征穩(wěn)定性研究的主要結果34-36
• 第二章 N-體問題中橢圓共形解的穩(wěn)定性研究36-76
• §2.1 本章的主要結果36-38
• §2.2 研究工具的簡要介紹38-54
• §2.2.1 Maslov型指標理論的簡要回顧38-43
• §2.2.2 相對Morse指標與譜流43-46
• §2.2.3 跡公式簡介46-50
• §2.2.4 中心構型系統(tǒng)的Meyer-Schmidt辛約化方法50-54
• §2.3 跡公式在拉格朗日解中的應用54-65
• §2.3.1 線性哈密頓系統(tǒng)跡公式對拉格朗日解穩(wěn)定性的分析54-61
• §2.3.2 Sturm-Liouville系統(tǒng)跡公式對拉格朗日解雙曲性的分析61-65
• §2.4 正定估計技巧及在共形解雙曲性上的應用65-76
• §2.4.1 拉格朗日解與正方形共形解雙曲性的進一步分析65-74
• §2.4.2 強極小中心構型與正1+3形共形解雙曲性的分析74-76
• 第三章 緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性76-90
• §3.1 本章的主要結果76-78
• §3.2 指標跳躍定理的簡介及進一步討論78-83
• §3.3 主要定理的證明83-87
• §3.4 附錄：閉特征指標迭代理論87-90
• 參考文獻90-96
• 致謝96-97
• 讀博期間發(fā)表和完成的論文97-98
• 附件98

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 OU YuWei;;Hyperbolicity of elliptic Lagrangian orbits in the planar three body problem[J];Science China(Mathematics);2014年07期

  本文關鍵詞：N-體問題中橢圓共形解與緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號：495998