本文關(guān)鍵詞：N-體問(wèn)題中橢圓共形解與緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要對(duì)兩種經(jīng)典哈密頓系統(tǒng)的周期解的線性穩(wěn)定性進(jìn)行研究,一個(gè)是N-體問(wèn)題中橢圓共形解的穩(wěn)定性,另一個(gè)是緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性。N-體問(wèn)題來(lái)自于天體運(yùn)動(dòng)的研究,而人們對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的探索早在古希臘時(shí)代就開(kāi)始了,直到牛頓時(shí)代由于微積分的引入,才使得天體運(yùn)動(dòng)的研究有了突破性的進(jìn)展。在理論上我們把N個(gè)天體看做N個(gè)質(zhì)點(diǎn),研究它們只在萬(wàn)有引力作用下所做的運(yùn)動(dòng)以及它們的穩(wěn)定性,最為典型的例子是太陽(yáng)-地球-月球所構(gòu)成的三體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。自然的,人們希望能理解清楚我們所在星系系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。眾所周知,對(duì)于二體問(wèn)題,我們知道它們的解是可以顯式表達(dá)出來(lái)的,運(yùn)動(dòng)形式十分清楚,然而對(duì)于N≥3時(shí)候的多體問(wèn)題,由于它們的方程不可積,無(wú)法求出顯式解。事實(shí)上,數(shù)學(xué)家龐加萊在三體的研究中就發(fā)現(xiàn),三體的解可以呈現(xiàn)極為復(fù)雜的情形。因此探究多體問(wèn)題的解變得極為困難,作為理解多體問(wèn)題復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的第一步,我們嘗試去研究它們所具有的一些特殊形式的運(yùn)動(dòng),如周期運(yùn)動(dòng),擬周期運(yùn)動(dòng)等。本文第一部分所探討的是由中心構(gòu)型所產(chǎn)生的周期解的線性穩(wěn)定性問(wèn)題,這種周期解的研究具有悠久的歷史,其中最早的兩個(gè)周期性特解由大數(shù)學(xué)家歐拉和拉格朗日分別在1767年和1772年所發(fā)現(xiàn),現(xiàn)在分別稱(chēng)為歐拉解和拉格朗日解。歐拉解是由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一條旋轉(zhuǎn)直線上震動(dòng)所產(chǎn)生的共線周期解。拉格朗日解由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成等邊三角形,并且每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)圍繞著它們共同的質(zhì)心做開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生。這兩種特解可以看做中心構(gòu)型所產(chǎn)生的共形解的特例,其中歐拉解是由直線中心構(gòu)型所產(chǎn)生的,拉格朗日解是由平面等邊三角形構(gòu)型所產(chǎn)生的周期解,此外還有正n邊形以及正1+n形構(gòu)型等。這些解最早發(fā)現(xiàn)的時(shí)候都是從純數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行研究的,后來(lái)發(fā)現(xiàn)可以用它們來(lái)刻畫(huà)一些具體的天體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),例如拉格朗日解可以用于分析太陽(yáng)-木星-特洛伊小行星群構(gòu)成的系統(tǒng),而正1+n形可以用來(lái)作為土星與土星環(huán)系統(tǒng)的近似模型,因此研究它們的穩(wěn)定性也就具有很強(qiáng)的物理背景。已有的關(guān)于拉格朗日解線性穩(wěn)定性的分析大都是集中在離心率e或1-e充分小的情形,對(duì)于其余的情況只有一些數(shù)值結(jié)果或定性的結(jié)果。而對(duì)于三體以上的共形解,也只有在離心率e=0的時(shí)候有相應(yīng)的結(jié)果,對(duì)于任意離心率的情形,沒(méi)有任何結(jié)論。我們論文的第一部分就是要研究幾種典型中心構(gòu)型的橢圓共形解的線性穩(wěn)定性,主要結(jié)果包括首次給出橢圓拉格朗日解穩(wěn)定區(qū)域與雙曲區(qū)域的定量估計(jì),以及正方形,正1+3形,強(qiáng)極小中心構(gòu)型共形解對(duì)任意離心率的雙曲性分析。論文的第二部分是關(guān)于緊凸超曲面上閉特征穩(wěn)定性的研究。閉特征是緊凸超曲面上由特殊向量場(chǎng)所產(chǎn)生的周期軌道,它的存在性,多重性和穩(wěn)定性研究是哈密頓動(dòng)力系統(tǒng)里面的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題,它促進(jìn)了指標(biāo)理論和Floer同調(diào)等數(shù)學(xué)理論的發(fā)展。早在1892年,數(shù)學(xué)家A.M.Liapounov就開(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題,并得到一些重要的局部性結(jié)果。第一個(gè)全局性的存在性結(jié)果是由數(shù)學(xué)家P.Rabinowitz和A.Weinstein各自獨(dú)立得到的。進(jìn)一步的多重性研究由I.Ekeland等人做出,特別重要的突破是龍以明和朱朝峰利用Maslov型指標(biāo)的共同跳躍理論所給出的,他們證明了緊凸超曲面上閉特征的個(gè)數(shù)至少為ρn(∑)≥[n/2]+1。另一方面,有了多重性結(jié)果,很自然需要進(jìn)一步研究它所具有的性質(zhì),例如穩(wěn)定性。關(guān)于這方面,最早的工作是由I.Ekeland等人在對(duì)稱(chēng)性條件或者Pinch條件下給出的關(guān)于橢圓性閉特征的存在性結(jié)果。在2000年,龍以明證明了對(duì)于R4中的緊凸超曲面,如果上面的閉特征恰好有兩條,那么這兩條閉特征都是橢圓的。進(jìn)一步在論文[38]中,龍以明和朱朝峰進(jìn)一步證明了R2n中任意的緊凸超曲面,如果閉特征的個(gè)數(shù)有限,則至少存在一條橢圓閉特征而且至少有[n/2]條幾何相異的閉特征具有無(wú)理平均指標(biāo),因此它們是非雙曲的。此外,他們還在閉特征個(gè)數(shù)上界小于等于2ρn(∑)-2∞條件下,證明了至少有兩條橢圓閉特征。最近,王嵬證明了R6中的緊凸超曲上的閉特征如果恰好為3條,則至少存在兩條無(wú)理橢圓的閉特征。在已有的研究結(jié)果中,我們知道要證明存在兩條橢圓閉特征,都需要加一個(gè)很強(qiáng)的上界條件,這個(gè)上界條件目前只對(duì)R4中的緊凸超曲面有結(jié)果,對(duì)于任意維數(shù),我們知之甚少,我們?cè)谡撐牡牡诙糠志褪且サ魢?yán)格的上界條件,只在有限性的條件下,得到兩條橢圓閉特征,與此同時(shí)我們進(jìn)一步得到了關(guān)于一些閉特征平均指標(biāo)之比為無(wú)理數(shù)的新性質(zhì)。全文共分為三章。第一章,主要介紹哈密頓系統(tǒng)的周期解及其線性穩(wěn)定性,特別對(duì)本文所要研究的N-體問(wèn)題共形解與緊凸超曲面上閉特征這兩種典型的哈密頓系統(tǒng)周期解進(jìn)行介紹,包括它們的歷史背景,意義以及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀。與此同時(shí)我們給出這些問(wèn)題研究的難點(diǎn)及前人研究方法所遇到的屏障,并指出本論文在這些問(wèn)題上所獲得的突破。這一章包括三節(jié)內(nèi)容,第一節(jié)簡(jiǎn)介哈密頓系統(tǒng)的周期解及其線性穩(wěn)定性,并引出我們要研究的兩個(gè)主要問(wèn)題。第二節(jié)介紹N-體問(wèn)題共形解的相關(guān)知識(shí)并給出我們?cè)诠残谓夥€(wěn)定性研究中獲得的主要結(jié)果。第三節(jié)對(duì)緊凸超曲面上閉特征問(wèn)題進(jìn)行介紹,并給出我們?cè)陂]特征穩(wěn)定性研究中的主要結(jié)果。第二章,我們主要對(duì)N-體問(wèn)題中橢圓共形解的穩(wěn)定性進(jìn)行研究,包括橢圓拉格朗日解,正方形,正1+3形以及強(qiáng)極小中心構(gòu)型共形解的穩(wěn)定性分析。其中拉格朗日解的線性穩(wěn)定性依賴(lài)于兩個(gè)參數(shù),一個(gè)是質(zhì)量參數(shù)β∈[0,9],另一個(gè)是離心率e∈[0,1)。我們利用Maslov型指標(biāo)理論和最近發(fā)展的線性哈密頓系統(tǒng)跡公式為工具,首次給出橢圓拉格朗日解的線性穩(wěn)定區(qū)域和雙曲區(qū)域的定量估計(jì)。進(jìn)一步我們發(fā)展出一種正定估計(jì)技巧,可以用于證明質(zhì)量參數(shù)β在某個(gè)范圍內(nèi),橢圓拉格朗日解對(duì)于任意離心率e∈[0.1)都是雙曲的,這在實(shí)際現(xiàn)象中表現(xiàn)為三個(gè)天體的質(zhì)量在一定范圍內(nèi)取值時(shí),這種周期軌道對(duì)任意離心率都是不穩(wěn)定的。與此同時(shí),利用二階線性算子相關(guān)理論,我們揭示了正方形共形解與橢圓拉格朗日解之間的聯(lián)系,最終證明了正方形共形解對(duì)任意離心率都是雙曲的。利用類(lèi)似的估計(jì)方法,我們還得到了強(qiáng)極小中心構(gòu)型共形解對(duì)任意離心率e∈[0,1)的雙曲性,作為一個(gè)推論我們得到了正1+3形共形解當(dāng)中心質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量u∈[0,(?))時(shí),對(duì)任意離心率它也是雙曲的,這是首次得到三體以上中心構(gòu)型橢圓共形解對(duì)任意離心率的雙曲性結(jié)果。這一章包含四節(jié)內(nèi)容,第一節(jié)給出我們關(guān)于共形解研究的主要結(jié)果,第二節(jié)對(duì)相關(guān)研究工具進(jìn)行介紹,第三節(jié)給出跡公式在橢圓拉格朗日解穩(wěn)定性上的應(yīng)用。第四節(jié)介紹我們發(fā)展的正定估計(jì)技術(shù),用于分析橢圓共形解對(duì)任意離心率的雙曲性。第三章,我們研究緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性。這些閉特征是由緊凸超曲面上一些特殊的向量場(chǎng)生成的閉軌道,它們的存在性,多重性以及穩(wěn)定性是哈密頓系統(tǒng)中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題,它的研究促進(jìn)了變分法以及指標(biāo)理論的發(fā)展。這一部分我們利用龍以明和朱朝峰[38]得到的共同指標(biāo)跳躍定理為工具,建立一些新的指標(biāo)不等式,通過(guò)這些不等式,我們證明了R2n中緊凸超曲面上的閉特征個(gè)數(shù)如果有限,那么一定存在著至少兩條橢圓閉特征,并且至少存在ρn(∑)(ρn(∑)≥[n/2]+1)條閉特征滿(mǎn)足它們其中任意兩條的平均指標(biāo)之比是無(wú)理數(shù),這個(gè)結(jié)果改進(jìn)了龍以明和朱朝峰論文[38]中關(guān)于閉特征穩(wěn)定性與無(wú)理性的那部分結(jié)果,這也是首次僅在閉特征個(gè)數(shù)有限性條件下對(duì)任意維數(shù)得到兩條橢圓閉特征的結(jié)果。這一章包含四節(jié)內(nèi)容。第一節(jié)介紹我們?cè)陂]特征穩(wěn)定性方面所得到的主要結(jié)果。第二節(jié)我們首先介紹龍以明和朱朝峰關(guān)于閉特征的共同指標(biāo)跳躍定理和指標(biāo)不等式,然后我們進(jìn)一步分析共同指標(biāo)跳躍定理并建立一些新的指標(biāo)不等式。第三節(jié)證明我們的主要定理,最后一節(jié)為附錄介紹指標(biāo)迭代理論。
【關(guān)鍵詞】：N-體問(wèn)題 共形解 閉特征 穩(wěn)定性 Malslov型指標(biāo)
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類(lèi)號(hào)】：O175
【目錄】：

• 中文摘要8-12
• 英文摘要12-17
• 符號(hào)說(shuō)明17-18
• 第一章 緒論18-36
• §1.1 哈密頓系統(tǒng)的周期解及其線性穩(wěn)定性18-21
• §1.2 天體運(yùn)動(dòng)中N-體問(wèn)題的共形解21-32
• §1.2.1 N-體問(wèn)題周期解的變分結(jié)構(gòu)及哈密頓形式24
• §1.2.2 共形解的研究方法與研究進(jìn)展24-29
• §1.2.3 本文關(guān)于共形解穩(wěn)定性研究的主要結(jié)果29-32
• §1.3 緊凸超曲面上的閉特征問(wèn)題32-36
• §1.3.1 本文關(guān)于閉特征穩(wěn)定性研究的主要結(jié)果34-36
• 第二章 N-體問(wèn)題中橢圓共形解的穩(wěn)定性研究36-76
• §2.1 本章的主要結(jié)果36-38
• §2.2 研究工具的簡(jiǎn)要介紹38-54
• §2.2.1 Maslov型指標(biāo)理論的簡(jiǎn)要回顧38-43
• §2.2.2 相對(duì)Morse指標(biāo)與譜流43-46
• §2.2.3 跡公式簡(jiǎn)介46-50
• §2.2.4 中心構(gòu)型系統(tǒng)的Meyer-Schmidt辛約化方法50-54
• §2.3 跡公式在拉格朗日解中的應(yīng)用54-65
• §2.3.1 線性哈密頓系統(tǒng)跡公式對(duì)拉格朗日解穩(wěn)定性的分析54-61
• §2.3.2 Sturm-Liouville系統(tǒng)跡公式對(duì)拉格朗日解雙曲性的分析61-65
• §2.4 正定估計(jì)技巧及在共形解雙曲性上的應(yīng)用65-76
• §2.4.1 拉格朗日解與正方形共形解雙曲性的進(jìn)一步分析65-74
• §2.4.2 強(qiáng)極小中心構(gòu)型與正1+3形共形解雙曲性的分析74-76
• 第三章 緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性76-90
• §3.1 本章的主要結(jié)果76-78
• §3.2 指標(biāo)跳躍定理的簡(jiǎn)介及進(jìn)一步討論78-83
• §3.3 主要定理的證明83-87
• §3.4 附錄：閉特征指標(biāo)迭代理論87-90
• 參考文獻(xiàn)90-96
• 致謝96-97
• 讀博期間發(fā)表和完成的論文97-98
• 附件98

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前1條

1 OU YuWei;;Hyperbolicity of elliptic Lagrangian orbits in the planar three body problem[J];Science China(Mathematics);2014年07期

  本文關(guān)鍵詞：N-體問(wèn)題中橢圓共形解與緊凸超曲面上閉特征的穩(wěn)定性研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號(hào)：495998