本文關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微分方程的高階算法及理論分析，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程被廣泛的應(yīng)用于各科學(xué)領(lǐng)域:例如,力學(xué)(粘彈性和粘塑性理論)、生物化學(xué)(聚合物和蛋白質(zhì)模型)、電氣工程(超聲波的傳播)、醫(yī)學(xué)(在機(jī)械負(fù)載下人體組織模型)等.又由于分?jǐn)?shù)階算子的非局部性質(zhì),獲得分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解變得更加的困難(有時(shí)甚至是不可能的),因此怎樣高效的求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值算法成為一個(gè)緊迫的課題.本文由下述五章組成:第一章,簡要回顧了分?jǐn)?shù)階算子的發(fā)展脈絡(luò)及在不同學(xué)科領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用.第二章,由于分?jǐn)?shù)階算子的非局部性質(zhì),分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的高階離散格式相比一階離散格式扮演著更加重要的作用.其顯著的特征是:在保持相同的計(jì)算量條件下,前者極大的提高了算法的精度.本章的核心是:建立空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一類四階精度逼近格式,我們稱之為加權(quán)和位移的Lubich差分(WSLD)算子.然后將其應(yīng)用于求解一維和二維變系數(shù)的空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,并給出了差分格式的無條件穩(wěn)定性及收斂性證明,數(shù)值結(jié)果表明全局截?cái)嗾`差為O(τ2+h4).第三章,我們討論分?jǐn)?shù)階物質(zhì)積分和分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),其中,Ds=??x+σ=D+σ,σ為常數(shù)或者與x無關(guān)的函數(shù),如σ(y);m是不小于μ的最小整數(shù).利用Fourier變換方法和分?jǐn)?shù)階線性多步法探討分?jǐn)?shù)階物質(zhì)微積分的性質(zhì)并導(dǎo)出其離散格式.給出了差分格式的收斂性證明及數(shù)值例子表明全局截?cái)嗾`差為O(hp)(p=1,2,3,4,5).第四章,Feynman-Kac方程是用于描述擴(kuò)散現(xiàn)象的泛函分布規(guī)律的一類偏微分方程.具有概率密度函數(shù)的布朗泛函滿足Feynman-Kac方程,其對應(yīng)于虛時(shí)間方向的Schr¨odinger方程.在研究非布朗泛函或者反常擴(kuò)散現(xiàn)象時(shí),導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程,其中引入了分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義.基于對分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)離散性質(zhì)(第三章)的分析,本章關(guān)注于建立向前和向后的分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程的數(shù)值算法;由于分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是非局部的時(shí)空耦合的算子,相比于經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),將帶來新的挑戰(zhàn).我們用兩種方法(有限差分和有限元法)離散空間導(dǎo)數(shù).對向后的分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程,給出了時(shí)間方向?yàn)橐浑A精度數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性證明.對提供的所有算法,包括向前和向后的分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程的一階和高階格式,數(shù)值例子表明了算法的有效性.第五章,具有時(shí)間分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)和空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的方程描述的是L′evy飛行的泛函分布規(guī)律;基于在無界區(qū)域的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型導(dǎo)出的該方程,它的L′evy飛行的二階矩是發(fā)散的.然而,在更多的實(shí)際問題中,物理區(qū)域是有界的及有關(guān)的觀察是有限矩的.因此改進(jìn)的方式是對L′evy飛行的L′evy測度作截?cái)?它對應(yīng)于回火的(tempered)空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).本章主要關(guān)注于建立改良方程的高階算法,即,具有時(shí)間分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)和空間分?jǐn)?shù)階回火導(dǎo)數(shù)的方程.更具體的說,本章的工作如下:1.在復(fù)空間中,證明了時(shí)間方向?yàn)橐浑A精度,空間方向?yàn)槎A精度算法的穩(wěn)定性及收斂性,這些證明是必要的,因?yàn)槲覀冞�需要對所求方程的泛函分布作逆Fourier變換;2.我們進(jìn)一步討論了時(shí)間和空間方向的高精度格式,并構(gòu)造了對分?jǐn)?shù)階的非齊次邊值/初值條件的數(shù)值格式仍然保持高階精度的處理技術(shù);3.結(jié)合快速多重網(wǎng)格法求解具有Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng);4.對所求方程的數(shù)值解作逆Fourier變換并模擬了物理系統(tǒng),數(shù)值結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了算法的有效性.
【關(guān)鍵詞】：分?jǐn)?shù)階微分方程 分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 分?jǐn)?shù)階回火導(dǎo)數(shù) 高階精度算法 多重網(wǎng)格法 數(shù)值穩(wěn)定性
【學(xué)位授予單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要3-6
• ABSTRACT6-13
• 第一章 引言13-16
• 1.1 研究背景13-16
• 第二章 空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的四階精度格式16-43
• 2.1 空間分?jǐn)?shù)算子的一類四階精度離散格式的導(dǎo)出17-31
• 2.1.1 離散格式的導(dǎo)出17-25
• 2.1.2 空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有效的四階精度逼近25-31
• 2.2 應(yīng)用于空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程31-36
• 2.2.1 一維的數(shù)值格式32-34
• 2.2.2 二維的數(shù)值格式34-36
• 2.3 穩(wěn)定性和收斂性分析36-41
• 2.3.1 一維的穩(wěn)定性及收斂性38-39
• 2.3.2 二維的穩(wěn)定性及收斂性39-41
• 2.4 數(shù)值結(jié)果41-43
• 2.4.1 一維的數(shù)值結(jié)果41-42
• 2.4.2 二維的數(shù)值結(jié)果42-43
• 第三章 分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)及其離散43-71
• 3.1 分?jǐn)?shù)階物質(zhì)微積分的性質(zhì)44-52
• 3.2 分?jǐn)?shù)階物質(zhì)微積分的離散及其收斂階: Fourier變換方法52-57
• 3.3 分?jǐn)?shù)階物質(zhì)微積分的離散及其收斂階: 分?jǐn)?shù)階線性多步法57-67
• 3.4 數(shù)值結(jié)果67-69
• 3.5 附錄69-71
• 第四章 向前和向后的分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程的數(shù)值方法71-104
• 4.1 分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程的有限差分法73-85
• 4.1.1 導(dǎo)出差分格式73-76
• 4.1.2 穩(wěn)定性和收斂性76-85
• 4.2 分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程的有限元方法85-94
• 4.2.1 分?jǐn)?shù)階Feynman-Kac方程的變分85-86
• 4.2.2 半離散格式的穩(wěn)定性和誤差估計(jì)86-90
• 4.2.3 全離散格式的有限元法及誤差估計(jì)90-94
• 4.3 數(shù)值結(jié)果94-99
• 4.3.1 關(guān)于P (x, ρ, t)的數(shù)值結(jié)果94-97
• 4.3.2 以Dirac delta函數(shù)為初始條件的模擬97-99
• 4.4 附錄99-104
• 第五章 截?cái)郘′evy飛行的分?jǐn)?shù)階物質(zhì)導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散方程的高階算法104-136
• 5.1 齊次邊界條件的高階算法106-122
• 5.1.1 有效的空間二階離散格式的導(dǎo)出107-112
• 5.1.2 數(shù)值格式的導(dǎo)出112-115
• 5.1.3 穩(wěn)定性和收斂性分析115-121
• 5.1.4 數(shù)值結(jié)果121-122
• 5.2 非齊次邊界/初始條件的高階算法122-132
• 5.2.1 修正的高階離散格式122-128
• 5.2.2 修正的高階離散格式的收斂階及物理模擬128-132
• 5.3 附錄A132-134
• 5.4 附錄B134-136
• 參考文獻(xiàn)136-142
• 作者攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表的論文142-143
• 致謝143

【共引文獻(xiàn)】

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