本文關(guān)鍵詞：高階導(dǎo)數(shù)方程的數(shù)值算法及其應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文主要工作是應(yīng)用局部間斷有限元方法(LDG)求解偏微分方程及利用基于偏微分方程的正則化算法研究生物醫(yī)學(xué)成像中的去噪問題。主要分成五部分。 第一部分主要研究了具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的量子定向耦合器上的量子傳輸現(xiàn)象的數(shù)值求解問題。這個現(xiàn)象可以由一個靜態(tài)Schrodinger方程來解釋,我們運(yùn)用最小耗散LDG方法來求解該方程。為了保證數(shù)值格式的穩(wěn)定性,本文在邊界數(shù)值流通量上添加懲罰項。此外,量子傳輸本身的物理性質(zhì)決定了其頻率的變化主要在y方向上,因而針對該問題的求解,我們除了應(yīng)用基于多項式基函數(shù)的LDG方法外,還應(yīng)用了基于指數(shù)基函數(shù)的LDG方法來減少計算量。數(shù)值算例驗證了該算法的有效性。 第二部分針對含波動算子的非線性Schrodinger (NLSW)方程給出了守恒的LDG格式。NLSW方程的一個重要性質(zhì)是能量守恒,而非守恒的數(shù)值格式很容易導(dǎo)致數(shù)值解爆破,因此我們在空間上使用LDG方法進(jìn)行離散,而在時間上使用Crank-Nicholson格式進(jìn)行離散,從而得到一個全離散的守恒數(shù)值格式并在理論上給出了能量守恒的嚴(yán)格證明。同時,我們還進(jìn)一步給出了線性情形下半離散LDG方法最優(yōu)誤差估計的證明。數(shù)值結(jié)果證明了守恒數(shù)值格式在長時間數(shù)值模擬中的優(yōu)越性。 第三部分采用高階保正LDG格式求解含有爆破解的拋物方程。對于該類方程,如果初始條件及源項都是正的,則根據(jù)極大值原理,方程的解也是正的,而不加保正限制器的高階格式會導(dǎo)致錯誤的爆破時間和爆破區(qū)間。由于該問題是Dirichlet邊界條件,為了得到最優(yōu)收斂階,我們需要在邊界數(shù)值流通量上添加懲罰項。數(shù)值結(jié)果表明,保正LDG格式能夠準(zhǔn)確捕捉到爆破時間和爆破區(qū)間。 第四部分主要研究基于偏微分方程正則化算法的去噪方法,主要應(yīng)用于乳腺超聲波彈性成像問題。傳統(tǒng)的臨床設(shè)備只能得到較為準(zhǔn)確的軸向(平行于波)位移測算,而對于側(cè)向(垂直于波)的位移測算質(zhì)量是較低的。但是在多種臨床彈性成像應(yīng)用中(如模型重建及溫度成像)同時獲取軸向和側(cè)向的精確超聲波測算位移卻是很重要的。因此,在該問題的研究中,我們主要使用在臨床設(shè)備上獲取的傳統(tǒng)超聲回聲數(shù)據(jù)來提升側(cè)向散斑追蹤的精確度。該算法已被用于計算機(jī)模擬數(shù)據(jù)、組織模擬仿真及人體數(shù)據(jù)測試。 第五部分研究如何減少生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中磁共振成像中的噪音。由于在相位對比磁共振成像中,時域解析的3D(time-resolved3D)相位對比磁共振成像或磁共振造影(PC-MRA/MRI)只用來判定基本的信息,如：臨床環(huán)境下動脈瘤(aneurysm)的尺寸和流率。而計算誤差和潛在的缺陷都會對磁共振的結(jié)果產(chǎn)生不利的影響。但是要表征內(nèi)動脈瘤血液動力學(xué)(intra-aneurismal hemodynamics)中的復(fù)雜流體,則需要更精確的血管成像。因此這里主要采用基于偏微分方程正則化的去噪算法減少噪音。計算機(jī)模擬數(shù)據(jù)驗證了該算法的性能。
【關(guān)鍵詞】：局部間斷有限元方法 二維靜態(tài)Schr(o|")dinger方程 量子傳輸現(xiàn)象 量子定向耦合器 含波動算子的Schr(o|")dinger方程 能量守恒 最優(yōu)誤差估計 保正 爆破解 Diriehlet邊界條件 超聲 彈性成像 散斑追蹤 應(yīng)變力成像 去噪 相位對比磁共振成像 流體不可壓性 正則化
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 摘要5-7
• ABSTRACT7-9
• 目錄9-16
• 第1章 緒論16-24
• 1.1 間斷有限元方法介紹18-20
• 1.2 時間離散方法20
• 1.3 變分方法20-22
• 1.4 本文的工作22-24
• 第2章 二維量子傳輸現(xiàn)象的局部間斷有限元方法24-38
• 2.1 引言24-25
• 2.2 模型問題以及數(shù)值方法25-27
• 2.2.1 模型問題25
• 2.2.2 模型問題的數(shù)值方法25-27
• 2.3 典型的定向量子耦合器上的量子傳輸現(xiàn)象27-30
• 2.3.1 量子傳輸現(xiàn)象的二維靜態(tài)Schrodinger方程28
• 2.3.2 量子傳輸現(xiàn)象的LDG方法28-30
• 2.4 數(shù)值結(jié)果30-35
• 2.5 本章小結(jié)35-38
• 第3章 含波動算子的非線性Schrodinger方程38-66
• 3.1 引言38-39
• 3.2 含波動算子的非線性Schrodinger方程的局部間斷有限元方法39-52
• 3.2.1 復(fù)數(shù)域上的符號表示、內(nèi)積和范數(shù)39-40
• 3.2.2 局部間斷有限元方法40-41
• 3.2.3 能量守恒41-43
• 3.2.4 線性方程的誤差估計43-52
• 3.3 時間離散52-55
• 3.3.1 差分算子52-53
• 3.3.2 時間離散53-55
• 3.3.3 全離散格式的實現(xiàn)55
• 3.4 數(shù)值結(jié)果55-64
• 3.4.1 一維情形55-59
• 3.4.2 二維情形59-62
• 3.4.3 三維情形62-64
• 3.5 本章小結(jié)64-66
• 第4章 具有爆破解的拋物方程66-88
• 4.1 引言66-68
• 4.2 保正高階的局部間斷有限元方法68-78
• 4.2.1 一維情形68-74
• 4.2.2 二維情形74-78
• 4.3 數(shù)值結(jié)果78-85
• 4.3.1 一維情形78-82
• 4.3.2 二維情形82-85
• 4.4 本章小結(jié)85-88
• 第5章 乳腺超聲波彈性成像去噪88-102
• 5.1 引言88-90
• 5.2 材料和方法90-93
• 5.2.1 理論背景90
• 5.2.2 去噪算法的實現(xiàn)90-92
• 5.2.3 應(yīng)變測算92
• 5.2.4 實驗驗證92-93
• 5.2.5 數(shù)據(jù)分析93
• 5.3 結(jié)果93-95
• 5.3.1 數(shù)值模型結(jié)果93-94
• 5.3.2 組織模擬模型數(shù)據(jù)結(jié)果94
• 5.3.3 體內(nèi)乳腺組織數(shù)據(jù)結(jié)果94-95
• 5.4 討論95-100
• 5.5 本章小結(jié)100-102
• 第6章 磁共振成像去噪102-110
• 6.1 引言102-103
• 6.2 材料和方法103-108
• 6.2.1 PC-MRA數(shù)據(jù)獲取104
• 6.2.2 線下數(shù)據(jù)進(jìn)程104-105
• 6.2.3 基于偏微分方程去噪算法的理論背景105-106
• 6.2.4 計算機(jī)合成數(shù)據(jù)的產(chǎn)生106-107
• 6.2.5 壁剪應(yīng)力及相對血壓估計107
• 6.2.6 數(shù)據(jù)分析107-108
• 6.3 結(jié)果108
• 6.4 本章小結(jié)108-110
• 第7章 總結(jié)與展望110-112
• 7.1 總結(jié)110
• 7.2 展望110-112
• 附錄112-118
• A.1 透明邊界112-113
• A.2 二維情形下最優(yōu)問題的解113-115
• A.3 三維情形下最優(yōu)問題的解115-117
• A.4 壁剪應(yīng)力估計和相對血壓問題的計算117-118
• A.4.1 壁剪應(yīng)力估計117
• A.4.2 相對血壓問題的計算117-118
• 參考文獻(xiàn)118-132
• 致謝132-134
• 攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文134

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前3條

1 ;Global Existence and Uniqueness of Weak Solution to Nonlinear Viscoelastic Full Marguerre-von Kármán Shallow Shell Equations[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2009年12期

2 ;Parabolic Equations with VMO Coefficients in Generalized Morrey Spaces[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2010年01期

3 ;MULTISYMPLECTIC FOURIER PSEUDOSPECTRAL METHOD FOR THE NONLINEAR SCHR■DINGER EQUATIONS WITH WAVE OPERATOR[J];Journal of Computational Mathematics;2007年01期

  本文關(guān)鍵詞：高階導(dǎo)數(shù)方程的數(shù)值算法及其應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號：388110