本文關(guān)鍵詞：黎曼流形上外微分形式理論在A-調(diào)和方程中的應(yīng)用研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：黎曼流形上的外微分形式理論在黎曼流形的大范圍分析理論、偏微分方程、物理學(xué)和力學(xué)等學(xué)科中扮演著十分重要的角色。A-調(diào)和方程是一類二階擬線性橢圓偏微分方程,它在位勢(shì)理論、流體力學(xué)、彈性理論、相對(duì)論、電磁場(chǎng)、塑性力學(xué)、微分幾何以及幾何函數(shù)論等許多領(lǐng)域中都有著非常廣泛的應(yīng)用。因此在外微分形式理論的基礎(chǔ)上研究A-調(diào)和方程具有十分重要的意義。本文主要研究黎曼流形上用外微分形式理論描述的A-調(diào)和方程及其在帶邊黎曼流形上的廣義Dirichlet邊值問題、障礙問題和變分問題,研究工作包括以下四個(gè)方面:首先,由于A-調(diào)和方程本身的散度結(jié)構(gòu),利用算子理論研究解的性質(zhì)。應(yīng)用黎曼流形上的Morrey引理和等周型不等式本文建立了A-調(diào)和張量在黎曼流形緊子集上的H¨older連續(xù)性估計(jì)。其次,在帶邊黎曼流形上考慮A-調(diào)和方程的廣義Dirichlet邊值問題。在其可解的基礎(chǔ)上,證明了解的積分估計(jì)和弱逆H¨older不等式。定義了外微分形式序列的弱收斂并證明了解關(guān)于非齊次項(xiàng)的穩(wěn)定性。然后,根據(jù)A-調(diào)和張量的定義表達(dá)式以及A算子的性質(zhì)可知,我們可以考慮低于自然可積指數(shù)的弱A-調(diào)和張量。本文證明了黎曼流形上的Poincar′eSobolev不等式,并結(jié)合Rn上Lp外微分形式的Hodge分解定理在Rn的開子集?上建立了弱A-調(diào)和張量的弱逆H¨older不等式。又基于A-調(diào)和方程與障礙問題的緊密聯(lián)系,本文在Rn的有界正則域?上討論了其廣義邊值問題的??r,θ?,ψ-障礙問題。證明了其很弱解的存在唯一性和擬極小化??r,θ?,ψp?,Λl′1q上r-Dirichlet積分的性質(zhì),并建立了很弱解關(guān)于障礙外微分形式的穩(wěn)定性。最后,注意到A-調(diào)和方程具有變分結(jié)構(gòu),還可以應(yīng)用變分方法來討論解的存在性。本文將變分方法推廣到外微分形式空間,在向量值外微分形式空間上建立了相關(guān)泛函的極值問題并證得了其極小值點(diǎn)的存在性。這也是外微分形式理論的又一個(gè)重要的應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】：A-調(diào)和方程 黎曼流形 外微分形式 障礙問題 變分問題
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O186.12
【目錄】：

• 摘要4-5
• ABSTRACT5-11
• 第1章 緒論11-25
• 1.1 黎曼流形上的外微分形式理論11-18
• 1.2 黎曼流形上外微分形式的A-調(diào)和方程18-23
• 1.2.1 研究背景19-20
• 1.2.2 研究現(xiàn)狀20-23
• 1.3 本文的主要內(nèi)容與結(jié)構(gòu)23-25
• 第2章 黎曼流形上外微分形式的Lp理論25-37
• 2.1 廣義外微分25-30
• 2.2 外微分形式空間中的弱收斂30-32
• 2.3 帶邊黎曼流形上的非線性Hodge理論32-36
• 2.4 本章小結(jié)36-37
• 第3章 黎曼流形上的擬線性橢圓方程37-50
• 3.1 記號(hào)與準(zhǔn)備工作37-42
• 3.1.1 黎曼流形上的Sobolev嵌入定理38-40
• 3.1.2 黎曼流形上的Morrey引理40-42
• 3.2 A-調(diào)和張量的H ¨older連續(xù)性42-45
• 3.3 弱A-調(diào)和張量的弱逆H ¨older不等式45-49
• 3.4 本章小結(jié)49-50
• 第4章 帶邊黎曼流形上的廣義Dirichlet邊值問題50-67
• 4.1 記號(hào)與準(zhǔn)備工作50-51
• 4.2 廣義Dirichlet邊值問題51-58
• 4.2.1 積分估計(jì)52-53
• 4.2.2 解的穩(wěn)定性53-55
• 4.2.3 弱逆H ¨older不等式55-58
• 4.3 障礙問題的很弱解58-66
• 4.3.1 存在性與唯一性59-62
• 4.3.2 擬極小值點(diǎn)62-64
• 4.3.3 穩(wěn)定性64-66
• 4.4 本章小結(jié)66-67
• 第5章 外微分形式的變分67-81
• 5.1 記號(hào)及引理67-68
• 5.2 弱下半連續(xù)性68-76
• 5.2.1 凸性與弱下半連續(xù)性68-69
• 5.2.2 非凸性與弱下半連續(xù)性69-76
• 5.3 極小值點(diǎn)的存在性76-77
• 5.4 應(yīng)用77-80
• 5.5 本章小結(jié)80-81
• 結(jié)論81-82
• 參考文獻(xiàn)82-90
• 攻讀博士學(xué)位期間已發(fā)表和已投出的論文90-92
• 致謝92-93
• 個(gè)人簡(jiǎn)歷93

【共引文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：359374