本文研究了兩類帶擬周期強迫的非線性方程,其強迫的頻率是Liouville頻率.我們利用KAM迭代的方法構(gòu)造了方程的響應(yīng)解,也就是頻率與強迫頻率相一致的擬周期解.誕生于上世紀五六十年代的KAM理論是研究微分方程擬周期解的一種有效方法.在1954年,A.N.Kolmogorov首次提出可以利用Newton快速迭代法和Diophantine條件來克服“小除數(shù)問題”,并且指出非退化可積系統(tǒng)的大多數(shù)不變環(huán)面在微小的擾動下可以保持下來,其上的運動是頻率滿足Diophantine條件的擬周期運動.之后,V.I.Arnold和J.K.Moser分別在實解析和有限次可微的情形給出了嚴格的數(shù)學證明.因此,KAM定理是以這三位數(shù)學家命名的.之后,W.Craig,C.Wayne,S.Kuksin,J.Poschel 和 J.Bourgain 等數(shù)學家將其進一步發(fā)展并推廣應(yīng)用到偏微分方程,使得KAM理論成為了一套研究偏微分方程不變環(huán)面（擬周期解）的存在性及其線性穩(wěn)定性問題的強有力工具.KAM理論可以用于研究帶有擬周期強迫項的方程的擬周期解.在有界擾動的情形,L.Jiao和Y.Wang在2009年構(gòu)造了帶擬周期強... 

【文章來源】：山東大學山東省 211工程院校 985工程院校 教育部直屬院校

【文章頁數(shù)】：127 頁

【學位級別】：博士

【文章目錄】：
中文摘要
英文摘要
符號說明
第一章 緒論
    §1.1 Hamilton系統(tǒng)
        1.1.1 Hamilton向量場的概念和性質(zhì)
        1.1.2 典則坐標變換
        1.1.3 可積Hamilton系統(tǒng)
    §1.2 經(jīng)典的KAM理論簡介
    §1.3 低維不變環(huán)面的KAM理論
        1.3.1 有限維Hamilton系統(tǒng)的低維不變環(huán)面
        1.3.2 無窮維Hamilton系統(tǒng)的KAM環(huán)面
        1.3.3 具有Liouville頻率的擬周期解
    §1.4 本文研究的主要內(nèi)容
第二章 帶Liouville頻率強迫的復Ginzburg-Landau方程的響應(yīng)解
    §2.1 預(yù)備知識
        2.1.1 范數(shù)及一些定義和符號
        2.1.2 無理數(shù)的連分數(shù)展開
    §2.2 一個抽象的KAM定理
    §2.3 同調(diào)方程及其解
        2.3.1 推導同調(diào)方程
        2.3.2 求解同調(diào)方程
    §2.4 定理2.2.1的證明
        2.4.1 有限步的歸納引理
        2.4.2 一步KAM迭代
        2.4.3 KAM過程的迭代引理
        2.4.4 收斂性和測度估計
    §2.5 定理2.0.1的證明
第三章 帶高維Liouville頻率強迫的調(diào)和振子的響應(yīng)解
    §3.1 預(yù)備知識和KAM定理
        3.1.1 預(yù)備知識
        3.1.2 有限維KAM定理
    §3.2 定理3.1.1的證明
        3.2.1 證明思路
        3.2.2 迭代序列
        3.2.3 同調(diào)方程及其近似解
        3.2.4 迭代引理
        3.2.5 引理3.2.7的證明
        3.2.6 收斂和測度估計
    §3.3 定理3.0.1的證明
    §3.4 附錄
第四章 技術(shù)引理
參考文獻
致謝
讀博期間發(fā)表和完成的論文
學位論文評閱及答辯情況表



本文編號：3505196