本文關(guān)鍵詞：二階正倒向隨機(jī)微分方程的高精度數(shù)值方法及其應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：正倒向隨機(jī)微分方程理論得到了國(guó)際學(xué)術(shù)界廣泛的注意和深入研究,不同形式的FBSDE的理論得到迅猛的發(fā)展.1990年,Pardoux和Peng [57]首次證明了非線性BSDE解的存在性和唯一性,并首次給出BSDE和拋物型偏微分方程之間的表達(dá)關(guān)系,推廣了Feynman-Kac公式的范疇.至此,關(guān)于BSDE理論大量豐富的研究開始涌現(xiàn),并發(fā)展成為隨機(jī)分析理論中的重要分支.國(guó)際上,正倒向隨機(jī)微分方程理論也隨著正向隨機(jī)微分方程和倒向隨機(jī)微分方程的的發(fā)展得到了廣泛深入的理論和應(yīng)用研究FBSDE的研究結(jié)果,在諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,如金融數(shù)學(xué),隨機(jī)控制,博弈論,偏微分方程理論,風(fēng)險(xiǎn)度量、航空定位、金融決策、期權(quán)定價(jià)等等.FBSDE與PDE的關(guān)系可以使得半線性和擬線性PDE的解有一個(gè)非常有意思的概率表示,這推廣了關(guān)于線性拋物型PDE的Feynman-Kac公式.例如Zhang [87], Bouchard和Touzi [10]等.基于這種思想,可以啟發(fā)構(gòu)造求解PDE的概率表示.但是,跟標(biāo)準(zhǔn)FBSDE能夠產(chǎn)生關(guān)連的PDE的關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不會(huì)是非線性的,因?yàn)橥ㄟ^It6公式只能產(chǎn)生線性的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng).Cheridit o, Soner, Touzi和Victor [13]引入一種新的FBSDE,他的生成子f依賴于二次項(xiàng),作者將其稱為二階BSDE,并指出他們跟全非線性拋物型PDE的關(guān)系.這拓寬了隨機(jī)方程跟偏微分方程有關(guān)系的區(qū)域.二階正倒向隨機(jī)微分方程(2FBSDEs)在諸多產(chǎn)業(yè)實(shí)際領(lǐng)域中可以發(fā)揮重要作用,如資本投資預(yù)算、風(fēng)險(xiǎn)度量、航空定位、金融決策、期權(quán)定價(jià)等.然而大多時(shí)候,這類正倒向隨機(jī)微分幾乎不會(huì)有解析的顯式解,因此,FBSDE和2FBSDE的科學(xué)計(jì)算方法的研究,對(duì)更深入地理解隨機(jī)微分方程的正倒向運(yùn)作機(jī)理、推動(dòng)正倒向隨機(jī)微分方程的計(jì)算理論發(fā)展,加快拓寬正倒向隨機(jī)微分方程理論在金融經(jīng)濟(jì)科學(xué)和自然科學(xué)各領(lǐng)域的應(yīng)用都具有十分重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.2006年,Zhao,Chen,Peng [89]提出一種求解一般BSDE的全新格式-θ格式.在給定的任意時(shí)空剖分,用θ格式求解BSDEs在相應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)上的值,條件期望采用蒙特卡羅方法來計(jì)算.最初的這篇文章只使用數(shù)值算例進(jìn)行了計(jì)算,沒有對(duì)誤差進(jìn)行嚴(yán)格的估計(jì).在2012年,Zhao,Li,Zhang [92]給出了求解一般類型的BSDE的θ格式,并證明了對(duì)解(Yt,Zt)都是二階.2014年,Zhao, ZhangW.,Ju[81]給出基于正交多項(xiàng)式的非耦合FBSDE的多步格式,格式的階依賴于正向方程離散格式的選擇,正向方程用Euler格式時(shí)只能達(dá)到弱1階.2014年Zhao,Fu,Zhou [90]提出求解耦合FBSDE的高階多步格式,我們特別提到這篇文章,作者用數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明格式的高階收斂性,這是在關(guān)于FBSDE的數(shù)值格式中,首次出現(xiàn)高階格式.全非線性PDE的高效求解問題一直是個(gè)世界難題,一直以來比較難以構(gòu)造穩(wěn)定高效的數(shù)值方法,目前關(guān)于該方向的研究結(jié)果也不多,已有的文獻(xiàn)基本主要關(guān)注解決高維問題,但收斂精度卻并不理想.本論文在國(guó)際上首次使用隨機(jī)的方法,研究全非線性拋物型PDE的數(shù)值解法問題,并得到高收斂性結(jié)果.本論文主要從二階正倒向隨機(jī)微分方程的特性出發(fā),結(jié)合確定性科學(xué)計(jì)算理論,系統(tǒng)研究非耦合二階正倒向隨機(jī)微分方程,耦合二階正倒向隨機(jī)微分方程的高階高精度數(shù)值解法.本文主要提出兩種求解二階正倒向隨機(jī)微分方程的高階高精度方法-多步法(見第3章)和一種全新的延遲矯正法(見第5章)。受啟發(fā)于全非線性拋物型偏微分方程和二階正倒向隨機(jī)微分方程所具有的關(guān)系,研究全非線性拋物型偏微分方程的隨機(jī)高階解法(見第4章)。我們通過數(shù)值模擬分析格式的收斂性情況,并研究所提方法在金融隨機(jī)控制等方面的應(yīng)用.多步法的特性是正向方程采用簡(jiǎn)單的Euler格式,大大降低計(jì)算的復(fù)雜度,同時(shí)倒向方程卻依然保持高階收斂特性.延遲矯正算法(簡(jiǎn)稱DC方法)是一種研究2FBSDE司題的全新格式.這種算法的迷人之處在于,他只需要低階的數(shù)值初始格式,通過迭代,可以加速收斂得到高階格式.該方法一方面使用低階單步格式,即減少了計(jì)算的復(fù)雜度,又降低了求解方程所需的終端信息(只需終端一層即可)；另一方面,DC方法通過不斷迭代,加速數(shù)值解的收斂速度,得到高階收斂格式.本論文的主要組織結(jié)構(gòu)如下.第一章,介紹我們所研究的主要問題背景及其發(fā)展.第二章,介紹了SDE解的存在惟一性定理,講述了擴(kuò)散過程及其生成子的性質(zhì),列舉了SDE數(shù)值常見數(shù)值格式,以及二階FBSDE解的正則性.并介紹了高斯積分公式.第三章,研究二階正倒向隨機(jī)微分方程的多步格式.作者對(duì)2FBSDE展開了研究.并在合理的條件下,提出關(guān)于2FBSDE的高階數(shù)值格式.該格式相較于2010年Zhao,Zhang G.,Ju [94],2014年Zhao.Zhang W.,Ju [81]提出的多步格式而言,本章所提格式具有更高階收斂性,且高階收斂性不依賴于正向方程離散的格式.在本章,我們首先通過條件數(shù)學(xué)期望及鞅理論,引出參考方程；對(duì)條件期望求導(dǎo)數(shù),利用對(duì)導(dǎo)數(shù)的多步逼近格式,對(duì)條件期望的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散；用高斯積分公式準(zhǔn)確條件期望,對(duì)于不能恰好落于網(wǎng)格點(diǎn)中的值,我們用插值算子對(duì)已知信息進(jìn)行插值求得；進(jìn)而通過數(shù)值分析的工具,提出高精度格式,并分析了格式的收斂性。本章創(chuàng)新之處：1.首次獲得一種穩(wěn)定的求解2FBSDE的高階收斂格式.2.格式中2FBSDE解具有高階收斂性,可以達(dá)到k≤6階,其高階性與正向方程是否選擇高階格式無關(guān).3.正向方程選取最簡(jiǎn)單的Euler格式進(jìn)行計(jì)算,既使得格式形式簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn),大大降低計(jì)算的復(fù)雜度,同時(shí)又不會(huì)影響我們所關(guān)心的2FBSDE解的高階收斂性.4.對(duì)求解耦合與非耦合的2FBSDE進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn),并應(yīng)用到大量算例中.驗(yàn)證格式的收斂性.本章內(nèi)容來自于：Tao Kong, Weidong Zhao and Tao Zhou, High-Order Multistep Schemes for Solving Second-Order Forward Backward Stochastic Differential Equations, SI AM on Control and Optimization. arXiv:1502.03206 已投稿第四章,主要研究拋物型二階全非線性PDE的高階隨機(jī)算法.學(xué)術(shù)界對(duì)PDE的隨機(jī)表示及其隨機(jī)算法,一直以來都興趣十足.然而全非線性PDE提出高效數(shù)值解法一直以來都因?yàn)槠浞蔷�性的特性而困難重重,已有文獻(xiàn)對(duì)全非線性PDE的研究主要處理PDE的高維問題,對(duì)收斂階卻一直都沒有較滿意的結(jié)果.本章在第三章的啟發(fā)下,嘗試通過隨機(jī)的方法解決這個(gè)難題,得到處理非線性PDE的高階隨機(jī)格式.本章創(chuàng)新之處：1.首次用隨機(jī)微分方程的思想,提出解決全非線性PDE的隨機(jī)數(shù)值格式.2.我們提出的格式,在處理拋物型全非線性PDE時(shí),具有高階收斂性,可達(dá)k≤6階,這是一個(gè)很好的結(jié)果.3.對(duì)求解拋物型PDE的隨機(jī)高階格式進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn),用大量例子驗(yàn)證了展示的格式的高階特性.該方法可以用來求解HJB方程.本章內(nèi)容來自于：Tao Kong, Weidong Zhao and Tao Zhou, Probabilistic High Order Numerical Schemes for Fully Nonlinear Parabolic PDEs, Communications in Computational Physics,2015, Vol 18, pp 1482-1503.第五章,在本章,我們提出一種求解二階正倒向隨機(jī)微分方程的新的數(shù)值格式-延遲矯正法(DC格式).延遲矯正格式在ODE領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展多年,在數(shù)值和理論上都取得不錯(cuò)的進(jìn)展.然而,隨機(jī)方程與確定方程有本質(zhì)的區(qū)別。在本章,我們推廣該格式的外延,將其推廣到求解2FBSDE的問題,得到具有很好收斂結(jié)果的格式.DC方法是一種效率高的優(yōu)秀算法,利用隨機(jī)分析理論和科學(xué)計(jì)算理論,構(gòu)造關(guān)于2FBSDEs的解的插值函數(shù),并據(jù)此構(gòu)建誤差函數(shù)；依據(jù)條件期望和2FBSDE的理論,導(dǎo)出誤差函數(shù)應(yīng)該滿足的參考方程；利用擴(kuò)散過程生成子等隨機(jī)分析工具及科學(xué)計(jì)算理論,對(duì)誤差函數(shù)的參考方程進(jìn)行求解.得到關(guān)于誤差函數(shù)的(低階)格式；結(jié)合誤差函數(shù)和原方程的格式,對(duì)原方程的結(jié)果延遲矯正,提出求解2FBSDE的高階收斂DC格式.本章創(chuàng)新之處：1.這是一個(gè)新的用于研究二階FBSDE的高階格式.2.對(duì)方程的初始估計(jì)采用低階Euler格式,使得計(jì)算簡(jiǎn)便可行;但同時(shí)通過延遲矯正,加速收斂,提高解的收斂性.3.該方法本身對(duì)必須的終端信息要求非常少,只需要終端時(shí)刻一層信息即可.這可為其他對(duì)終端信息要求較多的方法提供初始值.本章內(nèi)容來自于Weidong Zhao and Tao Kong, The Deferred Correction Method for 2nd-order FBSDEs with High Accuracy.我們列出本論文中得到的主要結(jié)論如下在第三章：首先利用隨機(jī)分析的工具,基于方程解的適應(yīng)性,將二階隨機(jī)微分方程的求解轉(zhuǎn)化為確定的參考方程ODE.構(gòu)造一個(gè)新的擴(kuò)散過程X,基于該過程,大大簡(jiǎn)化計(jì)算的復(fù)雜度.利用利用隨機(jī)分析和確定性科學(xué)計(jì)算的理論,構(gòu)造出求解2FBSDE的多步法數(shù)值格式.本章的最后一節(jié),針對(duì)不同類型2FBSDE,全面的驗(yàn)證所提格式,對(duì)于k次多步法,具有穩(wěn)定的k階收斂(1≤k≤6).相對(duì)于文獻(xiàn)中存在的格式大多是0.5,1.0,2.0階的情況,這是一個(gè)很振奮的結(jié)果.首先考慮下面的非耦合二階正倒向隨機(jī)微分方程：考慮如下非耦合2FBSDE給定終端條件YT=g(XT)我們有下面的結(jié)論：命題0.1.假設(shè)u=u(t,x)滿足下述全非線性偏微分方程Lu+f(t,x,u,%絰uσ,%絰(%絰uσ)σ=0, u(T,x)=g(x).令(Xt,Yt,Zt,rt,At)是2FBSDE(3.6)的一組解.則有Yt=u(t,Xt), Zt=(%絰uσ)(t,Xt), rt=(%絰(%絰uσ)σ)(t,Xt), At=(L(%絰uσ))(t,Xt).其中,算子L由(2.6)定義.我們引入新的擴(kuò)散過程并據(jù)此提出求解2FBSDE的半離散格式格式0.1.假設(shè)隨機(jī)變量YN-i和ZN-i,i=0,1,…,k-1已知.當(dāng)n=N-k,…,0,Xttn,Xn為方程(4.14)的解,按下述方法求解Yn=Yn(Xn),Zn=Zn(Xn),An=An(Xn)以及Γn=rn(Xn)其中Yn+j和Zn+j為Yn+j、Zn+j在空間點(diǎn)xttn+jtn,Xn處的值.之后,我們引入全離散格式,對(duì)時(shí)空[0,T]×Rm進(jìn)行整體離散Dh：={Dhnn}n=0,1,…,N,引入數(shù)值積分算子En,x[.]和插值算子ⅡD,xn,我們給出求解2FBSDE的全離散格式格式0.2.假設(shè)變量YN-i和ZN-i在DhN-i,i=0,1,…,k-1上的值已知,對(duì)于n=N-k,…,0,對(duì)任意x∈Dhn,通過下式求解Xn,Yn,Zn,An和rn：我們提出求解耦合FBSDE的全離散格式如下：格式0.3.假設(shè)隨機(jī)變量yN-i,ZN-i和ΓN-i在DhN-i,i=0,1,…,k-1,上面的值已知.l是當(dāng)前迭代次數(shù),yn,l,Zn,l,An,l和Γn,l為第l次迭代的數(shù)值解.當(dāng)n=N-k,…,0,對(duì)任意x∈Dnh,如下求解yn,Zn,An和Γn1.由yn+1,Zn+l和Γn+1初始化Yn,0,Zn,0和Γn,0,即Yn,0=Yn+1(x),Zn,0=Zn+1(x),Γn,0=Γn+1(x);2.對(duì)l=0,1,…,如下求解Yn,1+1,Zn,1+1,An,1+1 Γn,1+1;3.設(shè)定(Yn,Zn,Γn,An)的值為(Yn,1+1,Zn,1+1,An,1+1,Γn,1+1).第四章：全非線性PDE的高效解法一直以來是個(gè)世界性難題.我們推導(dǎo)出2FBSDE與全非線性拋物型PDE的關(guān)系,在此基礎(chǔ)之上,我們構(gòu)建用于求解拋物型二階全非線性PDE的隨機(jī)算法.據(jù)我們所知,這是國(guó)際上首次從隨機(jī)微分方程的角度來求解拋物型二階全非線性PDE.我們將格式應(yīng)用到不同類別的PDE之上,結(jié)果顯示對(duì)于求解PDE的隨機(jī)k次多步法格式,有穩(wěn)定的k次收斂.計(jì)算結(jié)果非常精確.本章,我們考慮如下形式的拋物型二階全非線性PDE其中u(.,.):[0,T]×Rm→R,Du(x)和D2u(x)分別代表u關(guān)于x的梯度和Hessian陣.我們給出如下隨機(jī)格式格式0.4.在時(shí),給定{un(x)和Zn(x)=σ(tn,x)%絬n(x). 當(dāng)n=n-k,…,0,對(duì)任意x∈Dhnn,如下求解 un=uun(x) un=Yn, (0.2)其中yn按如下格式求解第五章,我們研究一種新型的二階正倒向隨機(jī)微分方程的高階高精度數(shù)值格式—經(jīng)典延遲矯正算法(簡(jiǎn)稱DC方法).這種算法的迷人之處在于,他只需要低階的數(shù)值初始格式,通過迭代,可以加速收斂得到高階格式.我們分別對(duì)耦合和非耦合2FBSDE提出DC算法.不同類型的方程的數(shù)值結(jié)果表明,DC算法可以將低階格式通過迭代延遲矯正加速收斂至高階。首先對(duì)于非耦合2FBSDE,我們給出半離散的DC方法：算法0.1(延遲矯正算法).假設(shè)YK,ZK已知.在內(nèi)剖分τi上求解yn,Zn,rn以及An.1.(初始值.)在時(shí)間區(qū)間[τi,τi+1]上,對(duì)n=K-1,…,0,通過格式(5.32)求解yn[0],Zn[0],rn[0]以及An[0].其中yK[0]和ZK[o]分別由yK和ZK給出.2.(延遲矯正.)由下述規(guī)則,迭代矯正數(shù)值解Yn,Zn,Γn,AnNc次.1≤2≤ Nc.·誤差過程.對(duì)n=K-1,…,0通過格式(5.33)求解δYn[l],δZn[l],δΓn[l]和6An[l].其中δyK[l]=0.δZK[l]=0.·通過誤差過程的數(shù)值結(jié)果更新數(shù)值解Yn[l],Zn[l],Γn[l] and An[l]3.最后,取Yn=Yn[Nc],Zn=Zn[Nc],Γn=Γn[Nc] 以及An=An[Nc], n=0…,K.對(duì)時(shí)空[0,T]×Rm進(jìn)行整體離散Dh:={Dhnn}n=0,1,...N,引入數(shù)值積分算子En,x[.]和插值算子ⅡD,xn,我們給出求解2FBSDE的全離散DC算法的描述.算法0.2(全離散延遲矯正法).給定[0,T]上的時(shí)間剖分τ(5.2).假設(shè)只有終端值YT,ZT已知.每一個(gè)時(shí)間區(qū)間[τi,τi+1]都有內(nèi)剖分τi(5.3),按下述規(guī)則逐區(qū)[τi,τi+1]求解yn,Zn,rn以及An.1.(初始估值.)對(duì)所有xj∈Dn及n=K-1,...,0按下式在Xn=xj處求yn,Zn,rn以及An其中yK和ZK由上一個(gè)時(shí)間區(qū)間h+1,τi+2]的初始值y0和Z0來設(shè)定.對(duì)于最有一個(gè)時(shí)間區(qū)間,即為給定的終端值YT和ZT.將Yn,Zn,Γn和An設(shè)為Yn[0],Zn[0],Γn[0]和An[0].2.(延遲矯正.)對(duì)于第l次迭代矯正,1≤l≤Nc,按下述規(guī)則矯正數(shù)值解·誤差過程.按下述規(guī)則求δYn[l],δZn[l],δΓn[l],δAn[l],n=K-1,...,0其中δYK[l]=0,δzK[l]=0.·用新求得的誤差過程的數(shù)值解更新Yn[l],Zn[l],Γn[l]和An[l]3.最后,設(shè)Yn=Yn[Nc],Zn=Zn[Nc],Γn=Γn[Nc]and An=An[Nc].最后,我們提出針對(duì)耦合2FBSDE的全離散延遲矯正格式：算法0.3(耦合全離散延遲矯正法).給定[0,T]上的時(shí)間剖分τ(5.2).假設(shè)只有終端值YT,ZT已知.每一個(gè)時(shí)間區(qū)間[τi,Ti+1]都有內(nèi)剖分τi(5.3),按下述規(guī)則逐區(qū)[τi,τi+1]求解Yn,Zn,Γn and An.1.(初始估值.)對(duì)所有xj∈Dn及n=K-1,...,0按下式Xn=xj處求Yn,Zn,Γn和An其中YK和zK由上一個(gè)時(shí)間區(qū)間[τi+1,τi+2]的初始值Y0和Z0來設(shè)定.對(duì)于最有一個(gè)時(shí)間區(qū)間,即為給定的終端值YT和ZT.將Yn,Zn,Γn和An設(shè)為Yn[0],Zn[0],Γn[0]和An[0].2.(延遲矯正.)對(duì)于第l次迭代矯正,1≤l≤Nc,按下述規(guī)則矯正數(shù)值解·誤差過程.按下述規(guī)則求δYn[l],δZn[l],δΓn[l],δAn[l],n=K-1,...,0·用新求得的誤差過程的數(shù)值解更新Yn[l],Zn[l],Γn[l]和An[l]3.最后,設(shè)Yn=Yn[Nc],Zn=Zn[Nc],Γn=Γn[Nc] and An=An[Nc].
【關(guān)鍵詞】：二階正倒向隨機(jī)微分方程 耦合正倒向隨機(jī)微分方程 拋物型全非線性二階偏微分方程 數(shù)值格式 高階收斂
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.8
【目錄】：

• 中文摘要6-18
• 英文摘要18-30
• 符號(hào)說明30-31
• 第一章 引言31-37
• 第二章 預(yù)備知識(shí)37-43
• §2.1 SDE的性質(zhì)37-39
• §2.2 SDE的數(shù)值格式39-40
• §2.3 數(shù)值格式的收斂性40
• §2.4 2FBSDE解的正則性40-41
• §2.5 高斯積分41-43
• 第三章 二階正倒向隨機(jī)微分方程的多步法43-67
• §3.1 ODE的導(dǎo)數(shù)逼近44-46
• §3.2 非耦合2FBSDEs的數(shù)值格式46-54
• §3.2.1 參考方程47-48
• §3.2.2 半離散格式48-51
• §3.2.3 全離散格式51-54
• §3.3 耦合2FBSDE的數(shù)值格式54-56
• §3.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)56-67
• §3.4.1 在隨機(jī)最優(yōu)控制中的應(yīng)用62-67
• 第四章 拋物型二階全非線性PDE的隨機(jī)算法67-83
• §4.1 2PDE的隨機(jī)表示形式68-69
• §4.2 2PDE的數(shù)值格式69-74
• §4.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)74-83
• 第五章 二階正倒向隨機(jī)微分方程的延遲矯正算法83-105
• §5.1 DC方法簡(jiǎn)述84-85
• §5.2 參考方程85-87
• §5.2.1 原方程的參考方程85-86
• §5.2.2 誤差函數(shù)的參考方程86-87
• §5.3 非耦合2FBSDE離散格式87-95
• §5.4 推廣到耦合的情形95-96
• §5.5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)96-105
• 參考文獻(xiàn)105-115
• 致謝115-117
• 發(fā)表及完成論文117-118
• 學(xué)位論文評(píng)閱及答辯情況表118

【共引文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前1條

1 趙衛(wèi)東;;正倒向隨機(jī)微分方程組的數(shù)值解法[J];計(jì)算數(shù)學(xué);2015年04期

中國(guó)博士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前3條

1 張微;非耦合、弱耦合正倒向隨機(jī)微分方程的高階數(shù)值方法及誤差估計(jì)[D];山東大學(xué);2014年

2 魏文寧;倒向隨機(jī)方程及其應(yīng)用中的新結(jié)果[D];復(fù)旦大學(xué);2012年

3 張伏;路徑依賴的隨機(jī)最優(yōu)控制與微分對(duì)策[D];復(fù)旦大學(xué);2013年

中國(guó)碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前2條

1 張瀚文;量化分析我國(guó)電子商務(wù)上市公司信用風(fēng)險(xiǎn)及其演變過程[D];山東大學(xué);2014年

2 孫豹;g-期望性質(zhì)的研究[D];中國(guó)礦業(yè)大學(xué);2014年

  本文關(guān)鍵詞：二階正倒向隨機(jī)微分方程的高精度數(shù)值方法及其應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號(hào)：308933