本文關(guān)鍵詞：哈密頓—雅克比方程的數(shù)值解法，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：首先，我們研究了哈密頓-雅克比方程的數(shù)值解法。 一般而言，即使對于具有光滑數(shù)據(jù)的哈密頓-雅克比方程，，隨著時間的推移，它的解會出現(xiàn)奇性。在數(shù)值求解上，大家尋找一致單調(diào)格式去近似哈密頓-雅克比方程的粘性解。 在第二章，我們針對依賴時間的哈密頓-雅克比方程的柯西-狄利克雷問題構(gòu)造了單調(diào)格式。由于如何去處理邊界點和內(nèi)點的聯(lián)系不是那么顯然的，因此這類問題的數(shù)值格式的構(gòu)造是有一定理論困難的。為了解決這個問題，我們針對帶有弱狄利克雷邊值條件的哈密頓-雅克比方程，提供了一類新的抽象單調(diào)格式，并且證明了這一格式具有1/2階的收斂率。基于抽象的收斂結(jié)果，我們針對求解哈密頓-雅克比方程的柯西-狄利克雷問題，構(gòu)造了數(shù)值上有用的收斂格式。首先，我們針對柯西問題構(gòu)造了一個收斂的有限體積格式，這個格式的三角剖分只需要滿足通常的正則性條件。之后，我們在邊界上重新構(gòu)造了能夠準(zhǔn)確反映抽象格式性質(zhì)的有限體積近似,并且針對哈密頓-雅克比方程的柯西-狄利克雷問題給出了收斂的有限體積格式。 對于守恒律方程和哈密頓-雅克比方程的近似，WENO格式是一個成功的高階數(shù)值方法�；谥貥�(gòu)中的自適應(yīng)方法，WENO格式在解的光滑區(qū)域能獲得高階精度，并且本質(zhì)上不波動、敏銳的奇性解決。另一方面，雖然這一格式具有好的數(shù)值性質(zhì)，但是對于某種非凸問題，這個數(shù)值格式不能收斂到哈密頓-雅克比方程的粘性解。在第三章，針對依賴時間的哈密頓-雅克比方程，我們提出了構(gòu)造高階收斂格式的一般方法，并且討論了收斂性問題。依靠高階格式和一階單調(diào)格式的合理組合，使得所得到的格式是收斂的，同時具有高階精度。我們還提供了針對非凸哈密頓問題的自適應(yīng)算法，并且進行了詳細的數(shù)值研究來證明格式的收斂性。此外，我們認為類似的自適應(yīng)策略能夠被應(yīng)用于任何一雙消散和高階（壓縮）重構(gòu)，包括非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格情形。這將成為我們將來研究的話題。 在第四章，我們研究了水平集類方程的數(shù)值解法。水平集類方程源自于曲線（曲面）進展和圖像處理問題，并且有很多其他方面的應(yīng)用。針對平均曲率流水平集方程，半隱有限體積（元）格式被提出。這個格式在時間上基于半隱離散，對于空間近似，使用初始和對偶控制體積去離散。我們還針對水平集類圖像光滑化模型，構(gòu)造了有限體積元型的數(shù)值格式。這個格式是基于一種按照各向同性和各向異性擴散的算子分裂。我們給出了格式所具有的一些性質(zhì)，包括穩(wěn)定性和一致性。另一方面，在一些應(yīng)用中，例如圖像光滑化，保尖角性是一種關(guān)鍵性質(zhì)。為了獲得更好的圖像復(fù)原，提出了一種基于保尖角流的圖像光滑化模型。研究目的是強調(diào)水平集的被局部估計的平均曲率在保尖角流和圖像處理應(yīng)用中的作用。為了驗證所提模型的有效性，與曲線進展和圖像降噪有關(guān)的數(shù)值結(jié)果被給出。
【關(guān)鍵詞】：哈密頓—雅克比方程 單調(diào)格式 高階格式 有限體積法 水平集類方程 圖像降噪
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.8
【目錄】：

• Abstract4-6
• 摘要6-8
• CONTENTS8-10
• CHAPTER 1 INTRODUCTION10-24
• 1.1 Numerical Methods for Hamilton-Jacobi Equations10-18
• 1.1.1 Concept of Viscosity Solution10-12
• 1.1.2 First Order Numerical Methods12-15
• 1.1.3 High Order Numerical Methods15-18
• 1.2 Numerical Methods for Level Set Like Equations18-22
• 1.3 Organization of the Work22-24
• CHAPTER 2 FINITE VOLUME SCHEMES FOR CAUCHY-DIRICHLET PROBLEMS OF HJ EQUATIONS24-51
• 2.1 Theoretical Results on Cauchy Problems24-27
• 2.2 Monotone Schemes for Cauchy Problems27-35
• 2.2.1 Finite Volume Scheme for Cauchy Problem27-32
• 2.2.2 Central Monotone Scheme for Cauchy Problem32-35
• 2.3 Finite Volume Schemes for Cauchy-Dirichlet Problems35-47
• 2.3.1 Abstract Monotone Scheme for Cauchy-Dirichlet Problem36-44
• 2.3.2 Construction of Finite Volume Schemes44-47
• 2.4 Numerical Results47-51
• CHAPTER 3 CONVERGENT HIGH ORDER SCHEMES FOR CAUCHY PROBLEMS OF HJ EQUATIONS51-81
• 3.1 Examples on the Performance of WENO Schemes for Hamilton-Jacobi Equation51-56
• 3.2 Construction of Convergent High Order Schemes56-66
• 3.2.1 Construction of the Schems56-58
• 3.2.2 Convergence of the Scheme58-66
• 3.3 Algorithms for Convergent High Order Schemes66-70
• 3.4 Numerical Examples70-81
• CHAPTER 4 FINITE VOLUME METHODS FOR LEVEL SET LIKE EQUATIONS81-120
• 4.1 Finite Volume Methods for Mean Curvature Flow Equation81-94
• 4.1.1 Construction of Semi-implicit Co-volume Schemes81-88
• 4.1.2 Stability and Consistency88-94
• 4.2 Stability of Finite Volume Scheme for Level Set Like Equation94-103
• 4.3 Corner-preserving Flow and Image Denoising103-108
• 4.3.1 Corner-preserving Flow Models103-105
• 4.3.2 Construction of Finite Volume Element Schemes105-108
• 4.4 Computational Experiments108-120
• 4.4.1 Mean Curvature Flow108-112
• 4.4.2 Corner-preserving Flow112-115
• 4.4.3 Image Denoising Based on Corner-peserving115-120
• CHAPTER 5 CONCLUSIONS120-122
• BIBLIOGRAPHY122-134
• 作者簡介及科研成果134-135
• 致謝135

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 高鑫,劉來福,黃海洋;基于PDE和幾何曲率流驅(qū)動擴散的圖像分析與處理[J];數(shù)學(xué)進展;2003年03期

  本文關(guān)鍵詞：哈密頓—雅克比方程的數(shù)值解法，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：289998