【摘要】：近幾十年來(lái),與次微分算子相關(guān)的非線性拋物型偏微分系統(tǒng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要研究課題.物理學(xué)和生物學(xué)中的很多模型可以由具有次微分算子的非線性拋物型偏微分系統(tǒng)來(lái)刻畫(huà),其中具有限制的相變模型及具有滯后效應(yīng)的非線性拋物型偏微分系統(tǒng)一直以來(lái)備受人們的關(guān)注.眾所周知,滯后效應(yīng)存在于物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)中的各個(gè)領(lǐng)域.例如在物理學(xué)中,我們可以在可塑性、摩擦、鐵磁性、超導(dǎo)電性、電解吸附作用、還有具有形狀記憶的材料中發(fā)現(xiàn)滯后現(xiàn)象.更為普遍的是,出現(xiàn)在相變模型中的滯后現(xiàn)象.在工程應(yīng)用中,由于具有滯后效應(yīng)的非線性拋物型偏微分系統(tǒng)反映了生物模型結(jié)構(gòu)的相互作用和其它相互作用的物理過(guò)程,因此成為數(shù)學(xué)家、生物學(xué)家和物理學(xué)家研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.本文借助次微分算子理論、不動(dòng)點(diǎn)定理、拋物方程正則性方法研究一類與次微分算子相關(guān)的非線性拋物型偏微分方程解的性質(zhì).本論文分為三部分內(nèi)容：第一部分即第二章,研究與次微分算子相關(guān)的非線性拋物型系統(tǒng)的適定性.第二部分即第三章,討論與次微分算子相關(guān)的周期解問(wèn)題.第三部分也就是第四章,研究了與次微分算子相關(guān)的最優(yōu)控制問(wèn)題.本文具體內(nèi)容如下：第一章引入了與次微分算子相關(guān)的理論還有基本的物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)模型.緊接著介紹了本文的主要結(jié)果以及后面各章中要用到的基本概念和定理等預(yù)備知識(shí).第二章研究了與次微分算子相關(guān)的非線性拋物型系統(tǒng)的適定性.非線性拋物型系統(tǒng)包含具有滯后效應(yīng)的生物模型和p-拉普拉斯方程.首先利用不動(dòng)點(diǎn)定理研究了具有擴(kuò)散和滯后效應(yīng)的一系列生物模型解的適定性.推廣了[2]的結(jié)果.因?yàn)楹芏嗌锓N群的微分方程不滿足反應(yīng)項(xiàng)是全局李普希茲連續(xù)的,本部分在反應(yīng)項(xiàng)僅僅是局部李普希茲連續(xù)的條件下,利用逼近方法證明了該問(wèn)題非負(fù)解的存在性.第二部分研究了具有滯后效應(yīng)和非線性擴(kuò)散的種群生物模型解的適定性.需要指出的是,本部分所涉及的空間W01,PΩ)(p2)不是一個(gè)希爾伯特空間,因此[23]的理論不可以直接利用,因此我們通過(guò)一個(gè)合適的逼近問(wèn)題解(σε,uε)的極限來(lái)獲得原問(wèn)題解的存在性.第三章研究了與次微分算子相關(guān)的非線性拋物型系統(tǒng)的周期解存在性.本章分為四個(gè)部分,第一部分研究具有限制的非等溫相分離模型周期解的存在性.需要指出的是在[32,45,63,74]及其相關(guān)的文獻(xiàn)中,關(guān)于溫度θ或者α(θ)的第三邊界條件是本質(zhì)的,其相應(yīng)的研究方法不可以應(yīng)用于其次Neumann邊界條件([62,65])或者Dirichlet邊界條件,因此對(duì)本模型的研究需要新的的方法.在本部分我們利用粘性方法研究以上問(wèn)題周期解的存在性并且去掉了對(duì)獲得正則性ω∈W1,2(0,T；L2(Ω))起著至關(guān)重要作用的粘性項(xiàng).第二部分研究多維的具有限制的Cahn-Hilliard方程周期解的存在性.我們利用次微分算子理論而不是拋物方程的定性理論得到多維Cahn-Hilliard方程周期解的存在性.我們的結(jié)果推廣了Yin et al.([140])的結(jié)果.第三部分我們利用粘性方法研究了當(dāng)熱源周期變化時(shí)具有滯后效應(yīng)的熱方程周期解的存在性.準(zhǔn)確的說(shuō),為了得到該周期解的存在性,我們引入一系列逼近問(wèn)題.接著采用次微分算子理論和Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了逼近問(wèn)題解的存在性.最后利用對(duì)逼近解序列得到的先驗(yàn)估計(jì),取極限得到原問(wèn)題解的存在性.第四部分我們利用粘性方法研究具有非線性擴(kuò)散方程和滯后算子的生物模型周期解存在性.具體來(lái)說(shuō),我們首先分析了非線性項(xiàng)中具有截?cái)嗨阕硬⑶以诜匠讨袑?duì)變量σ增加一個(gè)擴(kuò)散項(xiàng)的逼近模型.緊接著結(jié)合Poincare映射以及Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理獲得逼近問(wèn)題的解(σε,uε)最后,利用依賴于(σε,uε)的一致有界估計(jì),取極限得到原問(wèn)題的解(v,u)滿足u≠0.第四章研究了與次微分算子相關(guān)的最優(yōu)控制問(wèn)題.本章主要分為四個(gè)部分：第一部分介紹了最優(yōu)控制的背景資料.第二部分研究了具有狀態(tài)約束的Cahn Hilliard方程所誘導(dǎo)的最優(yōu)控制問(wèn)題滿足和F(u)c S,其中φ(u)=u3-u,T0,Ω是RN(N=1,2,3)上的具有光滑邊界(?)Ω的有界區(qū)域,γ0是一個(gè)給定的參數(shù).首先利用標(biāo)準(zhǔn)方法研究了帶有控制項(xiàng)模型的適定性.在得到控制問(wèn)題和逼近問(wèn)題的關(guān)系之后,我們利用其中一個(gè)逼近問(wèn)題得到最初控制問(wèn)題解存在的必要性條件.第三部分研究了具有狀態(tài)限制和障礙的固體-液體相場(chǎng)最優(yōu)控制問(wèn)題并且F(u)(?)S,其中,Ω在RN(N=1,2,3)上的具有光滑邊界(?)Ω的有界區(qū)域φ(u)=u3-u,δ,γ,κ0為給定的系數(shù),(?)I[-1,1](u)是一個(gè)定義于閉空間[-1,1]上的指標(biāo)函數(shù)I[-1,1](u)的次微分,Bw是一個(gè)定義于Q上的強(qiáng)迫項(xiàng),u0,v0是給定的初值數(shù)據(jù).在得到控制問(wèn)題和逼近問(wèn)題的關(guān)系之后,我們利用其中一個(gè)逼近問(wèn)題得到最初控制問(wèn)題解的pontryagin's極大值原理.第四部分研究了具有狀態(tài)限制和障礙的Lengyel-Epstein模型的最優(yōu)控制問(wèn)題滿足和F(u)c S,其中Ω∈C2是具有光滑邊界αΩ的RN(N=1,2,3)上的有界區(qū)域,u和v分別是無(wú)量綱化的激活劑的濃度和抑制劑的濃度；a,b,c和θ是化學(xué)系統(tǒng)的無(wú)量綱參數(shù)；δ0是主要物種的擴(kuò)散系數(shù).障礙(?)I[σ*,σ*](u)是指標(biāo)函數(shù)I[σ*,σ*](u)在閉區(qū)間[σ,σ*]的次微分;κ0,σ*,σ*∈R都是給定的常數(shù)o0(x),h0(x)和Φ(x,t)都是給定函數(shù),Bw是控制項(xiàng).首先給出了具有控制量的相應(yīng)初邊值問(wèn)題和逼近問(wèn)題解的適定性.其次利用研究初邊值問(wèn)題解的類似方法得到相應(yīng)共軛系統(tǒng)的適定性.緊接著我們討論了控制問(wèn)題和其逼近問(wèn)題的關(guān)系.最后,我們利用其中一個(gè)逼近問(wèn)題得到最初控制問(wèn)題解的pontryagin's極大值原理.
【學(xué)位授予單位】：北京理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.3

【共引文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2790908