【摘要】：對于非線性擴散占優(yōu)Volterra型偏泛函微分方程的時間離散化,以往最常用的方法是Volterra泛函微分方程(VFDE)的隱式Euler方法及梯形方法,有時候也使用隱式中點法及Bellen和Zennaro所建議的二級Lobatto IIIC Runge-Kutta方法。為了避免出現(xiàn)Bellen和Zennaro所指出的“order failure”和“stability failure”現(xiàn)象,本文約定恒使用VFDE的正則Runge-Kutta法(Canonical Runge-Kutta methods,abbr.CaRK),不使用連續(xù)Runge-Kutta法(abbr.CRK)。為方便計,我們將上述四種不同的時間離散化方法依次簡記為CaIE、CaTr、CaIM及CaLo2。本文的第一項主要工作是通過理論分析和數(shù)值試驗,對上述四種不同的時間離散化方法進行了仔細比較(參見第三章)。我們發(fā)現(xiàn)其中計算效率最高的是CaIM方法。這一發(fā)現(xiàn)為選擇時間離散化方法提供了新的重要科學(xué)依據(jù)。其重要性在于對于求解上述類型的強非線性問題,有可能導(dǎo)致在不久的將來CaIM方法逐漸上升為使用最廣的時間離散化方法之一,而CaTr方法有可能使用得越來越少,甚至有可能逐漸被淘汰。本文的第二項主要工作是證明了CaIM方法在一致時間網(wǎng)格上是二階最佳B-收斂的(參見第二章)。這一新的階結(jié)果比以往文獻中已有的關(guān)于CaIM方法的階結(jié)果提高了一階。正是由于這一創(chuàng)新成果,才使人們意識到CaIM方法有可能比CaTr方法更好,因為前者是B-穩(wěn)定且二階最佳B-收斂的,而后者即使是對于求解常微分方程問題,也僅僅是A-穩(wěn)定且二階經(jīng)典收斂的,而不是B-穩(wěn)定和B-收斂的,因此對于求解上述類型的強非線性問題,后者有可能出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象,甚至有可能導(dǎo)致整個計算失敗。應(yīng)當(dāng)指出,CaIM方法的最佳B-收斂階為2這一性質(zhì)盡管要求時間網(wǎng)格均勻,但對于分段均勻的時間網(wǎng)格同樣是成立的。而這正是實際應(yīng)用中出現(xiàn)得最多的情形。此外,作為本項研究的延伸,我們構(gòu)造了一類分數(shù)階偏泛函微分方程的高精度算法(參見第四章)。
【學(xué)位授予單位】：湘潭大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.8

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本文編號：2748706