【摘要】：本文從二階線性邊值問題出發(fā),給出了其特征值極值問題的解答,并由此引出四階線性邊值問題的特征值極值問題.由于這些極值問題將會導(dǎo)致位勢變?yōu)闇y度的原因,為此我們在論文中將首先建立了四階測度微分方程解的基本理論,通過Rayleigh形式的最小化證明測度方程的第一特征值是合理定義的.一個關(guān)鍵的結(jié)果是第一特征值是非常強(qiáng)地連續(xù)依賴于測度的,即在測度空間中用弱?拓?fù)鋾r,特征值對于測度是連續(xù)的.最終,通過研究測度方程的第一特征值以及常微分方程與測度微分方程之間的聯(lián)系,最終給出了四階常微分方程邊值問題第一特征值的極小刻畫.首先,我們主要介紹了所研究問題的背景,意義以及目前其國內(nèi)外研究現(xiàn)狀,同時給出論文主要用到的基本知識概念.其次,主要以Pontryagin最大值原理為方法依據(jù),描述出了一類新的非共振勢函數(shù)類.受此方法啟發(fā),我們給出了二階p-Laplacian常微分方程邊值問題的特征值極大值問題的完整解答.接著,對形如dy(3)(t)+y(t)dμ(t)=0的測度微分方程,通過不動點(diǎn)定理給出了方程初值問題解的存在唯一性.并且,作為本文重要的結(jié)論,我們證明了解對測度的強(qiáng)連續(xù)依賴關(guān)系.然后,在測度微分方程理論的基礎(chǔ)上,對其建立了第一特征值的概念,并解決相應(yīng)的極值問題.我們給出測度微分方程dy(3)(t)+y(t)dμ(t)=λy(t)dt的四類邊值問題的第一特征值的Rayleigh形式刻畫.并給出四階測度微分方程第一特征根極值問題的完整解答,其極小特征值對應(yīng)的最優(yōu)測度是一系列Dirac測度.最終,作為推論,四階常微分方程第一特征值極值問題得以解決.我們看到,一方面常微分方程是測度微分方程的特殊情形,另一方面在特征值極值問題中,測度微分方程其實(shí)是常微分方程的極限情形.
【學(xué)位授予單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175.8

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本文編號：2744633