本文關(guān)鍵詞：超材料麥克斯韋方程組的能量守恒分裂時(shí)域有限差分格式：方法、理論和應(yīng)用，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：早在1968年,Veselago提出了一種介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為負(fù)數(shù)的介質(zhì)概念([67]).直到2000年,在Pcndry等人([55])對(duì)這種特殊介質(zhì)研究工作的基礎(chǔ)上,Shelby和Smith在微波范疇內(nèi)通過將金屬線和環(huán)諧振器按照一定的方式周期排列首次人工合成了一種具備負(fù)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的復(fù)合材料,這為電磁學(xué)和材料學(xué)的發(fā)展帶來了一次新的革命([58][60]).由于這些材料具備普通(天然)材料所不具備的物理特性,他們都被稱作“超材料”(Metamatcrials, MTMs),也被稱作雙負(fù)介質(zhì)(DNG)、負(fù)折射率材料(NIM)、左手材料(LHM)等([8]).迄今為止,已有多種超材料例如：雙負(fù)材料(DNG)；零折射率材料(ZIM)等([2][8][47][55][57][81]).這些特殊的材料具有天然材料無法替代的物理性質(zhì),例如：雙負(fù)介質(zhì)(DNG)具有負(fù)折射率,可以使電磁波(或者光)后向傳播或者在任何方向上彎曲([17][18][35][54][68][79])；零折射率介質(zhì)(ZIM)不僅能夠?qū)崿F(xiàn)完全控制光(或者電磁波)在空氣中的傳播,而且為包裹或隱藏物體提供了一種潛在的方法([81]).這些超常的物理特性使得超材料能夠突破天然材料的局限性而在很多應(yīng)用中發(fā)揮重要作用.比如3-D顯示、遠(yuǎn)程航空應(yīng)用、防空雷達(dá)、納米刻蝕、醫(yī)療顯影器、高增益天線、隱形設(shè)備以及地震屏蔽結(jié)構(gòu)等([5][19][20][35][47]).超材料中電磁現(xiàn)象的建模和分析既是超材料研究領(lǐng)域非常重要的一個(gè)方面,同時(shí)也在超材料的實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的需求.近年來,隨著各種超材料的成功合成與應(yīng)用,超材料相關(guān)的數(shù)值方法也成為研究的熱點(diǎn)([14][15][30][68][80][81][82]).超材料作為一種色散介質(zhì),其中的物理參數(shù)(介電常數(shù),磁導(dǎo)率等)具有頻率相關(guān)性.針對(duì)色散介質(zhì)的頻率相關(guān)性,很多學(xué)者提出了一些處理方法,比如遞歸卷積(RC)法([40][46][59])；輔助微分方程(ADE)法([16][25][52][65])；Z-變換法([56][61])等.其中輔助微分方程(ADE)法是利用輔助微分方程并引入相關(guān)的場(chǎng)量將頻域方程組轉(zhuǎn)化為新的包含四個(gè)電磁場(chǎng)向量的新的方程組.針對(duì)經(jīng)典麥克斯韋方程組的時(shí)域有限差分方法的研究已經(jīng)取得了很多成果.Yce在1966年提出了時(shí)域有限差分(FDTD)方法來求解經(jīng)典的麥克斯韋方程組([74]).Yee格式是基于交錯(cuò)網(wǎng)格和中心差分的一種顯格式,求解方便快捷,因此在電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算中一直被廣泛采用([48][63][64]).然而,Yee的時(shí)域有限差分算法依然存在不容忽視的弊端：它是條件穩(wěn)定的,因此時(shí)間步長的選取受到CFL穩(wěn)定性條件的限制,在求解高維及大區(qū)域?qū)嶋H問題時(shí)帶來巨大的計(jì)算量.為了克服穩(wěn)定性條件的局限性同時(shí)提高算法的精度,在求解經(jīng)典麥克斯韋方程組的時(shí)域有限差分方法方面,研究者提出了很多無條件穩(wěn)定的算法,比如：方向交替FDTD算法(ADI-FDTD) ([24] [28] [50] [72] [77] [78]);局部一維FDTD(LOD-FDTD)算法([1][45])；分裂FDTD(S-FDTD)算法([27])；辛-FDTD算法([62][71])；能量守恒分裂FDTD(EC-S-FDTD)算法([9][10][11][26])等.在針對(duì)超材料中麥克斯韋方程組的數(shù)值方法的研究方面,對(duì)于高斯光束與雙軸各向異性超材料平板之間的相互作用,[69]借助ADE方法構(gòu)造了FDTD算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),有效地模擬了二維TE極化波在超材料中的傳播.然而,傳統(tǒng)的FDTD方法對(duì)高維問題的計(jì)算受到嚴(yán)格穩(wěn)定性條件的限制.[51]對(duì)二維雙耗散超材料麥克斯韋方程組的ADI-FDTD算法和LOD-FDTD算法等進(jìn)行了研究和比較.另一方面,針對(duì)Drude模型超材料麥克斯韋方程組的各種有限元方法的研究已取得一些成果([7][37][38][41][42][43]).[43]提出用標(biāo)準(zhǔn)有限元方法求解該問題,并給出了相應(yīng)的誤差估計(jì).[37]將混合元方法應(yīng)用于三維超材料麥克斯韋方程組并對(duì)該方法進(jìn)行了數(shù)值分析,證明了超收斂的結(jié)論.[42]研究間斷有限元方法在超材料問題中的應(yīng)用.無損介質(zhì)中經(jīng)典麥克斯韋方程組的解滿足電磁能量的恒等式.構(gòu)造滿足電磁能量守恒的數(shù)值格式是有效模擬長時(shí)間電磁場(chǎng)傳播的重要課題.[9]和[10]首次對(duì)二維真空中的經(jīng)典麥克斯韋方程組提出能量守恒和對(duì)稱能量守恒的分裂時(shí)域有限差分算法,并嚴(yán)格證明了算法的能量守恒性和時(shí)空二階收斂性.[11]中考慮三維真空中的麥克斯韋方程組,提出能量守恒的分裂時(shí)域有限差分方法(EC-S-FDTD),證明該算法滿足離散電磁能量恒等式和時(shí)空二階收斂性.但是,關(guān)于超材料麥克斯韋方程組能量守恒算法方面的研究和文獻(xiàn)至今很少.構(gòu)造具有全局能量守恒特征的數(shù)值算法對(duì)于高維超材料中的麥克斯韋方程組的計(jì)算具有重要的意義,保持離散情形下超材料中電磁場(chǎng)的能量恒等式能夠更加有效和可靠地對(duì)實(shí)際的超材料電磁問題進(jìn)行模擬.我們考慮了二維超材料的橫磁場(chǎng)模型和三維超材料中的麥克斯韋方程組Drude模型,從連續(xù)方程出發(fā)獲得超材料中電磁場(chǎng)所滿足的新的全局能量守恒等式,提出新的滿足離散全局能量守恒的分裂時(shí)域有限差分方法(EC-S-FDTD, S-EC-S-FDTD, GEC-S-FDTD),我們嚴(yán)格證明所提出的算法滿足離散全局能量守恒,嚴(yán)格證明了最優(yōu)階的誤差估計(jì).數(shù)值實(shí)驗(yàn)證實(shí)了理論結(jié)果.電磁波的數(shù)值模擬證明了超材料的負(fù)折射率和完美成像等物理特性.另外,我們將分裂算法的方法和理論應(yīng)用于其他幾個(gè)重要的電磁問題,包括：帶積分邊界條件的二維瞬變電磁勘探問題,非均勻環(huán)域內(nèi)的電磁場(chǎng)傳播,間斷介質(zhì)和完美匹配層的電磁散射問題.全文分為五章,組織結(jié)構(gòu)如下：在第一章中,我們考慮Drude型超材料的二維橫磁場(chǎng)模型.首先通過輔助微分方程和感應(yīng)電磁流推導(dǎo)出關(guān)于電磁場(chǎng)和感應(yīng)電磁流的麥克斯韋方程組的Drude模型,然后推導(dǎo)出在理想導(dǎo)體邊界(PEC)條件下其滿足的能量守恒式.在[9]對(duì)經(jīng)典麥克斯韋方程組中的能量守恒分裂格式研究的基礎(chǔ)上,對(duì)于該二維Drude超材料模型提出了新的兩步能量守恒分裂時(shí)域有限差分算法(EC-S-FDTD),嚴(yán)格證明了該算法的離散能量守恒性質(zhì)和收斂性,所提出的兩步格式具有時(shí)間一階和空間二階的精度.在第二章中,提出了從第2k層到第2k+2層的四步對(duì)稱能量守恒分裂時(shí)域有限差分(S-EC-S-FDTD)格式.證明了該算法的離散能量守恒性以及時(shí)空二階收斂性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)比較EC-S-FDTD算法,S-EC-S-FDTD算法和ADI-FDTD算法.數(shù)值結(jié)果表明所提出新的EC-S-FDTD格式和S-EC-S-FDTD格式滿足能量守恒性,而且誤差階與理論分析的結(jié)論一致.通過采用完全匹配層截?cái)酂o界區(qū)域的方法,我們用S-EC-S-FDTD算法對(duì)于連續(xù)波高斯光束正入射和斜入射到幾類不同超材料的情形進(jìn)行了長時(shí)間數(shù)值仿真,仿真結(jié)果進(jìn)一步說明了超材料的物理特性.此外,我們還模擬了加入正弦點(diǎn)源的情況,數(shù)值結(jié)果呈現(xiàn)了電磁波在超材料中的傳播過程,并體現(xiàn)了超材料產(chǎn)生的“完美成像”現(xiàn)象等.在第三章中,我們考慮了重要的三維Drude型超材料模型,對(duì)于三維Drudc型超材料麥克斯韋方程組,首先證明其滿足的幾個(gè)新的能量守恒等式.然后,我們提出新的三步全局能量守恒分裂時(shí)域有限差分(GEC-S-FDTD)方法,并證明了它滿足新的能量守恒式.我們嚴(yán)格證明了新格式的時(shí)空二階收斂性、超收斂性和離散散度的二階收斂性.數(shù)值算例驗(yàn)證了理論分析的結(jié)論和算法的有效性,并仿真了三維情形下電磁波從真空到雙負(fù)超材料中的傳播過程.在第四章中,對(duì)重要的帶積分邊界條件的二維瞬變電磁勘探問題提出ADI-FDTD算法,研究格式的理論分析,通過與經(jīng)典的DF-FFT算法比較驗(yàn)證了所提出算法的有效性.數(shù)值算例表明ADI-FDTD算法可以有效地對(duì)含異常體地下的感應(yīng)電場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算并判斷異常體的位置.在第五章中,我們研究能量守恒分裂算法在非均勻環(huán)域問題、間斷介質(zhì)和完美匹配層問題中的數(shù)值分析與仿真,證明能量守恒的相關(guān)結(jié)論,數(shù)值實(shí)驗(yàn)證實(shí)能量守恒和收斂階的結(jié)果.對(duì)環(huán)域和間斷介質(zhì)中電磁波的傳播和散射以及完全匹配層問題進(jìn)行了數(shù)值模擬.
【關(guān)鍵詞】：超材料麥克斯韋方程組Drude模型 全局能量守恒 能量守恒分裂時(shí)域有限差分方法 離散能量守恒 收斂性
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 中文摘要11-15
• 英文摘要15-21
• 第一章 二維超材料中麥克斯韋方程組的能量守恒分裂時(shí)域有限差分方法21-39
• 1.1 引言21-22
• 1.2 超材料中麥克斯韋方程組的Drude模型22-24
• 1.3 能量守恒分裂時(shí)域有限差分(EC-S-FDTD)格式24-27
• 1.4 離散能量守恒27-30
• 1.5 誤差估計(jì)30-39
• 第二章 二維超材料中麥克斯韋方程組的對(duì)稱能量守恒分裂時(shí)域有限差分方法39-59
• 2.1 引言39
• 2.2 對(duì)稱能量守恒分裂時(shí)域有限差分(S-EC-S-FDTD)格式39-42
• 2.3 離散能量守恒42-43
• 2.4 誤差估計(jì)43-48
• 2.5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)48-59
• 第三章 三維超材料中麥克斯韋方程組的全局能量守恒分裂時(shí)域有限差分方法59-97
• 3.1 引言59
• 3.2 三維超材料中麥克斯韋方程組的Drude模型59-64
• 3.3 全局能量守恒分裂時(shí)域有限差分(G-EC-S-FDTD)格式64-69
• 3.4 離散全局能量守恒69-80
• 3.5 收斂性和超收斂性80-85
• 3.6 數(shù)值實(shí)驗(yàn)85-97
• 第四章 二維瞬變電磁勘探問題的ADI-FDTD數(shù)值模擬97-113
• 4.1 引言97-98
• 4.2 二維瞬變電磁(TEM)問題模型98-101
• 4.3 帶積分邊界條件的ADI-FDTD數(shù)值格式101-106
• 4.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)106-113
• 第五章 能量守恒分裂時(shí)域有限差分方法在非均勻環(huán)域、間斷介質(zhì)和完美匹配層問題中的應(yīng)用113-137
• 5.1 引言113-114
• 5.2 環(huán)域中麥克斯韋方程組的能量守恒分裂FDTD算法114-124
• 5.2.1 環(huán)域橫電場(chǎng)模型114-115
• 5.2.2 環(huán)域能量守恒分裂FDTD算法115-120
• 5.2.3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)120-124
• 5.3 能量守恒格式在間斷介質(zhì)散射和PML問題中的應(yīng)用124-137
• 5.3.1 間斷介質(zhì)二維麥克斯韋方程組的能量守恒分裂FDTD算法125-130
• 5.3.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)130-137
• 參考文獻(xiàn)137-145
• 致謝145-147
• 攻讀博士學(xué)位期間完成論文情況147-149
• 作者簡(jiǎn)介149-150
• 附件150

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 方能勝;應(yīng)隆安;;ANALYSIS OF FDTD TO UPML FOR MAXWELL EQUATIONS IN POLAR COORDINATES[J];Acta Mathematica Scientia;2011年05期

  本文關(guān)鍵詞：超材料麥克斯韋方程組的能量守恒分裂時(shí)域有限差分格式：方法、理論和應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號(hào)：259792