本文關(guān)鍵詞：矩陣完備化和圖的最小秩問題，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：本文應用圖論方法研究了特殊矩陣類的完備化問題和圖的最小秩問題,這是組合矩陣論中的前沿課題。結(jié)合圖論知識來研究特殊矩陣類的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)有著直觀、簡潔的效果。矩陣完備化問題可借助于無向圖和有向圖的結(jié)構(gòu)來進行研究。一般地,利用無向圖來研究位置對稱矩陣的完備化問題,利用有向圖來研究位置非對稱矩陣的完備化問題。不完備特殊矩陣類的完備化問題在地震數(shù)據(jù)重構(gòu)、數(shù)據(jù)傳輸、密碼傳遞、圖像處理、信號處理、矩陣分析以及工程計算中都有著廣泛的應用。此外,圖論方法也可用于研究特殊矩陣類的最小秩問題。近年來圖的最小秩問題是代數(shù)圖論的一個重要研究課題。最小秩問題在經(jīng)濟學、統(tǒng)計學、通信網(wǎng)絡(luò)和信息科學等中有著廣泛的應用。本文利用無向圖和有向圖分別對位置對稱和位置非對稱10N-矩陣的完備化問題進行了研究;同時,也借助于有向圖和二部圖對非對稱零-非零模式矩陣和符號模式矩陣的最小秩問題進行了研究。全文主要研究內(nèi)容如下:1.矩陣完備化問題是指將不完備的特殊矩陣的未知元素通過某種方式被選取而使得完備化后的矩陣能達到一種所期望的形式。由于0N-矩陣在主對角元非零和已知非主對角元素的符號為的情況下才具有0N-完備化,本文對0N-矩陣可完備化的條件進行了弱化,另提出了一種特殊矩陣10N-矩陣的完備化問題。利用n-圈圖和1-通弦圖研究了主對角元可以為零和已知元素的符號非正的10N-矩陣的完備化問題。且證明了n階不完備的位置對稱10N-矩陣在n-圈圖和1-通弦圖下能被10N-完備化�；�-矩陣在有向雙圈圖下的完備化問題,本文利用傳遞競賽圖和有向雙圈圖研究了10N-矩陣完備化問題。一般地,10N-矩陣在傳遞競賽圖和有向雙圈圖下是不能被完備化的。由此,我們給出了不完備的位置非對稱10N-矩陣能被完備化的充分條件,且證明了它在傳遞競賽圖和有向雙圈圖下能被10N-完備化。2.對于Johnson和Link提出的公開問題:是否存在7階非對稱零-非零模式矩陣P(G)使其最小秩mr(P(G))=4但tri(P(G))=3和mr(P(G))=5但tri(P(G))=4?本文不僅對此問題給出了肯定回答,而且借助于有向圖和無向二部圖,將7階非對稱零-非零模式矩陣的最小秩問題推廣到了n階非對稱零-非零模式矩陣的最小秩問題。將有向圖轉(zhuǎn)換為無向二部圖,我們給出了算法來尋求二部圖中的最大完美匹配數(shù)|M￠|與非對稱零-非零模式矩陣的tri(P(G))間的關(guān)系,且利用二部圖的重要理論證明了|M￠|=tri(P(G))。并應用所得到的結(jié)果,研究了n階非對稱零-非零模式矩陣ija1(1)i+j+-ijaNP(G)在特殊有向圖——有向2-樹下的最小秩問題。證明了n階非對稱零-非零模式矩陣P(G)在線性有向2-樹下的最小秩mr(P(G))=tri(P(G))。此外,對6,7階非對稱零-非零模式矩陣在非線性有向2-樹下的最小秩問題進行了研究,且證明了6階非對稱零-非零模式矩陣的最小秩mr(P(G))=tri(P(G))和建立了7階非對稱零-非零模式矩陣的最小秩mr(P(G))與tri(P(G))之間的關(guān)系。3.對于非對稱符號模式矩陣P,可借助于符號有向圖來分析符號模式矩陣P的符號特征。符號有向圖的最大SNS-符號模式矩陣是非對稱符號模式矩陣P的最大非奇矩陣。符號二部圖為研究符號有向圖的最大SNS-符號模式矩陣和最小秩提供了一個新的途徑。我們將符號有向圖轉(zhuǎn)換為符號二部圖G(U,V),并提出了構(gòu)造G(U,V)的最大子圖G(U￠,V￠)的算法:一是在G(U￠,V￠)中尋求最大完美匹配M￠;二是尋求含有偶數(shù)個e-圈且不相交的M￠-交替圈。通過算法而構(gòu)造了符號有向圖的SNS-符號模式矩陣。4.符號模式矩陣的最小秩問題主要研究特殊矩陣類的最小秩的計算方法與最小秩的界。符號模式矩陣的迫零集和符號迫零集在圖的最小秩問題中為常用參數(shù),但無向圖、有向圖和符號迫零集只適用于確定方陣最小秩的界。對于非方陣最小秩的界,這些參數(shù)就失效了�；诜柲Ｊ骄仃嚨姆柶攘慵�,我們提出了一種新概念——二部迫零集。二部迫零集的最大優(yōu)點是它不僅適用于符號模式的最小秩問題中,而且適用于符號模式矩陣P的最小秩問題。我們利用二部迫零集建立了全符號模式矩陣P的最小秩的下界,且此界比已有的符號迫零集確定的界的適用范圍更廣。不完備矩陣的最小秩完備化問題是將未知元素以某種特定的方式確定下來使得完備后的矩陣的秩達到最小。本文利用所提出的二部迫零法研究了不完備的三對角全符號模式矩陣P的最小秩完備化問題,并證明了P在最小秩為mr(P)=1 mr(P)=2%%,和mr(P)3%=下能被完備化。n ′nn′m(n 1m)
【關(guān)鍵詞】：10N-矩陣 零-非零模式矩陣 符號模式矩陣 完備化問題 最小秩問題
【學位授予單位】：電子科技大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O157.5
【目錄】：

• 摘要5-7
• ABSTRACT7-12
• 主要符號表12-14
• 第一章 引言14-24
• 1.1 選題背景與意義14-20
• 1.1.1 重要特殊矩陣類的完備化問題14-17
• 1.1.2 零-非零模式矩陣的最小秩問題17-19
• 1.1.3 符號模式矩陣的最小秩問題19-20
• 1.2 重要的圖論知識20-21
• 1.3 本文主要研究內(nèi)容、方法和創(chuàng)新點21-23
• 1.4 本文結(jié)構(gòu)安排23-24
• 第二章 矩陣的完備化問題24-45
• 2.1 定義與性質(zhì)24-27
• 2.2 n階不完備的位置對稱N_0~1-矩陣的完備化問題27-37
• 2.2.1 n階不完備的位置對稱N_0~1-矩陣在無向n-圈下的完備化問題27-34
• 2.2.2 n階不完備的位置對稱N_0~1-矩陣在 1-通弦圖下的完備化問題34-37
• 2.3 不完備的位置非對稱N_0~1-矩陣A的完備化問題37-44
• 2.4 本章小結(jié)44-45
• 第三章 零-非零模式矩陣的最小秩與逆45-76
• 3.1 定義與性質(zhì)45-47
• 3.2 n階非對稱零-非零模式矩陣的最小秩問題47-69
• 3.2.1 n階非對稱零-非零模式矩陣在線性有向 2-樹下的最小秩問題48-58
• 3.2.2 非對稱零-非零模式矩陣在非線性有向 2-樹下的最小秩問題58-64
• 3.2.3 7階零-非零模式矩陣的mr (P(G)) 與tri(P(G)) 的關(guān)系64-69
• 3.3 零-非零模式ASTP矩陣的逆矩陣69-75
• 3.4 本章小結(jié)75-76
• 第四章 符號有向圖的最大SNS-符號模式矩陣和最小秩76-87
• 4.1 定義與性質(zhì)76-79
• 4.2 符號有向圖的最大SNS-符號模式矩陣79-84
• 4.3 符號有向圖的最小秩84-86
• 4.4 本章小結(jié)86-87
• 第五章 全符號模式矩陣的二部迫零集87-103
• 5.1 定義與性質(zhì)87-89
• 5.2 全符號模式矩陣的二部迫零集89-95
• 5.3 不完備的三對角全符號模式矩陣的最小秩完備化問題95-102
• 5.4 本章小結(jié)102-103
• 第六章 結(jié)論103-105
• 6.1 結(jié)論103-104
• 6.2 展望104-105
• 致謝105-106
• 參考文獻106-113
• 作者攻博期間取得的成果113-114

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