【摘要】：本文以粘彈性材料的數(shù)學(xué)模型為研究對(duì)象.主要討論這些模型的適定性以及與之相關(guān)的控制問題.所謂粘彈性材料,就是在荷載的作用下,既有瞬時(shí)彈性響應(yīng).又有持續(xù)內(nèi)部摩擦效應(yīng)的一類材料.這類材料具有所謂的記憶功能.這種粘彈性或者記憶功能在數(shù)學(xué)上通常由積分-微分項(xiàng)加以描述和刻畫,其中A是諸于△,△2等的某個(gè)微分算子.g是所謂的記憶核函數(shù).當(dāng)t=+∞時(shí),我們稱之為無限記憶；而當(dāng)0t+∞時(shí),我們稱之為有限記憶.所以,我們論文題目中所說的粘彈性模型,主要是指含有(1)這一項(xiàng)的積分-微分方程的某些初邊值問題.近半個(gè)世紀(jì)以來,粘彈性力學(xué)及其相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論得到了快速的發(fā)展.目前,關(guān)于粘彈性模型的研究如火如荼,研究結(jié)果層出不窮.但由于粘彈項(xiàng)(1)的出現(xiàn)大大提高了問題的復(fù)雜程度,目前仍然有很多值得進(jìn)一步研究的問題.這也為數(shù)學(xué)工作者們提供大顯身手的舞臺(tái).本文的主要內(nèi)容如下：第1章從適定性和控制兩個(gè)方面介紹問題的研究背景及本文的主要工作.第2章是預(yù)備知識(shí),集中介紹本文要用到的數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)工具.第3章,我們首先討論一類具內(nèi)部反饋時(shí)滯的粘彈性波方程解的存在唯一性和能量衰減性.解決了M. Kirane和B. Said-Houari于2011年在Z. Angew. Math. Phys雜志上提出的公開問題,然后將相關(guān)的一些結(jié)論簡(jiǎn)單推廣到邊界反饋模型和四階Euler-Bernoulli粘彈性板模型上.接下來,為了進(jìn)一步討論粘彈項(xiàng)和源項(xiàng)之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系,我們討論了一類具非線性源的Euler-Bernoulli板模型的Blow-up性質(zhì),獲得了一些對(duì)粘彈項(xiàng)和源項(xiàng)競(jìng)爭(zhēng)的直觀認(rèn)識(shí).而在第4章中，我們研究了一類Euler-Bernoulli粘彈性模型的相關(guān)控制問題.具體來說,我們主要討論了近似能控性和多點(diǎn)觀測(cè)兩方面的問題.對(duì)于近似能控性的討論,我們先定義合適的函數(shù)空間Hθ，k,利用分離變量法，把所討論系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)的解精確寫出并討論其在所定義空間中的一些特有性質(zhì).然后，，利用對(duì)偶關(guān)系和Hahn-Banach定理,得到系統(tǒng)在乘積空間Hθ,k2中的邊界近似能控性結(jié)果.至于多點(diǎn)觀測(cè)問題,我們先把系統(tǒng)的解寫成一種特殊的級(jí)數(shù)形式,然后得到一個(gè)僅有單個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的能觀性不等式,進(jìn)而得到多個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的能觀性不等式.最后,通過合理定義“觀測(cè)信息量”,從信息論的角度對(duì)所得結(jié)果給出了合理解讀,同時(shí)也解釋了工程師們?cè)趯?shí)驗(yàn)中所獲得的客觀現(xiàn)象.
【學(xué)位授予單位】：湖南師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：TB301

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本文編號(hào)：2541556