【摘要】：近年來,血管變窄甚至堵塞是很多人面臨的一個(gè)問題,解決這個(gè)問題的方法之一就是通過搭建人造血管使得血液在新的人造血管中正常流動(dòng),這就涉及人造血管形狀設(shè)計(jì)問題。人造血管形狀設(shè)計(jì)問題屬于最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)問題的一種,其描述的是一類約束最優(yōu)化問題,這些問題是在偏微分方程邊值問題的約束下對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行極小化的過程,其控制變量就是區(qū)域的幾何形狀。在人造血管形狀設(shè)計(jì)問題中,血管的形狀設(shè)計(jì)在數(shù)值求解上存在許多困難。首先,血管界面的光滑性必須得到保證。其次,計(jì)算區(qū)域在問題的求解過程中不斷變化,則對應(yīng)的網(wǎng)格也將發(fā)生改變,更新網(wǎng)格的算法十分關(guān)鍵。針對這些問題,我們采取基于三次樣條插值的控制點(diǎn)法控制血管的形狀,并采取非均勻網(wǎng)格與移動(dòng)網(wǎng)格方法來提高算法效率。另外我們分別還采取了樣條水平集方法與基于徑向基函數(shù)的水平集方法來求解這一問題。我們的主要結(jié)果有：1.給出了人造血管形狀設(shè)計(jì)問題的三次樣條逼近算法。不同于傳統(tǒng)的采取三角函數(shù)等函數(shù)表示血管形狀,我們采取基于三次樣條插值的控制點(diǎn)法來控制血管形狀,這樣人造血管的形狀變化更加靈活,同時(shí)其光滑性也不受影響。其中控制點(diǎn)位置的變化由梯度法來控制,同時(shí),在梯度法的初值選擇上,我們先在較少控制點(diǎn)下求得此時(shí)的最優(yōu)形狀,再把此形狀作為初值,選取更多控制點(diǎn)重新使用梯度法迭代得到新的最優(yōu)人造血管。在網(wǎng)格剖分上,我們采取非均勻的Delauney網(wǎng)格使得在血管壁附近的流體速度計(jì)算更加精確。由于血管形狀在一直變化,網(wǎng)格也隨之發(fā)生改變,我們采取移動(dòng)網(wǎng)格的方法來更新網(wǎng)格,從而避免了重新剖分網(wǎng)格的巨大工作量。在數(shù)值例子中,我們首先比較了我們的算法與已有算法的效果和效率,從比較中可以看出我們算法的良好效果以及較高的效率。我們比較了在采用不同個(gè)數(shù)的控制點(diǎn)時(shí)得到的最優(yōu)血管形狀,結(jié)果表明,控制點(diǎn)個(gè)數(shù)增加,目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值減小,這說明了增加控制點(diǎn)個(gè)數(shù)的必要性。同時(shí)我們比較了在初值的選擇上,選擇從較少控制點(diǎn)遞增到較多控制點(diǎn)的算法比直接選用較多控制點(diǎn)的算法效率更高。另外,我們還比較了使用均勻網(wǎng)格和非均勻網(wǎng)格、重新剖分網(wǎng)格與運(yùn)用移動(dòng)網(wǎng)格方法的效果。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,使用非均勻網(wǎng)格在取得較優(yōu)的血管形狀時(shí)有一定的優(yōu)勢,而移動(dòng)網(wǎng)格方法可以有效減少算法的運(yùn)行時(shí)間。2.給出了人造血管形狀設(shè)計(jì)問題的樣條水平集方法。由于傳統(tǒng)水平集方法經(jīng)常會產(chǎn)生不光滑的零水平集界面,而在人造血管形狀設(shè)計(jì)問題中,界面的光滑性十分重要,因此我們采取樣條水平集方法來重造界面。樣條水平集方法就是在傳統(tǒng)水平集方法的基礎(chǔ)上,利用Hamilton-Jacobi方程迭代得到新的水平集函數(shù)之后,利用三次樣條插值的方法來重新構(gòu)造血管界面。水平集方法的優(yōu)勢是在迭代初始網(wǎng)格已經(jīng)確定了,求解狀態(tài)方程和伴隨方程時(shí),都是在全區(qū)域內(nèi)求解,不需要重新剖分網(wǎng)格。在數(shù)值例子中,我們給出了使用樣條水平集方法得到的最優(yōu)血管形狀,可以看到樣條水平集方法的高效性以及得到的血管是十分光滑的。3.利用了徑向基函數(shù)水平集方法解人造血管形狀設(shè)計(jì)問題。徑向基函數(shù)水平集方法是利用徑向基函數(shù)將水平集函數(shù)參數(shù)化,參數(shù)化后的水平集函數(shù)是一系列光滑函數(shù)的線性組合,它顯然具有良好的光滑性,那么得到的血管界面也必然是光滑的。同時(shí)Hamilton-Jacobi方程就會轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程,在迭代過程中,變量變成了徑向基函數(shù)的系數(shù),而且由于徑向基函數(shù)的特性,參數(shù)化的水平集函數(shù)不會發(fā)生太平或者太陡的情況,從而避免了傳統(tǒng)水平集方法中的重新初始化過程。在數(shù)值例子中,我們給出了利用徑向基函數(shù)水平集方法求得的最優(yōu)血管形狀,并比較了它與樣條水平集方法的效果,結(jié)果表明兩者都能很好地收斂到最優(yōu)血管形狀,且不依賴于初值的選擇,兩種方法最終得到的最優(yōu)血管形狀幾乎一致。本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第一章為人造血管形狀設(shè)計(jì)問題的背景、最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)問題的發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀、人造血管形狀設(shè)計(jì)問題的模型以及有限元方法基礎(chǔ)。第二章中,我們給出了Navier-Stokes方程的弱形式,并利用MINI有限元方法進(jìn)行了離散,構(gòu)造了它們在參考單元的基函數(shù),以及數(shù)值求解過程中的局部以及總體剛度矩陣。并對數(shù)值求解中的高斯積分進(jìn)行了簡單的介紹。在第三章中,我們提出了人造血管形狀設(shè)計(jì)問題的三次樣條逼近算法,采取了基于三次樣條插值的控制點(diǎn)法控制血管邊界,并在梯度法的初值選擇上做了優(yōu)化,采取了較少控制點(diǎn)下的最優(yōu)血管形狀作為初值進(jìn)行計(jì)算。在網(wǎng)格剖分上,我們采取了非均勻的Delauney剖分方法,并利用移動(dòng)網(wǎng)格方法提高了算法的效率。最后的數(shù)值例子說明了我們的算法的有效性以及較高的效率。在第四章中,我們給出了人造血管形狀設(shè)計(jì)問題的樣條水平集方法以及徑向基函數(shù)水平集方法。我們首先介紹了傳統(tǒng)水平集方法的基礎(chǔ)知識,并對人造血管形狀設(shè)計(jì)問題中面對的敏感性分析以及伴隨方程的推導(dǎo)進(jìn)行了說明。由于傳統(tǒng)水平集方法可能產(chǎn)生非光滑界面,我們采取樣條水平集方法進(jìn)行界面的光滑化處理,同時(shí)也采取徑向基函數(shù)水平集方法對水平集函數(shù)進(jìn)行參數(shù)化以使得水平集函數(shù)光滑。數(shù)值例子中我們展示了兩種方法的效果以及效率。最后,我們對本文進(jìn)行了總結(jié),并展望了今后的研究工作。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：浙江大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：2388886