本文關(guān)鍵詞：交換環(huán)論的早期歷史研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

交換環(huán)論的早期歷史研究

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【作 者】王淑紅

【學(xué)位授予單位】西北大學(xué)

【學(xué)位名稱】博士

【導(dǎo)師姓名】姚遠(yuǎn)

【學(xué)位年度】2015

【摘 要】抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)的重要分支,主要研究群、環(huán)、域、模、格等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。環(huán)論是抽象代數(shù)中較為深刻的一部分,按照乘法是否滿足交換律,環(huán)可以劃分為交換環(huán)和非交換環(huán)兩大類。交換環(huán)論和非交換環(huán)論雖皆源于19世紀(jì)早期,但其起源和發(fā)展路徑并不相同。交換環(huán)理論起源于代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和不變量理論,其中代數(shù)數(shù)論這一起源最為重要,反過(guò)來(lái),亦主要應(yīng)用于這些領(lǐng)域。交換環(huán)論經(jīng)由高斯、戴德金、克羅內(nèi)克、希爾伯特、弗蘭克爾、愛(ài)米·諾特等數(shù)學(xué)家的共同努力,在20世紀(jì)二、三十年代發(fā)展成熟,并漸生諸多應(yīng)用。本文在大量掌握19、20世紀(jì)的原始文獻(xiàn)和研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,運(yùn)用概念分析法剖析交換環(huán)論從19世紀(jì)到20世紀(jì)二、三十年代的起源、發(fā)展、完善和傳播的具體科學(xué)實(shí)踐過(guò)程和理論背景,總結(jié)其發(fā)展脈絡(luò)和演化規(guī)律；運(yùn)用比較研究法,分析交換環(huán)論的特點(diǎn)和規(guī)律,分析其中關(guān)鍵人物對(duì)交換環(huán)的概念和理論的不同研究方法和結(jié)果；綜合運(yùn)用史料的實(shí)證方法和編年史方法,理清交換環(huán)論的整體歷史面貌,并給出合乎史實(shí)的恰當(dāng)評(píng)價(jià)。最終形成以交換環(huán)論的發(fā)展演化為經(jīng),以交換環(huán)論和其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系,以及諸學(xué)者間的思想傳承為緯的全景圖,這對(duì)于理解和認(rèn)識(shí)交換環(huán)論及其環(huán)論和相關(guān)學(xué)科具有重要理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。研究結(jié)果和結(jié)論為：(1)從經(jīng)典數(shù)論中的高次互反律、二元二次型和費(fèi)馬大定理等核心問(wèn)題出發(fā),重點(diǎn)圍繞其中關(guān)鍵的唯一因子分解問(wèn)題,研究了交換環(huán)論在代數(shù)數(shù)論中的起源,表明高斯、庫(kù)默爾、戴德金、克羅內(nèi)克、希爾伯特等數(shù)學(xué)家在這一進(jìn)程中發(fā)揮了巨大作用,使得復(fù)整數(shù)環(huán)、理想數(shù)、理想、序環(huán)、環(huán)等概念逐步清晰,不但奠定了一維交換代數(shù)的基礎(chǔ),而且建立和發(fā)展起代數(shù)數(shù)論這一學(xué)科。(2)揭示了交換環(huán)論在代數(shù)幾何和不變量理論中產(chǎn)生的歷史過(guò)程,特別是希爾伯特所證明的基定理和零點(diǎn)定理、拉斯克爾和麥考萊的準(zhǔn)素理想及其準(zhǔn)素分解理論。(3)再次確認(rèn)了第一個(gè)提出抽象環(huán)概念的數(shù)學(xué)家弗蘭克爾,分析了弗蘭克爾是如何在洛伊、亨澤爾、希爾伯特、斯坦尼茲和策梅洛這些學(xué)術(shù)大家的指引和幫助下走上數(shù)學(xué)創(chuàng)新的正確道路,并用公理化思想來(lái)研究交換環(huán)論。認(rèn)為弗蘭克爾以環(huán)等數(shù)學(xué)實(shí)例研究實(shí)踐了公理化思想,用公理化思想把新興的數(shù)學(xué)推上了更高的理論層次,為其進(jìn)一步發(fā)展做出了鋪墊,公理化、抽象化是他從事數(shù)學(xué)研究核心思想,也是他在集合論的公理化研究能夠集就大成的一個(gè)重要因素。(4)分析了愛(ài)米·諾特為何從不變式論轉(zhuǎn)到交換環(huán)論的研究,并且揭示了愛(ài)米·諾特通過(guò)對(duì)升鏈條件的重視與應(yīng)用,完成對(duì)抽象環(huán),特別是諾特環(huán)的公理刻畫(huà),從而建立起抽象交換環(huán)論,并促使抽象代數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科正式建立起來(lái)。(5)在非交換環(huán)論的起源和發(fā)展方面,闡述了其起源于復(fù)數(shù)擴(kuò)張到各種不同的超復(fù)數(shù)系的研究,這對(duì)理解交換環(huán)論在整個(gè)環(huán)論中的地位有重要作用。(6)論述了環(huán)論與群論、域論、代數(shù)幾何、模范疇、物理學(xué)以及格論的關(guān)系等,認(rèn)為交換環(huán)論從其產(chǎn)生伊始,就和應(yīng)用相伴在一起,在環(huán)論發(fā)展相對(duì)完善之后,其逐漸提高的理論層次使得它的應(yīng)用范圍更加廣闊,深入到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支,并且與這些分支的關(guān)系密切而自然,彼此間的相互滲透和交互影響將是未來(lái)發(fā)展的一大趨勢(shì)。(7)交換環(huán)論的歷史波瀾壯闊,涉及到費(fèi)馬大定理、高次互反律等歷史名題,與代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和不變式論等多個(gè)學(xué)科關(guān)系密切,同時(shí)是從19世紀(jì)到20世紀(jì)二三十年代數(shù)學(xué)觀念從數(shù)、集合到結(jié)構(gòu)思想變遷的一個(gè)縮影,其中公理化和結(jié)構(gòu)化占據(jù)著主導(dǎo)地位。(8)交換環(huán)論中相關(guān)數(shù)學(xué)家的思想傳承,既深邃精彩,又代代相承,凝聚了高斯、狄利克雷、庫(kù)默爾、戴德金、克羅內(nèi)克、拉斯克爾、麥考萊、希爾伯特、弗蘭克爾、愛(ài)米·諾特、阿廷、范德瓦爾登、曾炯等一批數(shù)學(xué)大師思想精粹,是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上光彩奪目的篇章,不但大大推動(dòng)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的演進(jìn),而且也在人文思想領(lǐng)域播撒了惠及整個(gè)人類的精神給養(yǎng)。(9)鑒于曾炯與愛(ài)米·諾特及阿廷的師承關(guān)系及其曾炯所處的地域和歷史時(shí)期,對(duì)與其相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行了研究(見(jiàn)附錄)。  隱藏更多

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