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《中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)》 2015年

有限差分WENO格式另一種公式的研究和隨機游走模型的數(shù)值模擬

蔣琰  

【摘要】：本論文主要研究了高階有限差分加權(quán)本質(zhì)無震蕩格式(即WENO格式)的另外一種構(gòu)造公式和生物中隨機游走模型的數(shù)值模擬。論文主要分為兩大部分： 論文的第一部分,我們針對雙曲守恒律方程的解進行高階WENO插值,從而構(gòu)造了守恒型數(shù)值流通量。與基于流函數(shù)重構(gòu)的傳統(tǒng)有限差分WENO格式相比,我們的格式有如下幾個優(yōu)點。第一個優(yōu)點是對于標量方程可以使用任意的單調(diào)數(shù)值流通量,對于方程組可以使用任意的黎曼解。而傳統(tǒng)的有限差分WENO格式為了滿足非線性穩(wěn)定性和高階精度,在WENO重構(gòu)過程中必須使用光滑的流分裂,因此,不是所有的單調(diào)數(shù)值流通量或者黎曼解都適用。第二個優(yōu)點是與Lax-Wendroff時間離散相結(jié)合的時候,我們的格式與基于重構(gòu)的傳統(tǒng)有限差分WENO格式相比,會使用較窄的有效模板。我們細述了空間五階,時間四階的格式的構(gòu)造,顯示我們的格式需要的模板與半離散格式的模板一致。數(shù)值實驗驗證,這種構(gòu)造方法不僅可以在光滑區(qū)域得到高階精度,在間斷區(qū)域也保持穩(wěn)定、本質(zhì)無震蕩性質(zhì)和陡峭的間斷過渡等。在使用相同的網(wǎng)格時,傳統(tǒng)有限差分WENO格式產(chǎn)生的誤差比我們的格式大,這說明使用較窄的有效模板和自由選取單調(diào)流通量可以有效減小誤差。第三個優(yōu)點是在曲線網(wǎng)格上可以準確保證自由流條件,而傳統(tǒng)的有限差分WENO格式很難滿足這一性質(zhì)。理論分析和數(shù)值結(jié)果都說明,基于一種對度量項的數(shù)值處理方法,我們的格式在靜態(tài)曲線網(wǎng)格和動態(tài)曲線網(wǎng)格上均可以保證自由流條件和渦條件。然而,這種處理度量項的方法卻很難應(yīng)用在傳統(tǒng)有限差分WENO格式中。 論文的第二部分是對生物中的隨機游走模型進行數(shù)值研究。這是一個半線性雙曲方程組,描述在適當(dāng)環(huán)境中生物或細胞密度隨時間的變化,從而反映它們的集體運動行為。在模型假設(shè)中,生物或細胞有固定的運動速度,而它們的運動方向受相鄰個體影響。在這個模型中,我們考慮生物體之間吸引、排斥和列隊三種作用。由于這個模型的解在生物意義上是種群密度,所以它具有保正性質(zhì)。針對這一模型,我們使用Runge-Kutta有限差分WENO格式進行數(shù)值模擬。因為模型的解為非負的,所以我們在格式中加入了一種保正算子,這種算子在不影響格式精度的前提下滿足數(shù)值解的保正性質(zhì)。我們給出理論證明,說明當(dāng)我們在三階TVD Runge-Kutta時間離散結(jié)合三階有限差分格式來求解這一模型時,保正算子仍能保持時間／空間上的三階精度。數(shù)值算例證明對于五階格式,保正算子同樣可以保持五階精度。

【關(guān)鍵詞】：
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82
【目錄】：

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