本文選題：微分形式 + BMO范數(shù)　； 參考：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：微分形式是函數(shù)的自然推廣,其相關(guān)研究發(fā)展了歐式空間中的微積分理論。作為處理流形上微積分理論的有力工具,微分形式在偏微分方程、微分幾何以及物理學(xué)中的力學(xué)、電磁學(xué)等研究方向發(fā)揮著重要的作用。另一方面算子理論在數(shù)學(xué)、物理、工程、計(jì)算機(jī)等眾多領(lǐng)域更是扮演著不可或缺的角色。在過去的二十年中,微分形式理論,包括微分形式上的方程理論、微分形式的算子理論、微分形式的L~p理論和區(qū)域的刻畫等迅速發(fā)展,成為了當(dāng)今科學(xué)研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域之一。微分形式的算子理論在現(xiàn)代科學(xué)研究中起著重要的作用,并且在眾多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。本文主要研究調(diào)和分析和偏微分方程中的經(jīng)典算子,如極大算子、奇異積分算子、Green算子、Dirac算子和其復(fù)合算子在微分形式空間上的范數(shù)不等式。特別地,針對(duì)非齊次A-調(diào)和張量及共軛A-調(diào)和張量,進(jìn)一步研究了相關(guān)算子的范數(shù)有界性。本文主要研究內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面:首先,利用微分形式的分解性質(zhì)和基本不等式等工具,結(jié)合極大算子及位勢(shì)算子的有界性,研究了微分形式上極大算子和位勢(shì)算子的復(fù)合算子Ms?P的有界性,并對(duì)復(fù)合算子Ms?P的L~p范數(shù)、BMO范數(shù)和Lipschitz范數(shù)進(jìn)行了比較。其次,定義了微分形式上的多重線性Calderón Zygmund奇異積分算子L和L,在一般的微分形式空間上運(yùn)用Calderón Zygmund分解等技巧討論了多重線性Calderón Zygmund奇異積分算子的端點(diǎn)弱有界性,為得到算子的強(qiáng)有界性提供了重要支撐。針對(duì)非齊次A-調(diào)和張量,通過H?lder不等式和特征函數(shù)等方法對(duì)多重線性Calderón Zygmund奇異積分算子L在微分形式上的L~p范數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。然后,研究了微分形式上包含Hodge-Dirac算子的復(fù)合算子范數(shù)不等式,對(duì)復(fù)合算子M?s?D?G的L~p范數(shù)、BMO范數(shù)、Lipschitz范數(shù)的上界以及相應(yīng)的加權(quán)BMO范數(shù)和加權(quán)Lipschitz范數(shù)的上界進(jìn)行了估計(jì)。并且對(duì)Jacobian行列式的子行列式和K-擬正則映射等,估計(jì)了其在復(fù)合算子M?s?D?G作用下的上界。推廣了BMO范數(shù)和Lipschitz范數(shù)的概念,對(duì)微分形式上的復(fù)合算子Dk?Gk和Dk+1?Gk的廣義BMO范數(shù)和廣義Lipschitz范數(shù)進(jìn)行了比較。最后,考慮到Orlicz函數(shù)理論在近代分析學(xué)中的重要作用,結(jié)合Orlicz函數(shù)和有界平均震蕩空間的概念,給出了L~φ-Lipschitz范數(shù)和L~φ-BMO范數(shù)的定義。利用一類Young函數(shù),G(p,q,C)-類,討論了同倫算子T作用于微分形式的L~φ-Lipschitz范數(shù)和L~φ-BMO范數(shù)不等式。然后推廣了共軛A-調(diào)和張量的范數(shù)比較不等式,對(duì)共軛A-調(diào)和張量u和v的L~φ-BMO范數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。
[Abstract]:The differential form is a natural generalization of function, and its related research develops the calculus theory in Euclidean space. As a powerful tool for dealing with the calculus theory on manifolds, differential forms play an important role in the research of partial differential equations, differential geometry, mechanics and electromagnetism in physics and so on. On the other hand, operator theory plays an indispensable role in mathematics, physics, engineering, computer and many other fields. In the past twenty years, the theory of differential form, including the theory of differential equation, the theory of differential operator, the theory of differential form and the characterization of region, have become one of the hot fields of scientific research. Differential operator theory plays an important role in modern scientific research and is widely used in many fields. In this paper, the classical operators in harmonic analysis and partial differential equations, such as maximal operator, singular integral operator, Green operator, Dirac operator, and their composition operators, are studied in the differential form space. In particular, for nonhomogeneous A- harmonic Zhang Liang and conjugate A- harmonic Zhang Liang, we further study the norm boundedness of correlation operators. The main contents of this paper include the following aspects: firstly, by using the decomposition property of differential form and the basic inequality, combined with the boundedness of maximal operator and potential operator, In this paper, the boundedness of the composition operator Msmp of the maximal operator and the potential operator in differential form is studied, and the BMO norm and Lipschitz norm of the composition operator MSG P are compared. Secondly, the multiplex linear Calder 貿(mào) n Zygmund singular integral operator L and L are defined in the differential form. The weak boundedness of the extreme point of the multiplex linear Calder 貿(mào) n Zygmund singular integral operator is discussed by using the techniques of Calder 貿(mào) n and Zygmund decomposition on the general differential form space. It provides important support for the strong boundedness of operators. For nonhomogeneous A- harmonic Zhang Liang, the L ~ p norm of multiplex linear Calder 貿(mào) n Zygmund singular integral operator L in differential form is estimated by means of Hillder inequality and eigenfunction. Then, the norm inequality of composition operator containing Hodge-Dirac operator in differential form is studied. The upper bound of Lipschitz norm and the upper bound of weighted BMO norm and weighted Lipschitz norm are estimated. The upper bound of Jacobian determinant subdeterminant, K-quasi regular mapping and so on under the action of composition operator MVX DG is also estimated. In this paper, the concepts of BMO norm and Lipschitz norm are generalized, and the generalized BMO norm and generalized Lipschitz norm of composition operator DkGk in differential form and generalized Lipschitz norm are compared. Finally, considering the important role of Orlicz function theory in modern analysis, the definitions of L ~ 蠁 -Lipschitz norm and L ~ 蠁 -BMO norm are given by combining the concepts of Orlicz function and bounded mean oscillatory space. In this paper, by using a class of Young functions G (pnqnc) -class, we discuss the inequalities of L ~ 蠁 -Lipschitz norm and L ~ 蠁 -BMO norm of homotopy operator T acting on differential form. Then we generalize the norm comparison inequality of conjugate A- harmonic Zhang Liang, and estimate the L蠁 -BMO norm of conjugate A- harmonic Zhang Liang u and v.
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O177

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本文編號(hào)：2088786