本文選題：微分形式 + BMO范數(shù)��； 參考：《哈爾濱工業(yè)大學》2017年博士論文

【摘要】：微分形式是函數(shù)的自然推廣,其相關研究發(fā)展了歐式空間中的微積分理論。作為處理流形上微積分理論的有力工具,微分形式在偏微分方程、微分幾何以及物理學中的力學、電磁學等研究方向發(fā)揮著重要的作用。另一方面算子理論在數(shù)學、物理、工程、計算機等眾多領域更是扮演著不可或缺的角色。在過去的二十年中,微分形式理論,包括微分形式上的方程理論、微分形式的算子理論、微分形式的L~p理論和區(qū)域的刻畫等迅速發(fā)展,成為了當今科學研究的熱點領域之一。微分形式的算子理論在現(xiàn)代科學研究中起著重要的作用,并且在眾多領域應用廣泛。本文主要研究調和分析和偏微分方程中的經典算子,如極大算子、奇異積分算子、Green算子、Dirac算子和其復合算子在微分形式空間上的范數(shù)不等式。特別地,針對非齊次A-調和張量及共軛A-調和張量,進一步研究了相關算子的范數(shù)有界性。本文主要研究內容包括以下幾個方面:首先,利用微分形式的分解性質和基本不等式等工具,結合極大算子及位勢算子的有界性,研究了微分形式上極大算子和位勢算子的復合算子Ms?P的有界性,并對復合算子Ms?P的L~p范數(shù)、BMO范數(shù)和Lipschitz范數(shù)進行了比較。其次,定義了微分形式上的多重線性Calderón Zygmund奇異積分算子L和L,在一般的微分形式空間上運用Calderón Zygmund分解等技巧討論了多重線性Calderón Zygmund奇異積分算子的端點弱有界性,為得到算子的強有界性提供了重要支撐。針對非齊次A-調和張量,通過H?lder不等式和特征函數(shù)等方法對多重線性Calderón Zygmund奇異積分算子L在微分形式上的L~p范數(shù)進行了估計。然后,研究了微分形式上包含Hodge-Dirac算子的復合算子范數(shù)不等式,對復合算子M?s?D?G的L~p范數(shù)、BMO范數(shù)、Lipschitz范數(shù)的上界以及相應的加權BMO范數(shù)和加權Lipschitz范數(shù)的上界進行了估計。并且對Jacobian行列式的子行列式和K-擬正則映射等,估計了其在復合算子M?s?D?G作用下的上界。推廣了BMO范數(shù)和Lipschitz范數(shù)的概念,對微分形式上的復合算子Dk?Gk和Dk+1?Gk的廣義BMO范數(shù)和廣義Lipschitz范數(shù)進行了比較。最后,考慮到Orlicz函數(shù)理論在近代分析學中的重要作用,結合Orlicz函數(shù)和有界平均震蕩空間的概念,給出了L~φ-Lipschitz范數(shù)和L~φ-BMO范數(shù)的定義。利用一類Young函數(shù),G(p,q,C)-類,討論了同倫算子T作用于微分形式的L~φ-Lipschitz范數(shù)和L~φ-BMO范數(shù)不等式。然后推廣了共軛A-調和張量的范數(shù)比較不等式,對共軛A-調和張量u和v的L~φ-BMO范數(shù)進行了估計。
[Abstract]:The differential form is a natural generalization of function, and its related research develops the calculus theory in Euclidean space. As a powerful tool for dealing with the calculus theory on manifolds, differential forms play an important role in the research of partial differential equations, differential geometry, mechanics and electromagnetism in physics and so on. On the other hand, operator theory plays an indispensable role in mathematics, physics, engineering, computer and many other fields. In the past twenty years, the theory of differential form, including the theory of differential equation, the theory of differential operator, the theory of differential form and the characterization of region, have become one of the hot fields of scientific research. Differential operator theory plays an important role in modern scientific research and is widely used in many fields. In this paper, the classical operators in harmonic analysis and partial differential equations, such as maximal operator, singular integral operator, Green operator, Dirac operator, and their composition operators, are studied in the differential form space. In particular, for nonhomogeneous A- harmonic Zhang Liang and conjugate A- harmonic Zhang Liang, we further study the norm boundedness of correlation operators. The main contents of this paper include the following aspects: firstly, by using the decomposition property of differential form and the basic inequality, combined with the boundedness of maximal operator and potential operator, In this paper, the boundedness of the composition operator Msmp of the maximal operator and the potential operator in differential form is studied, and the BMO norm and Lipschitz norm of the composition operator MSG P are compared. Secondly, the multiplex linear Calder 貿 n Zygmund singular integral operator L and L are defined in the differential form. The weak boundedness of the extreme point of the multiplex linear Calder 貿 n Zygmund singular integral operator is discussed by using the techniques of Calder 貿 n and Zygmund decomposition on the general differential form space. It provides important support for the strong boundedness of operators. For nonhomogeneous A- harmonic Zhang Liang, the L ~ p norm of multiplex linear Calder 貿 n Zygmund singular integral operator L in differential form is estimated by means of Hillder inequality and eigenfunction. Then, the norm inequality of composition operator containing Hodge-Dirac operator in differential form is studied. The upper bound of Lipschitz norm and the upper bound of weighted BMO norm and weighted Lipschitz norm are estimated. The upper bound of Jacobian determinant subdeterminant, K-quasi regular mapping and so on under the action of composition operator MVX DG is also estimated. In this paper, the concepts of BMO norm and Lipschitz norm are generalized, and the generalized BMO norm and generalized Lipschitz norm of composition operator DkGk in differential form and generalized Lipschitz norm are compared. Finally, considering the important role of Orlicz function theory in modern analysis, the definitions of L ~ 蠁 -Lipschitz norm and L ~ 蠁 -BMO norm are given by combining the concepts of Orlicz function and bounded mean oscillatory space. In this paper, by using a class of Young functions G (pnqnc) -class, we discuss the inequalities of L ~ 蠁 -Lipschitz norm and L ~ 蠁 -BMO norm of homotopy operator T acting on differential form. Then we generalize the norm comparison inequality of conjugate A- harmonic Zhang Liang, and estimate the L蠁 -BMO norm of conjugate A- harmonic Zhang Liang u and v.
【學位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O177

【相似文獻】

相關期刊論文 前10條

1 張銀鶴,李黎;相對微分及其應用[J];鄭州輕工業(yè)學院學報;2004年03期

2 王興波;;微分形式教學方法的探析[J];高等數(shù)學研究;2009年04期

3 趙昌五;;微分形式及其應用[J];長安大學學報(自然科學版);1982年02期

4 ;微分演算的歷史發(fā)展過程[J];復旦學報(自然科學版);1975年01期

5 洪國雄;電磁場的微分形式[J];上海海運學院學報;1987年04期

6 陳強順;;微分形式與外微分在電磁場中的應用[J];揚州師院學報(自然科學版);1990年03期

7 班書昊,李曉艷;廣義微分的統(tǒng)一形式及其在彈性力學中的應用[J];江蘇工業(yè)學院學報;2005年02期

8 朱學賢;對微分本質的一點認識[J];清華北大理工學報;1975年03期

9 苗宗文;;關于微分形式不變性的應用[J];安陽師范學院學報;2009年05期

10 孫清華;;積分定理的微分形式[J];武漢紡織工學院學報;1998年04期

相關會議論文 前2條

1 裴麗群;;證明不等式的通法舉例[A];科技創(chuàng)新與節(jié)能減排——吉林省第五屆科學技術學術年會論文集（上冊）[C];2008年

2 黃華春;;不等式證明的函數(shù)方法[A];數(shù)學及其應用文集——中南模糊數(shù)學和系統(tǒng)分會第三屆年會論文集（下卷）[C];1995年

相關博士學位論文 前6條

1 李雪鑫;微分形式上若干算子的范數(shù)不等式[D];哈爾濱工業(yè)大學;2017年

2 郭立豐;變指數(shù)微分形式空間及其應用[D];哈爾濱工業(yè)大學;2013年

3 王翠;加權位移算子的凸循環(huán)和不交圓盤循環(huán)性質的研究[D];天津大學;2016年

4 文海玉;幾類空間上的微分形式的研究[D];哈爾濱工業(yè)大學;2014年

5 郭倩平;框架理論及其在信號傳輸中的應用研究[D];電子科技大學;2017年

6 趙建國;復Hilbert空間上的若干有界線性算子不等式的研究[D];重慶大學;2015年

相關碩士學位論文 前10條

1 朱曉鳴;量子mKP系列[D];合肥工業(yè)大學;2017年

2 王天;弱WT_2類微分形式的推廣及應用[D];河北大學;2014年

3 王艷艷;兩類弱WT類微分形式和弱A-調和張量[D];河北大學;2010年

4 王振玲;關于G-期望下倒向隨機微分方程的一點探討[D];南京大學;2014年

5 龍章玲;人教版與上教版高中數(shù)學教材的分析與比較[D];貴州師范大學;2016年

6 牛彩莉;條件弱（下）鞅的概率不等式及其應用[D];西北師范大學;2016年

7 穆傳東;對多項式不等式若干證明技術的研究[D];華東師范大學;2010年

8 李世全;不確定理論下的不等式證明[D];重慶師范大學;2010年

9 王美燕;關于古田不等式的相關問題及其推廣[D];東華大學;2010年

10 邵俊偉;區(qū)間運算及其在不等式證明中的應用[D];寧波大學;2008年

，

本文編號：2088785