本文選題：χ~((2))二次諧波系統(tǒng) + 非退化性��； 參考：《華中師范大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：本文主要研究幾類非線性橢圓型方程解的存在性.全文共分四章:在第一章中,我們主要闡述本文所討論問題的背景及研究現(xiàn)狀,并簡(jiǎn)要介紹本文的主要工作.在第二章中,我們研究下述帶有對(duì)稱位勢(shì)函數(shù)的χ(2)二次諧波SHG(Second Harmonic Generation)系統(tǒng):同步正解的存在性,其中2 ≤N6,μ0且≥ 7.我們建立了該系統(tǒng)的非退化性.有了這個(gè)系統(tǒng)的非退化性,我們利用Liapunov-Schmidt約化構(gòu)造出該系統(tǒng)的無窮多個(gè)非徑向?qū)ΨQ的同步正解.在第三章中,我們考慮在≤N6)中的帶有非對(duì)稱位勢(shì)的χ(2)二次諧波系統(tǒng):其中位勢(shì)函數(shù)'P(x),Q(x)是滿足某適當(dāng)退化性的連續(xù)函數(shù),而且不需要任何對(duì)稱性質(zhì),ε為一正常數(shù),μ和γ都是參數(shù).我們對(duì)具有非對(duì)稱位勢(shì)函數(shù)的問題提出了新的結(jié)論,使用方法有別于前一章.主要利用Liapunov-Schmidt約化方法.目前我們有兩個(gè)主要的困難.首先,我們要證明極大值點(diǎn)不會(huì)跑到無窮遠(yuǎn)處,這點(diǎn)可以由對(duì)于位勢(shì)函數(shù)的慢衰減性假設(shè)可以保證.其次,當(dāng)波峰靠近位形空間的邊界時(shí),我們要注意到其能量的差.這個(gè)關(guān)鍵的估計(jì)將在一個(gè)引理中給出.在引理中我們給出了從第m步到第(m + 1)步所產(chǎn)生的累積誤差是可控的.在第四章中,我們主要考慮分?jǐn)?shù)階的帶有Hardy位勢(shì)的非局部方程其中μ≥0滿足(?)2N/N-6s;a為一正常數(shù),且(-Δ)s表示的是在Ω上的帶有零Dirichlet邊界(?)Ω條件的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子.我們利用逼近法得到了該問題的無窮多解的存在性.
[Abstract]:In this paper, we study the existence of solutions for some nonlinear elliptic equations. In the first chapter, we mainly explain the background and research status of the problems discussed in this paper, and briefly introduce the main work of this paper. In chapter 2, we study the existence of positive synchronous solutions for 蠂 (2) second harmonic SHG (second harmonic generation) systems with symmetric potential function, where 2 鈮，

本文編號(hào)：2071458