發(fā)布時間：2018-06-20 09:13

  本文選題：Volterra延遲積分微分方程 + 積分代數(shù)方程　； 參考：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：譜方法、有限元法、有限差分法都是求解線性與非線性微分方程的有效數(shù)值方法。譜方法是一類對微分方程空間變量離散的方法,它主要由試探函數(shù)(也稱基函數(shù)或展開函數(shù))和檢驗函數(shù)組成。譜方法中的試探函數(shù)為無窮可微的整體函數(shù)(通常是奇異或非奇異Sturm-Liouville問題的特征函數(shù))。根據(jù)檢驗函數(shù)的選取不同,可將譜方法分為譜Galerkin方法、譜配置法(也稱擬譜方法)和譜Tau方法。譜方法最大優(yōu)勢在于它具有所謂的“無窮階收斂性”,但這必須要求原問題的真解能夠達到充分光滑,這樣就導(dǎo)致了譜方法的缺點是不能靈活地適應(yīng)復(fù)雜區(qū)域的計算。本文將譜方法中的譜配置法和譜Tau方法引入到延遲微分方程與積分代數(shù)方程上來,并對收斂性進行了深入研究。譜配置法是將檢驗函數(shù)取為以配置點為中心的Dirac-δ函數(shù),這樣使得微分方程在配置點上精確成立。將選取Legendre-Gauss型求積公式節(jié)點為配置點、選取Legendre多項式為試探基函數(shù)的配置法稱為Legendre-Gauss配置法。本文將運用Legendre-Gauss配置法數(shù)值求解非線性中立型延遲微分方程和非線性Volterra型延遲積分微分方程。這兩類方程的解在求解區(qū)間內(nèi)的整體光滑性并不理想,這是因為真解在求解區(qū)間內(nèi)個別點上的光滑性很差,從而導(dǎo)致整體光滑性不佳,而這些點是由方程中延遲函數(shù)θ(t)所確定的。為解決這一難題,本文提出了多區(qū)域Legendre-Gauss配置法。該方法是將求解區(qū)間進行充分剖分,從而保證方程真解在每個子區(qū)間都能夠充分光滑;然后分別在每個子區(qū)間內(nèi)求其配置解,進而獲得全局數(shù)值解。按此方法獲得的數(shù)值解是能夠具備譜精度的,即真解只要能在由θ(t)確定的那些點之外充分光滑,則數(shù)值解就能夠做到“無窮階收斂”。與以往的譜Tau方法不同,Lanczos和Ortiz提出了一種便于操作的Lanczos Tau方法。這種方法不需要進行積分近似,它是將微分方程直接近似轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。本文運用Lanczos Tau方法來求解比例型線性Volterra延遲積分微分方程。由數(shù)值算例的對比結(jié)果可見,相比Legendre配置法的高精度,Lanczos Tau方法的優(yōu)勢在于它的高效性。在達到相同收斂階時,Lanczos Tau方法所用時間要遠遠少于Legendre配置法所使用的。本文同時給出了Lanczos Tau方法在一般情形下的收斂性分析,并指出了決定其收斂速度的關(guān)鍵因素,這些理論結(jié)果在以往的研究成果中是比較少見的。配置法中,取等距節(jié)點jh(j=0,±1,±2,···,h0)映射到求解區(qū)域的對應(yīng)點為配置點,取Sinc基函數(shù)為試探基函數(shù)的配置法稱為Sinc配置法。Sinc配置法是另一種高精度的數(shù)值方法,它不需要方程具有較高的正則性。作為試探基函數(shù)的Sinc基函數(shù)能夠?qū)ζ娈悺⒄袷幍葐栴}給出很好的逼近,并同時具備良好的穩(wěn)定性,這使得Sinc配置法在處理復(fù)雜方程時具有許多優(yōu)勢。本文運用Sinc配置法求解比例型線性Volterra延遲積分微分方程和具有指標(biāo)1的積分代數(shù)方程,這是Sinc配置法應(yīng)用的新嘗試。通過誤差分析可知,Sinc配置法是能夠以指數(shù)階收斂的高精度數(shù)值方法。
[Abstract]:The spectral method, finite element method and finite difference method are all effective numerical methods for solving linear and nonlinear differential equations. The spectral method is a kind of method to discrete the spatial variables of differential equations. It is composed mainly of exploratory functions (also known as basic functions or expansion functions) and test functions. The test function in the spectral method is a infinitely differentiable function ( The spectral method can be divided into spectral Galerkin method, spectral collocation method (also called pseudo spectral method) and spectral Tau method according to the selection of the test function. The greatest advantage of the spectral method is that it has the so-called "infinite order convergence", but it must require the true solution of the original problem. The spectral method and the spectral Tau method are introduced to the delay differential equation and the integral algebraic equation, and the convergence is deeply studied. The spectral collocation method is to take the test function as the point in the configuration point. The Dirac- delta function of the heart makes the differential equation set up accurately at the point of configuration. The Legendre-Gauss type formula node is selected as the configuration point, and the configuration method of selecting the Legendre polynomial as the basis function is called the Legendre-Gauss configuration method. This paper will use the Legendre-Gauss configuration method to solve the nonlinear neutral delay differential equation. And the nonlinear Volterra type delay integral differential equation. The solution of the two kinds of equations is not ideal in the solution interval. This is because the smoothness of the true solution on the individual points in the solution interval is very poor, which leads to the poor overall smoothness, and these points are determined by the delay function theta (T) in the equation. In this paper, a multi region Legendre-Gauss configuration method is proposed. This method is to fully dissection the solution interval, so that the true solution of the equation can be fully smooth in each subinterval, and then the solution is obtained in each subinterval, and then the global numerical solution is obtained. As long as the solution can be fully smooth beyond those determined by theta (T), then the numerical solution can achieve "infinite order convergence". Unlike the previous spectral Tau method, Lanczos and Ortiz proposed a Lanczos Tau method which is easy to operate. This method does not require integral approximation. It is a direct approximation of the differential equation into an algebraic equation. In this paper, the Lanczos Tau method is used to solve the proportional linear Volterra delay integral differential equation. The comparison between the numerical examples shows that the advantage of the Lanczos Tau method is its high efficiency compared with the high precision of the Legendre configuration method. The time of the Lanczos Tau method is far less than the Legendre configuration when the same convergence order is reached. At the same time, this paper gives the convergence analysis of the Lanczos Tau method in the general case, and points out the key factors to determine its convergence speed. These theoretical results are rare in the previous research results. In the configuration method, the equivalent node JH (j=0, + 1, + 2, and H0) is mapped to the corresponding point of the solution area. Point, the configuration method of taking the Sinc basis function as the basis function is called the Sinc configuration method.Sinc configuration method is another high precision numerical method, it does not need the high regularity of the equation. The Sinc basis function of the test basis function can give good compel to the singularity, oscillation and so on, and also has good stability, which makes Sin C configuration method has many advantages in dealing with complex equations. This paper uses Sinc configuration method to solve proportional linear Volterra delay integral differential equation and integral algebraic equation with index 1. This is a new attempt for the application of Sinc configuration method. By error analysis, it is known that Sinc configuration method is a high-precision numerical method that can converge to exponential order.
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.8

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本文編號：2043758