本文選題：Clifford分析 + 超復Fourier變換��； 參考：《哈爾濱工業(yè)大學》2017年博士論文

【摘要】：Fourier變換是目前稱為Fourier分析的數(shù)學分支中的核心概念。經(jīng)典Fourier變換不僅與其它數(shù)學分支,如偏微分方程、數(shù)論、表示論、數(shù)學物理有深刻的聯(lián)系,而且在工程問題中有大量的應(yīng)用,它已經(jīng)成為科學研究中一個基本工具。Clifford分析為定義真正的高維Fourier變換,而不僅僅是一維Fourier變換的張量積提供了理論基礎(chǔ)。近年來,Clifford-Fourier變換吸引了很多人興趣。利用李代數(shù)sl2的表示理論與群對稱性,研究者定義了推廣的Clifford-Fourier變換,給出了滿足特定條件的積分變換的完全分類。但是,人們僅獲得了少數(shù)幾種情形下積分核的明確表達式及其有界性。與sl2相相關(guān)的Fourier變換還有Dunkl變換、(k,a)-Fourier變換及其在Clifford代數(shù)框架下的推廣等。這些變換積分核的明確表達式仍有待研究。特別的,近30年來,Dunkl核及其對稱化Dunkl-Bessel函數(shù)的積分表示已經(jīng)成為一個廣泛關(guān)注的問題,其與Markov過程、隨機矩陣、Calogero-Moser-Sutherland型量子多體系統(tǒng)、共形群的極小表示理論都有深刻的聯(lián)系。本文主要針對以上幾類Fourier核進行了研究,建立了基于Laplace變換的計算Clifford-Fourier變換積分核封閉表達式的新方法,得到了二面體群情形下的Dunkl核及其對稱化、(k,a)-Fourier核的表達式,并對這些積分核精確的界進行了估計。本文主要研究內(nèi)容包括以下幾個方面:1.利用Clifford分析單演函數(shù)論,特殊函數(shù)和Laplace變換等工具,研究了 Clifford-Fourier核及其推廣在Laplace域中的封閉表達式;得到了積分核的顯明表達式與平面波分解;定義并計算了偶數(shù)維核的生成函數(shù);對推廣的Clifford-Fourier核的增長速度進行了估計;確定了可以生成有界Fourier核的多項式。2.考慮到雙曲空間和歐氏空間不同的幾何特性,在雙曲空間中定義了推廣的Helgason-Fourier變換;使用分數(shù)階積分建立了 Clifford-Fourier積分核在Laplace域中的表達式與雙曲空間中Fourier核之間的聯(lián)系,導出了偶數(shù)維積分核的明確表達式及其形式生成函數(shù)。3.針對Dunkl核與(k,a)-Fourier核,利用Poisson核和Fourier核之間的關(guān)系,計算了推廣Fourier核在Laplace域中的表達式;研究了(0,a)-Fourier核、二面體群情形下Dunkl核及其對稱化的積分表達式,分析了當參數(shù)是整數(shù)時,這兩類Fourier核封閉表達式的存在性;然后利用數(shù)學歸納法,特殊函數(shù)等技巧對(0,2/n)-Fourier變換積分核的界進行了估計。
[Abstract]:Fourier transform is a core concept in the branch of mathematics called Fourier analysis. Classical Fourier transform is not only closely related to other branches of mathematics, such as partial differential equation, number theory, representation theory, mathematical physics, but also has a large number of applications in engineering problems. It has become a basic tool in scientific research. Clifford analysis provides a theoretical basis for defining the real high-dimensional Fourier transform, not just the tensor product of one-dimensional Fourier transform. In recent years Clifford-Fourier transform has attracted a lot of interest. Using the representation theory of lie algebra sl2 and group symmetry, the authors define the generalized sl2 Fourier transform and give a complete classification of integral transformation satisfying certain conditions. However, the explicit expression of integral kernel and its boundedness are obtained only in a few cases. The Fourier transform related to sl2, as well as the Dunkl transform and its extension in the framework of sl2 algebras, are discussed in this paper. The explicit expressions of these transform integral kernels still need to be studied. In particular, the integral representation of Dunkl kernel and its symmetric Dunkl-Bessel function has become a widespread concern in the last 30 years. It is closely related to Markov processes, the stochastic matrix Calogero-Moser-Sutherland quantum multi-body system and the minimal representation theory of conformal groups. In this paper, several Fourier kernels mentioned above are studied, and a new method for calculating the closed expressions of Clifford-Fourier transform integral kernels based on Laplace transform is established. The expressions of Dunkl kernels and their symmetrically symmetric kernels are obtained in the case of dihedral groups. The exact bounds of these integral kernels are estimated. The main contents of this paper include the following aspects: 1. By using Clifford analysis function theory, special function and Laplace transform, the Clifford-Fourier kernel and its generalized closed expression in Laplace domain are studied, and the explicit expression of integral kernel and plane wave decomposition are obtained. The generating function of even-dimensional kernel is defined and calculated, the growth rate of the generalized Clifford-Fourier kernel is estimated, and the polynomial .2. which can generate bounded Fourier kernel is determined. Considering the different geometric properties of hyperbolic space and Euclidean space, the generalized Helgason-Fourier transform is defined in hyperbolic space, and the relation between Clifford-Fourier integral kernel in Laplace domain and Fourier kernel in hyperbolic space is established by using fractional integral. The explicit expression of even dimensional integral kernel and its form generating function. 3 are derived. In this paper, the expression of generalized Fourier kernel in Laplace domain is calculated by using the relation between Poisson kernel and Fourier kernel, and the integral expression of Dunkl kernel and its symmetrization in the case of dihedral group is studied, and when the parameter is an integer, the integral expression of Dunkl kernel and its symmetrization is studied. The existence of these two kinds of closed expressions of Fourier kernels is obtained and the bounds of the integral kernels of the two Fourier kernels are estimated by means of mathematical induction and special functions.
【學位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O174.2

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本文編號：2024700