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《中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)》 2015年

橢圓曲錢的二次扭系列

張神星  

【摘要】：本文研究了幾類橢圓曲線的二次扭系列.具體來(lái)說(shuō),我們研究了同余數(shù)曲線的二次扭系列,并構(gòu)造了一系列秩零的二次扭；研究了函數(shù)域上橢圓曲線的二次扭系列,并構(gòu)造了一系列秩一的二次扭.在第一章中,我們回顧了BSD猜想和同余數(shù)的歷史和進(jìn)展,并陳述了我們的主要結(jié)果.在第二章中,我們回顧了橢圓曲線的基本理論和本文需要使用的主要概念.在第三章中我們給出了三個(gè)不同系列的非同余數(shù)的一個(gè)充分性判斷條件.前三節(jié)我們介紹了同余數(shù)的概念,并引入了基本的記號(hào),陳述了主要結(jié)論,介紹了證明策略和方法.我們的主要策略是對(duì)同余橢圓曲線次數(shù)為2的同源的Selmer像的大小進(jìn)行估計(jì),以此來(lái)保證弱Mordell-Weil群達(dá)到極小.這種做法可以在弱Mordell-Weil群達(dá)到極小的情形下,得到Tate-Shafarevich群2部分不平凡的同余橢圓曲線.4-7節(jié)對(duì)Selmer群進(jìn)行了具體的計(jì)算和判斷,并在最后一節(jié)完成了主要結(jié)論的證明.在第四章中,我們首先簡(jiǎn)單介紹了函數(shù)域上橢圓曲線的模性和模曲線,給出了數(shù)域情形的Birch引理在函數(shù)域上的類比.通過(guò)研究橢圓曲線上Heegner點(diǎn)上的作用,導(dǎo)出了Heegner點(diǎn)的無(wú)撓性,并得到了一系列秩一的橢圓曲線.我們?cè)谡撐淖詈蠼o了一點(diǎn)展望.

【關(guān)鍵詞】：
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O186.11
【目錄】：

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