本文選題：橢圓方程 + 變分法�。� 參考：《中國(guó)礦業(yè)大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：變分法是非線性泛函分析中重要的基本方法之一.它的基本思想是把微分方程解的問(wèn)題歸結(jié)為相應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)問(wèn)題.本文利用變分法研究了幾類非線性橢圓方程(系統(tǒng))在臨界情形下的解的存在性和解的性態(tài).這幾類方程(系統(tǒng))在物理和力學(xué)中都有非常有意義的實(shí)際應(yīng)用背景,因此,它們一直都是數(shù)學(xué)工作者關(guān)注的熱點(diǎn).本文在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下證明了全空間上臨界情形下這幾類橢圓方程(系統(tǒng))解或多解的存在性,并且分析了解的衰減、漸近等性態(tài),改進(jìn)和推廣了一些已有的結(jié)果.本文內(nèi)容共分為五章.第一章緒論部分對(duì)變分法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的概括,同時(shí)介紹了變分法中一些基本的結(jié)果、幾類橢圓方程的背景、研究現(xiàn)狀以及本文的主要工作.本文從第二章到第五章分別對(duì)全空間上的四類橢圓方程(系統(tǒng))進(jìn)行了研究,以往工作對(duì)相應(yīng)問(wèn)題多是對(duì)單個(gè)方程或者是非線性次臨界問(wèn)題進(jìn)行討論.而本文所討論的問(wèn)題均為全空間上臨界情形下,因此所取得成果改進(jìn)和完善了目前已有結(jié)果.第二章研究全空間上擾動(dòng)橢圓系統(tǒng)解的存在性.在已有的參考文獻(xiàn)中,很多研究單個(gè)擾動(dòng)薛定諤方程,得到了最小能量解,或者是在有界域上針對(duì)橢圓系統(tǒng)給出了次臨界情形下給出了問(wèn)題解的存在性.而本文第二章是在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,研究得到了全空間上兩類擾動(dòng)橢圓系統(tǒng)正解的存在性.推廣和改進(jìn)了已有的工作.第三章利用山路定理主要研究臨界情形下帶有磁勢(shì)及一般非線性項(xiàng)的薛定諤系統(tǒng),得到了該系統(tǒng)在全空間上解的存在性.以往的工作多為研究單個(gè)方程在次臨界情形下帶有特殊非線性項(xiàng)解的存在性及其相應(yīng)的性態(tài),本文的結(jié)果對(duì)以往的工作是一個(gè)改進(jìn)和推廣.從而進(jìn)一步豐富了以往結(jié)果.第四章運(yùn)用擴(kuò)展的Clark定理研究了非線性薛定諤泊松方程,得到了無(wú)窮多解的存在性以及解衰減的性態(tài).已有文獻(xiàn)中,多討論次臨界情形下解的存在性,而且對(duì)于解的衰減這一性態(tài)沒(méi)有研究,本文不僅給出了系統(tǒng)無(wú)窮多解的存在性還給出了解的衰減這一重要性態(tài).第五章研究在全空間上帶有臨界增長(zhǎng)非線性項(xiàng)的Kirchhoff型問(wèn)題解的存在性,得到了非平凡解的存在性同時(shí)給出了解的漸近性態(tài).文中證明了能量泛函滿足局部緊性條件即(PS)c條件.與已有的工作相比較,許多文獻(xiàn)研究的問(wèn)題多為次臨界情形或者是有界區(qū)域上的情形.
[Abstract]:Variational method is one of the important basic methods in nonlinear functional analysis. Its basic idea is to reduce the solution of differential equation to the critical point problem of corresponding functional. In this paper, the existence and behavior of solutions for some nonlinear elliptic equations (systems) under critical conditions are studied by variational method. These equations (systems) have a very meaningful practical application background in physics and mechanics, so they have always been the focus of attention of mathematics workers. In this paper, we prove the existence of solutions or multiple solutions of these elliptic equations (systems) under the condition of proper assumptions, and analyze the attenuation and asymptotic isomorphism of the solutions, and improve and generalize some existing results. This paper is divided into five chapters. The first chapter gives a brief summary of the variational method, introduces some basic results of the variational method, the background of several kinds of elliptic equations, the present research situation and the main work of this paper. In this paper, four kinds of elliptic equations (systems) on the whole space are studied from the second to the fifth chapters. In the past, the corresponding problems are mostly discussed on the single equation or the nonlinear subcritical problem. The problems discussed in this paper are all in the critical case of the whole space, so the results obtained improve and perfect the existing results. In chapter 2, we study the existence of solutions for perturbed elliptic systems in all spaces. In previous references, we have studied the single perturbation Schrodinger equation and obtained the minimum energy solution, or we have given the existence of the solution for the elliptic system under the subcritical condition in the bounded domain. In the second chapter, we study the existence of positive solutions for two kinds of perturbed elliptic systems in the whole space. The existing work has been popularized and improved. In chapter 3, we mainly study the Schrodinger system with magnetic potential and general nonlinear terms in the critical case by using the mountain pass theorem, and obtain the existence of the solution of the system on the whole space. Most of the previous work is to study the existence and corresponding behavior of the solution of a single equation with a special nonlinear term in the subcritical case. The results in this paper are an improvement and generalization of the previous work. This further enriches the previous results. In chapter 4, we use the extended Clark theorem to study the nonlinear Schrodinger Poisson equation, and obtain the existence of infinite solutions and the behavior of solution decay. In the literature, the existence of solutions in the case of subcritical conditions is discussed, and there is no study on the decay of solutions. In this paper, not only the existence of infinite solutions of systems is given, but also the important state of attenuation of solutions is given. In chapter 5, we study the existence of solutions for Kirchhoff type problems with critical growth nonlinear terms in the whole space, and obtain the existence of nontrivial solutions and the asymptotic behavior of solutions. In this paper, it is proved that the energy functional satisfies the local compactness condition. Compared with the previous work, most of the problems studied in the literature are subcritical case or bounded region case.
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175.25

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本文編號(hào)：1869028