本文選題：反常動力學(xué) + 預(yù)估-校正法��； 參考：《蘭州大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：自然界中存在著大量的反常擴(kuò)散現(xiàn)象,反常擴(kuò)散在物理、化學(xué)、生物及工程等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程能夠用于描述這些反常擴(kuò)散現(xiàn)象,反常動力學(xué)和回火反常動力學(xué)模型的建立有助于我們更好地理解反常擴(kuò)散現(xiàn)象.本文的具體研究內(nèi)容如下:一、通過反常動力學(xué)和回火反常動力學(xué)的微觀和宏觀模型研究擴(kuò)散過程,微觀方面的研究對象是隨機(jī)游走模型,具體包括連續(xù)時間隨機(jī)游走(Continuous Time Random Walk,CTRW),萊維游走(Lévy walk)和萊維飛行(Lévy flight).基于這些模型我們詳細(xì)討論了粒子隨機(jī)游走軌跡的統(tǒng)計性質(zhì),并進(jìn)行數(shù)值模擬,提出了生成隨機(jī)變量的高效算法.宏觀方面的研究對象是粒子滿足冪律分布的確定性方程,即時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程.二、討論有關(guān)時間動力學(xué)演化方程的數(shù)值計算方法.首先挖掘分?jǐn)?shù)階算子的短記憶原理的潛在性,并運(yùn)用等分布網(wǎng)格的思想計算初值問題,提出了等分布網(wǎng)格預(yù)估-校正法,通過偽代碼對算法進(jìn)行詳細(xì)描述.數(shù)值實驗結(jié)果證實,在保證不損失算法精度的同時,我們提出的算法大大減少了計算量,該算法能有效解決相應(yīng)發(fā)展方程的數(shù)值解問題.然后,介紹了等分布網(wǎng)格技術(shù),給出了時間動力學(xué)演化方程的數(shù)值格式,并給出了詳細(xì)的誤差分析.最后,通過數(shù)值例子驗證了算法的有效性和可行性.三、在第二部分的研究基礎(chǔ)上,我們介紹了回火分?jǐn)?shù)階算子,研究回火時間動力學(xué)演化方程的數(shù)值計算方法,挖掘出回火分?jǐn)?shù)階算子的短記憶原理的潛力,結(jié)合等分布網(wǎng)格思想提出了回火分?jǐn)?shù)階微分方程的預(yù)估-校正法,并證明了算法的收斂階.數(shù)值結(jié)果表明在不損失計算精度的同時減少了計算量,尤其是時間越長,本文提出的算法優(yōu)點越突出.四、導(dǎo)出了回火分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的比較原理,然后利用Lyapunov直接法研究回火分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),并擴(kuò)展了Lyapunov直接法,導(dǎo)出了Mittag-Leffler穩(wěn)定性并得到了驗證系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,通過本文提出的方法驗證實際系統(tǒng)的穩(wěn)定性是比較方便的.
[Abstract]:There are a lot of abnormal diffusion phenomena in nature, which are widely used in physics, chemistry, biology and engineering.Fractional calculus and fractional differential equations can be used to describe these anomalous diffusion phenomena. The establishment of anomalous dynamics and tempering anomalous dynamics models can help us to better understand anomalous diffusion phenomena.The main contents of this paper are as follows: first, the diffusion process is studied by microscopic and macroscopic models of anomalous dynamics and tempering anomalous dynamics.These include continuous Time Random walkthrough, Levi walk and L 茅 vy flight.Based on these models, we discuss the statistical properties of random walk trajectories of particles in detail, carry out numerical simulation, and propose an efficient algorithm for generating random variables.The macroscopical research object is the deterministic equation of the particle satisfying the power law distribution, that is, the fractional partial differential equation of time.Secondly, the numerical calculation method of time dynamics evolution equation is discussed.Firstly, the potential of the short memory principle of fractional order operator is explored, and the initial value problem is calculated by using the idea of equal distribution grid. An equal distribution mesh predictor-correction method is proposed, and the algorithm is described in detail by pseudo code.The results of numerical experiments show that the proposed algorithm can effectively solve the problem of numerical solution of the corresponding evolution equation without losing the accuracy of the algorithm.Then, the equal-distributed grid technique is introduced, the numerical scheme of time-dynamics evolution equation is given, and the error analysis is given in detail.Finally, the effectiveness and feasibility of the algorithm are verified by numerical examples.Thirdly, on the basis of the second part, we introduce the tempering fractional order operator, study the numerical calculation method of the tempering time dynamics evolution equation, and excavate the potential of the short memory principle of the tempering fractional order operator.Based on the idea of equal distribution grid, a predictor-correction method for tempering fractional differential equations is proposed, and the convergence order of the algorithm is proved.Numerical results show that the computational complexity is reduced without loss of accuracy, especially the longer the time is, the more outstanding the advantages of the proposed algorithm are.Fourth, the comparison principle of the tempering fractional derivative is derived, and then the Lyapunov direct method is used to study the tempering fractional order system, and the Lyapunov direct method is extended. The Mittag-Leffler stability is derived and the method to verify the stability of the system is obtained.It is convenient to verify the stability of the practical system by the method proposed in this paper.
【學(xué)位授予單位】：蘭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.8

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本文編號：1766258