本文選題：后驗(yàn)誤差估計(jì) + 各向異性網(wǎng)格��； 參考：《鄭州大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：本文主要針對(duì)帶間斷系數(shù)的擴(kuò)散問題和奇異攝動(dòng)反應(yīng)-擴(kuò)散問題,在各向異性網(wǎng)格條件下推導(dǎo)健壯的局部重構(gòu)型后驗(yàn)誤差估計(jì),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)各向異性自適應(yīng)計(jì)算。針對(duì)帶間斷系數(shù)的擴(kuò)散問題,我們推導(dǎo)了適用于各向異性網(wǎng)格的局部重構(gòu)型后驗(yàn)誤差估計(jì)�；谄胶馔康木植渴睾慵僭O(shè),一個(gè)抽象的誤差上界首先被建立。剩下的任務(wù)就是構(gòu)造滿足假設(shè)的平衡通量。這里,我們給出了平衡通量的兩種構(gòu)造方式：直接法和混合有限元法。其中直接法是最容易想到的,對(duì)網(wǎng)格各向異性的影響不需要特別的處理,而混合有限元法需要將網(wǎng)格的各向異性尺寸引入到平衡通量的構(gòu)造中。這類后驗(yàn)估計(jì)關(guān)于擴(kuò)散系數(shù)是健壯的,且可應(yīng)用于有限體積法,有限差分法和有限元法。我們分別在能量范數(shù)和對(duì)偶范數(shù)意義下表明了所構(gòu)造的誤差估計(jì)子是可靠的、有效的。事實(shí)上,這些估計(jì)在各向同性網(wǎng)格條件下與Vohralik (J Sci Comput 46:397-438,2011)得到的各向同性后驗(yàn)估計(jì)等價(jià),因此從某種意義上來(lái)說(shuō),我們推廣了Vohralik的結(jié)果。針對(duì)奇異攝動(dòng)反應(yīng)-擴(kuò)散問題的有限體積法,我們也推導(dǎo)了適用于各向異性網(wǎng)格的局部重構(gòu)型后驗(yàn)誤差估計(jì)。類似地,基于平衡通量的局部守恒假設(shè),我們首先在能量范數(shù)意義下建立了一個(gè)抽象的誤差上界。這個(gè)平衡通量的構(gòu)造采用直接法。我們?cè)谀芰糠稊?shù)意義下表明了所構(gòu)造的誤差估計(jì)子是可靠的、有效的且關(guān)于反應(yīng)系數(shù)是健壯的。事實(shí)上,這些估計(jì)在各向同性網(wǎng)格條件下與Cheddadi等人(ESAIM-Math Model Numer Anal 43:867-888,2009)得到的各向同性后驗(yàn)估計(jì)等價(jià),因此從某種意義上來(lái)說(shuō),我們推廣了Cheddadi等人的結(jié)果�；谒玫母飨虍愋院篁�(yàn)誤差估計(jì),我們推導(dǎo)出相應(yīng)的各向異性誤差指示子,從而用于引導(dǎo)網(wǎng)格的各向異性自適應(yīng)加密。事實(shí)上,原始形式的各向異性后驗(yàn)估計(jì)并不能直接用于引導(dǎo)網(wǎng)格的各向異性自適應(yīng)加密,因?yàn)樗荒鼙硎境稣`差在各個(gè)方向的貢獻(xiàn),且對(duì)齊測(cè)度中含有未知的真解。為了得到各向異性誤差指示子,我們改寫了對(duì)齊測(cè)度的格式,并通過后處理的方式得到它的一個(gè)逼近。最后,我們給出了一個(gè)各向異性網(wǎng)格自適應(yīng)加密算法,能夠利用所得到的各向異性誤差指示子生成一個(gè)合適的度量場(chǎng),從而生成一個(gè)新的各向異性網(wǎng)格。以上理論結(jié)果都已得到數(shù)值實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。
[Abstract]:In this paper, for the diffusion problem with discontinuous coefficients and the singularly perturbed reaction-diffusion problem, robust locally reconstructed posteriori error estimates are derived under anisotropic mesh conditions, and then anisotropic adaptive computation is realized.For the diffusion problem with discontinuous coefficients, we derive a locally reconstructed posteriori error estimate for anisotropic meshes.Based on the local conservation hypothesis of equilibrium flux, an abstract upper bound of error is first established.The remaining task is to construct an equilibrium flux that meets the assumptions.Here, we give two ways of constructing equilibrium flux: direct method and mixed finite element method.The direct method is the most easy to consider, and the influence on the anisotropy of the mesh does not need special treatment, while the hybrid finite element method needs to introduce the anisotropic size of the mesh into the construction of the equilibrium flux.This kind of posterior estimation is robust on diffusion coefficient and can be applied to finite volume method, finite difference method and finite element method.We show that the constructed error estimators are reliable and effective in the sense of energy norm and dual norm respectively.In fact, these estimates are equivalent to the isotropic posteriori estimates obtained by Vohralik J Sci Comput 46: 397-438 (2011) under the isotropic grid condition. Therefore, in some sense, we generalize the results of Vohralik.For singularly perturbed reaction-diffusion problems, we also derive a locally reconstructed posteriori error estimate for anisotropic meshes.Similarly, based on the local conservation hypothesis of equilibrium flux, we first establish an abstract error upper bound in the sense of energy norm.This equilibrium flux is constructed by direct method.In the sense of energy norm, we show that the constructed error estimator is reliable, effective and robust with respect to the response coefficient.In fact, these estimates are equivalent to the isotropic posteriori estimates obtained by Cheddadi et al. (ESAIM-Math Model Numer Anal 43: 867-888 / 2009), so in a sense we generalize the results of Cheddadi et al.Based on the obtained anisotropic posteriori error estimation, we derive the corresponding anisotropic error indicator, which can be used to guide the anisotropic adaptive encryption of the mesh.In fact the original form of anisotropic posteriori estimation can not be directly used to guide the anisotropic adaptive encryption of the mesh because it can not represent the contribution of errors in all directions and the alignment measure contains the unknown true solution.In order to obtain the anisotropic error indicator, we reformulate the format of the alignment measure and obtain an approximation by post-processing.Finally, we present an adaptive encryption algorithm for anisotropic meshes, which can generate an appropriate metric field using the anisotropic error indicator, thus generating a new anisotropic mesh.The above theoretical results have been verified by numerical experiments.
【學(xué)位授予單位】：鄭州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：1765089