本文選題：連續(xù)時空有限元方法 + 時間間斷的時空有限元方法��； 參考：《內(nèi)蒙古大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：連續(xù)時空有限元方法是一種高精度的數(shù)值方法.其對空間變量和時間變量統(tǒng)一進行處理,即不僅用有限元去離散空間變量而且用有限元去離散時間變量,因此相比于經(jīng)典的有限元方法其更容易獲得關(guān)于時間的高精度且其理論分析不會隨著時間變量離散方式的改變而改變,即其理論分析對任意次的近似多項式都是一致成立的.此外,連續(xù)時空有限元方法特別適合于求解波動問題,因為其相應(yīng)的離散格式具有重要的能量保守性.連續(xù)時空有限元方法可分為下面兩種情形:1.每個時間層對應(yīng)著相同的空間剖分;2.每個時間層允許對應(yīng)不同的空間剖分.對于情形1由于每個時間層的空間剖分都相同,故在整個時間區(qū)間引入時空投影算子后易于獲得時空有限元解在各種范數(shù)下的誤差估計.對于情形2由于各個時空片的時空網(wǎng)格結(jié)構(gòu)允許改變,所以其特別適合于無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的自適應(yīng)計算.此外,對于情形2在理論分析中分別引入了由勒讓德(Legendre)點和洛巴托(Lobatto)點確定的拉格朗日插值多項式及相應(yīng)的高斯積分準則,并在理論分析中充分的利用了插值多項式的基本性質(zhì)以及高斯積分的高精度特點,這使得理論分析變得自然易懂而且在更深層次上抓住了時間步有限元方法的本質(zhì).此外,不論是情形1還是情形2其連續(xù)時空格式往往是無條件穩(wěn)定的并且其理論分析通常不受時空網(wǎng)格限制,即不需要時間步長和空間網(wǎng)格參數(shù)滿足一定的條件.本文主要從理論分析和數(shù)值模擬兩個方面在情形1和情形2下研究了與時間相關(guān)的偏微分方程的連續(xù)時空有限元方法.第一章是緒論,其主要闡述了連續(xù)時空有限元法的研究現(xiàn)狀以及本文的研究內(nèi)容與文章結(jié)構(gòu).此外,還給出一些本文理論分析所需的預(yù)備知識.第二章和第三章分別在情形1下研究了 Sobolev方程(不含對流項)和粘彈性波動方程的連續(xù)時空元方法.我們首先構(gòu)造了原問題相應(yīng)的連續(xù)時空元格式并證明了連續(xù)時空解的存在、唯一及穩(wěn)定性,然后通過引入時空投影算子用相對簡潔的理論分析在沒有時空網(wǎng)格條件限制的情況下給出了節(jié)點處的L2和H1范數(shù)估計以及全局L2(L2)和L2(H1)范數(shù)估計.最后,我們給出一個無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的二維數(shù)值算例確認了格式的有效性和可行性.此外,數(shù)值算例還說明與傳統(tǒng)的時間方向用Euler或者Crank-Nicolson(CN)格式離散的有限元方法相比,連續(xù)時空元方法更容易獲得時空的高精度.第四章在情形1下我們研究了波動方程的連續(xù)時空元方法.在本章我們提出了一種新的用連續(xù)時空元求解波動方程的方法.我們通過引入勒讓德多項式及其相應(yīng)的高斯積分準則得到與原連續(xù)時空格式等價的格式,然后基于此格式分析了近似解的存在唯一性.此外,通過引入時空投影算子給出了近似解在節(jié)點處的L2及H1范數(shù)估計.最后,給出兩個數(shù)值算例驗證格式的有效性和可行性.與已有的方法相比,這里的分析方法更加簡潔易懂并且容易被推廣到其它的波動問題.同時我們需要指出的是在粘彈性波動方程和波動方程的求解過程中,我們首先通過引入輔助函數(shù)v=ut得到與原問題等價的耦合系統(tǒng),然后基于此耦合系統(tǒng)構(gòu)造了連續(xù)時空有限元格式,通過求解此格式可以同時獲得u和v的高精度.第五章和第六章分別在情形2下研究了 Sobolev方程(不含對流項)和粘彈性波動方程的變網(wǎng)格連續(xù)時空元方法.我們首先構(gòu)造了原問題相應(yīng)的變網(wǎng)格連續(xù)時空元格式,其可以看作是第二章和第三章連續(xù)時空元格式的一種延擴.然后通過引入由勒讓德點確定的拉格朗日插值多項式及相應(yīng)的高斯積分準則給出數(shù)值解的適定性分析;通過引入由洛巴托點確定的拉格朗日插值多形式及相應(yīng)的高斯積分給出了近似解的L∞(L2)和L∞(H1)范數(shù)估計.此外,在第六章我們還證明若每個時間層的網(wǎng)格滿足一些合理的假設(shè),則可以消去收斂性結(jié)果中的跳躍項,從而可以獲得關(guān)于時空的最優(yōu)階L∞(L2)范數(shù)估計.第七章我們在情形2下研究了變系數(shù)的對流占優(yōu)的Sobolev方程.首先證明了數(shù)值解的存在唯一性,然后在沒有時空網(wǎng)格限制的情況下給出了最優(yōu)階L∞(H1)范數(shù)估計.最后,我們分別給出了原問題在連續(xù)時空有限元格式和時間間斷的時空有限元格式下的數(shù)值模擬,數(shù)值實驗驗證了分析的正確性并展示在實際計算中連續(xù)時空有限元方法比時間間斷的時空有限元方法更加有效.
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：內(nèi)蒙古大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

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本文編號：1761835