本文選題：三角曲線 + 離散可積系統(tǒng)��； 參考：《鄭州大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：本文基于三角曲線的理論來研究幾個與3×3離散矩陣譜問題相聯(lián)系的孤子方程族的有限虧格解,分別是Itoh Narita Bogoyavlensky晶格族,修正Belov Chaltikian晶格族,四分量Toda晶格族,Merola Ragnisco Tu晶格族.從3×3離散矩陣譜問題出發(fā),利用離散的零曲率方程和Lenard遞推序列導(dǎo)出與之相對應(yīng)的孤子方程族.借助于駐定情況的Lax矩陣的特征多項式引入三角曲線,對其緊致化后產(chǎn)生一個虧格為2)的三葉Riemann面2).在Riemann面2)上定義Baker Akhiezer函數(shù)以及與Baker Akhiezer函數(shù)緊密相聯(lián)系的亞純函數(shù),通過定義亞純函數(shù)的零點和極點引入橢圓變量,從而將離散孤子方程族分解成可解的Dubrovin-型常微分方程組.進一步分析得到亞純函數(shù)和Baker Akhiezer函數(shù)的漸近性質(zhì)和因子.引入三類Abelian微分,利用Riemann Roch定理構(gòu)造亞純函數(shù)和Baker Akhiezer函數(shù)的Riemann theta函數(shù)表示,再結(jié)合其漸近性質(zhì)得到離散孤子方程族的有限虧格解.這四個問題的共同點是與3×3離散矩陣譜問題相聯(lián)系,需要在三葉Riemann面上去考慮.與3×3連續(xù)矩陣譜問題不同,在分析亞純函數(shù)和Baker Akhiezer函數(shù)的漸近展式時,需要同時考慮無窮遠點和零點.與此同時,每個問題又有各自的特點.在第二章中,Riemann面有兩個無窮遠點(一個是二重分支點,一個不是分支點)和一個三重零點;第三章的Riemann面有三個無窮遠點(均不是分支點)和一個三重零點;第四章的Riemann面有三個無窮遠點,亞純函數(shù)和Baker Akhiezer函數(shù)在零點處無奇性;第五章的Riemann面有三個無窮遠點和三個零點.因此在局部坐標的選取,虧格的計算以及亞純函數(shù)和Baker Akhiezer函數(shù)的漸近性質(zhì)分析上都不同.
[Abstract]:Based on the theory of trigonometric curves, the finite genus solutions of several soliton equations related to 3 脳 3 discrete matrix spectral problems are studied in this paper. They are Itoh Narita Bogoyavlensky lattice family, modified Belov Chaltikian lattice family and four-component Toda lattice family.Starting from the spectral problem of 3 脳 3 discrete matrix, the corresponding family of soliton equations is derived by using the discrete zero curvature equation and the Lenard recurrence sequence.The trigonometric curve is introduced by means of the characteristic polynomial of the stationary Lax matrix. After compactness, a trivalent Riemann plane with genus 2) is generated.The Baker Akhiezer function and the meromorphic function closely related to the Baker Akhiezer function are defined on the Riemann plane 2. By defining the zeros and poles of the meromorphic function, the elliptic variables are introduced to decompose the family of discrete soliton equations into a system of solvable Dubrovin-type ordinary differential equations.Further, the asymptotic properties and factors of meromorphic functions and Baker Akhiezer functions are obtained.In this paper, we introduce three kinds of Abelian differential, construct Riemann theta function representation of meromorphic function and Baker Akhiezer function by using Riemann Roch theorem, and obtain finite genus solution of discrete soliton equation family by combining its asymptotic property.The common point of these four problems is that they are related to the spectral problem of 3 脳 3 discrete matrix and need to be considered on the trefoil Riemann surface.Different from the spectral problem of 3 脳 3 continuous matrices, the asymptotic expansions of meromorphic functions and Baker Akhiezer functions need to be considered at the same time.At the same time, each problem has its own characteristics.In chapter 2, there are two infinite points (one is a double bifurcation point, one is a non-branching point) and a triple zero point, and the third chapter has three infinite points (all non-branching points) and a triple zero point on the Riemann surface.In chapter 4, the Riemann surface has three infinite points, and the meromorphic function and the Baker Akhiezer function have no singularity at the zero point, and the Riemann surface in chapter 5 has three infinite points and three zeros.Therefore, the selection of local coordinates, the calculation of genus and the analysis of asymptotic properties of meromorphic functions and Baker Akhiezer functions are different.
【學(xué)位授予單位】：鄭州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O175.5

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本文編號：1733459