本文選題：Maxwell方程　切入點(diǎn)：光子晶體　出處：《中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：本文主要研究與光子晶體有關(guān)的微分算子譜的逼近理論與應(yīng)用。光子晶體是具有折射率的材料在空間中周期排布形成的結(jié)構(gòu)。在適當(dāng)?shù)牟牧咸匦院途w的幾何形狀的條件下,某些頻率的光是不能在里面?zhèn)鞑サ?而且反射率可達(dá)百分之百,而其他電磁波可以幾乎無損耗地傳播,這一特性可以用來控制電磁波的傳播和輻射。Maxwell方程可以用來描述電磁波在其中傳播時(shí)的行為,而且模型精確性很高,其模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)相差較小,是研究光子晶體電磁特性的一種重要途徑。首先,我們分析了帶周期系數(shù)的Maxwell方程的間斷有限元離散。全空間中的Maxwell算子的譜是連續(xù)的,無法通過數(shù)值計(jì)算來逼近。通過Bloch/Floquet理論,將R3中的帶周期系數(shù)的Maxwell算子轉(zhuǎn)化為具有周期邊界的問題,這樣就可以采用修正的Nedelec基函數(shù)來構(gòu)造間斷有限元格式進(jìn)行數(shù)值逼近。我們證明了混合間斷有限元格式的收斂性。然而,這種收斂只是點(diǎn)點(diǎn)收斂,而對(duì)于有界算子,數(shù)值特征值的正確收斂與其數(shù)值算子的一致收斂是充要條件。為此,我們分析數(shù)值解空間的離散緊性,證明了該數(shù)值算子是一列相對(duì)緊算子,繼而證明了其收斂是一致收斂。我們還證明了數(shù)值特征值的收斂速度是基函數(shù)次數(shù)與解的正則性最小值的兩倍,該結(jié)果在二維和三維的數(shù)值例子上得到了驗(yàn)證。最后我們應(yīng)用這些方法計(jì)算了幾種常見的光子晶體模型的能帶結(jié)構(gòu)。當(dāng)光子晶體的材料性質(zhì)為非線性時(shí),會(huì)導(dǎo)出非線性特征值問題。我們主要研究了 Drude模型和Lorentz模型等有理型非線性模型所產(chǎn)生的多項(xiàng)式特征值問題。我們將多項(xiàng)式特征值問題處理成與其具有相同譜的線性化算子來分析。而線性化算子通常不是有界算子,不能再用范數(shù)來描述其數(shù)值算子的收斂性。為此我們引入gap作為衡量算子間距離的工具,將緊算子或有界算子譜的逼近理論推廣到了一般的線性算子,然后應(yīng)用其構(gòu)造了多項(xiàng)式特征值問題的逼近理論。我們研究了多項(xiàng)式特征值問題中的本質(zhì)譜,證明了本質(zhì)譜在相對(duì)緊攝動(dòng)下的穩(wěn)定性。對(duì)于用具有有理型非線性介電常數(shù)的材料制成的晶體,即使其幾何形狀不同,其本質(zhì)譜保持不變。這樣我們通過分析就能精確地知道其本質(zhì)譜的位置。在數(shù)值計(jì)算相應(yīng)的離散形式的多項(xiàng)式矩陣特征值問題時(shí),可以避開本質(zhì)譜附近聚集了大量數(shù)值特征值的小區(qū)域,從而只需要計(jì)算一小部分?jǐn)?shù)值特征值,就能知道譜的分布情況。計(jì)算量的降低使計(jì)算機(jī)可以相對(duì)容易地處理大型離散的多項(xiàng)式特征值問題,從而允許網(wǎng)格進(jìn)一步細(xì)化,提高數(shù)值特征值的精度。
[Abstract]:In this paper, the approximation theory and application of differential operator spectrum related to photonic crystals are studied.Photonic crystals are structures of materials with refractive index arranged periodically in space.With proper material properties and the geometrical shape of the crystal, light at certain frequencies cannot propagate inside, and the reflectivity can reach 100 percent, while other electromagnetic waves can propagate almost without loss.This characteristic can be used to control the propagation of electromagnetic wave and radiation. Maxwell equation can be used to describe the behavior of electromagnetic wave propagating in it.It is an important way to study the electromagnetic properties of photonic crystals.First, we analyze the discontinuous finite element discretization of the Maxwell equation with periodic coefficients.The spectrum of Maxwell operators in the whole space is continuous and can not be approximated by numerical calculation.By means of Bloch/Floquet theory, the Maxwell operator with periodic coefficients in R3 is transformed into a problem with periodic boundary, so the modified Nedelec basis function can be used to construct the discontinuous finite element scheme for numerical approximation.We prove the convergence of the mixed discontinuous finite element scheme.However, this convergence is only a point convergence, and for bounded operators, the correct convergence of numerical eigenvalues and the uniform convergence of its numerical operators are sufficient and necessary conditions.Therefore, we analyze the discrete compactness of numerical solution space, prove that the numerical operator is a series of relative compact operators, and then prove that its convergence is uniformly convergent.We also prove that the convergence rate of the numerical eigenvalue is twice as fast as the minimum value of regularity of the order and solution of the basis function. The results are verified in two and three dimensional numerical examples.Finally, we use these methods to calculate the band structures of several common photonic crystal models.When the material property of photonic crystal is nonlinear, the nonlinear eigenvalue problem is derived.We mainly study the polynomial eigenvalue problems generated by rational nonlinear models such as Drude model and Lorentz model.We treat the polynomial eigenvalue problem as a linearized operator with the same spectrum as the polynomial eigenvalue problem.The linearization operator is usually not a bounded operator, and the convergence of its numerical operator can no longer be described by norm.In this paper, gap is introduced as a tool to measure the distance between operators. The approximation theory of the spectrum of compact or bounded operators is extended to general linear operators, and then the approximation theory of polynomial eigenvalue problems is constructed.We study the essential spectrum of polynomial eigenvalue problems and prove the stability of this mass spectrum under relatively compact perturbation.For a crystal made of a material with a rational nonlinear dielectric constant, the essential spectrum remains unchanged even if its geometry is different.In this way, we can accurately know the location of its essential spectrum through analysis.In the numerical calculation of the corresponding discrete polynomial matrix eigenvalue problem, we can avoid the small region where a large number of numerical eigenvalues are gathered around the mass spectrometry, so that only a small part of the numerical eigenvalues need to be calculated to know the distribution of the spectrum.The reduction of computational complexity makes it relatively easy for the computer to deal with large discrete polynomial eigenvalue problems, thus allowing the mesh to be further refined and to improve the accuracy of numerical eigenvalues.
【學(xué)位授予單位】：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：1724930