本文選題：發(fā)展方程　切入點：非協(xié)調元　出處：《鄭州大學》2016年博士論文

【摘要】：本文主要針對幾類發(fā)展方程(諸如非線性Schr¨odinger方程、Benjamin-BonaMahony(BBM)方程、非定常不可壓縮Navier-Stokes方程、Cahn-Hilliard(CH)方程以及對流占優(yōu)擴散方程),分別從非協(xié)調有限元方法、協(xié)調和非協(xié)調混合元方法出發(fā),對其收斂性、超逼近和超收斂等進行了深入系統(tǒng)的研究.首先,將一個非協(xié)調四邊形單元(改進類Wilson元)運用于求解非線性Schr-¨odinger方程.通過該單元相容誤差在能量模意義下可以達到O(h3)階,比其插值誤差高兩階這一特殊性質,對于半離散以及兩種全離散格式(Backward-Euler(B-E)和Crank-Nicolson(C-N)格式),在廣義矩形網格下導出了最優(yōu)誤差估計和超逼近性質.進一步地,通過插值后處理技術,在矩形網格下得到了整體超收斂結果.最后給出數值算例來驗證理論的正確性和方法的有效性.其次,研究了BBM方程的低階非協(xié)調有限元方法及混合元新格式.一方面,利用EQrot1元的兩個特殊性質(插值算子等價于Ritz投影算子,且相容誤差為O(h2)階,比插值誤差高一階),分別在半離散和兩種全離散格式(B-E和C-N格式)下導出其能量模意義下的超逼近和整體超收斂結果.另一方面,對該方程構造一種新的非協(xié)調混合元格式,借助于零階Raviart-Thomas(R-T)元的高精度特性,同樣在半離散以及全離散格式下得到了相關變量的超逼近和超收斂結果,并給出數值例子檢驗理論分析的正確性.再次,針對非定常不可壓縮Navier-Stokes方程提出了一個低階非協(xié)調混合元方法.運用帶約束的旋轉Q1(CQrot1)元以及分片常數(Q0)元分別逼近速度u和壓力p,并得到了能量模下u以及L2模下p的超逼近和超收斂結果.同時還進行了數值實驗,所得數值結果與理論分析相吻合.而后,對CH方程建立一個新的非協(xié)調混合元分析框架.利用一類非協(xié)調元的特殊性質(相容誤差為O(h2)階,比插值誤差高一階)和插值后處理技術,分別在半離散和B-E全離散格式下得到了原始變量u和輔助變量p在能量模意義下的超逼近和整體超收斂結果.并給出數值例子來驗證該方法的有效性.最后,針對對流占優(yōu)擴散方程,構造了一個新的特征混合元格式.并給出關于原始變量u以及輔助變量p的收斂性分析,最終結合數值例子來驗證此方法的有效性.
[Abstract]:In this paper, several kinds of evolution equations (such as the nonlinear Schr odinger equation Benjamin-Bona Mahony BBM) equation, the unsteady incompressible Navier-Stokes equation Cahn-Hilliardsch equation and the convection-dominated diffusion equation are studied respectively from the nonconforming finite element method, the concordant and the non-conforming mixed element method.The convergence, superapproximation and superconvergence are studied systematically.Firstly, a nonconforming quadrilateral element (modified Wilson element) is applied to solve the nonlinear odinger equation.According to the special property that the compatible error of the element can reach OH3) order in the sense of energy mode, the error is two orders higher than its interpolation error.For semi-discrete and two full discrete schemes, Backward-Eulerian B-E and Crank-Nicolsonian C-N schemes, the optimal error estimates and superapproximation properties are derived under generalized rectangular meshes.Furthermore, the global superconvergence results are obtained under rectangular meshes by interpolation postprocessing technique.Finally, numerical examples are given to verify the correctness of the theory and the validity of the method.Secondly, the low order nonconforming finite element method for BBM equation and the new mixed element scheme are studied.On the one hand, by using two special properties of EQrot1 element (interpolation operator is equivalent to Ritz projection operator, and the consistent error is OH2),The results of superapproximation and global superconvergence in the sense of energy modules are derived under semi-discrete and two kinds of full discrete schemes (B-E and C-N schemes respectively), which are higher than interpolation errors.On the other hand, a new nonconforming mixed element scheme is constructed for the equation. By virtue of the high accuracy property of the zero order Raviart-Thomas-R-T element, the superapproximation and superconvergence results of the related variables are also obtained in semi-discrete and fully discrete schemes.Numerical examples are given to verify the correctness of the theoretical analysis.Thirdly, a low order nonconforming mixed element method is proposed for unsteady incompressible Navier-Stokes equations.The velocity u and the pressure p are approximated by the rotating Q 1 C Q rot1 element and the piecewise constant Q 0) element respectively. The superapproximation and superconvergence results of u and L 2 modes under the energy mode are obtained.At the same time, numerical experiments are carried out, and the numerical results are in good agreement with the theoretical analysis.Then, a new nonconforming mixed element analysis framework is established for Ch equation.By using the special properties of a class of nonconforming elements (the compatible error is OH2, which is one order higher than the interpolation error) and the interpolation post-processing technique,The results of superapproximation and global superconvergence of the original variable u and the auxiliary variable p in the sense of energy module are obtained in semi-discrete and B-E full discrete schemes respectively.A numerical example is given to verify the effectiveness of the method.Finally, a new characteristic mixed element scheme is constructed for convection-dominated diffusion equations.The convergence analysis of the original variable u and the auxiliary variable p is given. Finally, numerical examples are used to verify the validity of the method.
【學位授予單位】：鄭州大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1722642